Ernst Schuberth

Matematyka w szkołach waldorfskich

Nauczanie wczesnoszkolne

Z języka niemieckiego przełożyła Barbara Kowalewska

Oficyna Wydawnicza Impuls

Kraków 2013

Wstęp tłumacza do polskiego wydania

Publikacja, którą mamy przyjemność zaprezentować polskiemu Czytelnikowi, jest trzecim (zmienionym i rozszerzonym) wydaniem podręcznika przeznaczonego pierwotnie dla nauczycieli szkół waldorfskich. Z biegiem lat okazało się, że z książki korzysta znacznie szersze grono czytelników i że w ocenie nauczycieli matematyki pracujących w szkołach innego typu waldorfski sposób nauczania tego przedmiotu zawiera uniwersalne i niezwykle trafne wskazówki metodyczne, mogące stanowić cenną pomoc dla wszystkich nauczycieli matematyki nauczających w młodszych klasach szkoły podstawowej.

Waldorfski system nauczania jest jednak tak uderzająco odmienny od tego, który znamy ze szkół innego typu (i to nie nie tylko pod względem metodyczno- -dydaktycznym, lecz także pod wieloma innymi względami!), że do właściwego zrozumienia prezentacji profesora Ernsta Schubertha konieczne jest poznanie najważniejszych fundamentów myślowych pedagogiki waldorfskiej.

Oto one:

Wolna Szkoła Waldorfska jest jednym z owoców koncepcji trój- członowości organizmu społecznego, której autorem jest Rudolf Steiner1. Jako instytucja reprezentująca dziedzinę „wolnego życia duchowego”, szkoła ta walczy od samego początku swego istnienia, od 1919 roku (czyli od niemal stu lat!) o „niepodległość”, to znaczy o niezawisłość ekonomiczną oraz niezależność od ustaw i dyrektyw władz oświatowych. Jest to oczywiście we współczesnych społeczeństwach ideał niezmiernie trudny do choćby tylko częściowego urzeczywistniania, lecz zarazem jedna z kluczowych myśli w całej idei pedagogicznej R. Steinera, o którą warto toczyć najcięższe nawet boje. W naszych czasach idea ta (chciałoby się powiedzieć: niestety) nie utraciła nic a nic ze swej aktualności, wręcz przeciwnie.

Obecnie (rok 2013) istnieje na świecie ponad tysiąc szkół waldorfskich na wszystkich kontynentach. Funkcjonują w najrozmaitszych kulturach i środowiskach społecznych: od elitarnych prywatnych szkół w USA, Anglii czy Francji do szkół dla dzieci z rodzin najbiedniejszych (ze slumsów miast Republiki Afryki Południowej, Indii, Nepalu czy krajów Ameryki Południowej)2. Szkoły waldorfskie opierają się nie na sztywnym programie, lecz na indywidualnościach grup ludzi związanych z konkretną szkołą. Szkoła waldorfska nawiązuje do całej otaczającej rzeczy- wistości społeczno-kulturowej i dlatego może być prowadzona w wielu różnych formach i wersjach programowych.

Nie tylko treści i metody nauczania, lecz w ogóle wszystkie działania pedagogiczne są wyraźnie zróżnicowane w zależności od wieku uczniów i fazy rozwojowej. Znajduje to odzwierciedlenie w programie3, który na każdym szczeblu nauczania uwzględnia prawa rozwojowe, lecz zarazem stanowi dla nauczyciela jedynie zespół wskazówek do indywidualnej realizacji w konkretnej klasie. Program jest na tyle globalny i elastyczny, że zostawia dużo miejsca na kreatywność i odmienne warianty tematyczne.

Kluczową rolę w waldorfskiej szkole podstawowej odgrywają nauczyciele wychowawcy4. Każdy z nich prowadzi jedną klasę przez wiele lat: od klasy pierwszej do szóstej lub nawet od pierwszej do ósmej włącznie. Codziennie naucza w swojej klasie większości przedmiotów podczas tak zwanej lekcji głównej, a często też w trakcie kolejnych lekcji, takich jak języki obce czy prace ręczne. Dzięki wieloletniemu nauczaniu i wychowywaniu tej samej grupy dzieci wytwarzają się obustronne więzi przyjaźni i zaufania, co skutecznie wspiera ich rozwój. Nauczyciel waldorfski unika więc ryzyka popadnięcia w rutynę zawodową i mechanicznego powtarzania materiału kolejnym grupom uczniów. Na dobrą sprawę taki nauczyciel „uczy się z wyprzedzeniem” wraz ze swymi uczniami. Gdy po sześciu lub ośmiu latach przyjmuje ponownie funkcję nauczyciela wychowawcy wobec nowej grupy pierwszoklasistów, wówczas jako człowiek i pedagog jest na tyle wewnętrznie przemieniony, że mimo poczynionych doświadczeń przystępuje zwykle do pracy z nową grupą dzieci z witalizującym poczuciem „rozpoczynania od samego początku”. W wyższych klasach szkoły podstawowej rola wychowawcy stopniowo się zmniejsza (zresztą zależy to zawsze od możliwości danego wychowawcy), w klasach szkoły średniej każdego z przedmiotów uczy inny nauczyciel: specjalista od danego przedmiotu.

Nauczanie głównych przedmiotów odbywa się systemem tak zwanych cykli tematycznych, z których każdy trwa trzy do czterech tygodni. Pozwala to dzieciom lepiej skoncentrować się na przerabianym materiale. Oznacza to w praktyce, że dzień nauki rozpoczyna tak zwana lekcja główna, która trwa około półtorej godziny. Lekcja główna składa się z różnorodnych części, które razem równomiernie stymulują „głowę, serce i ręce”. Każdą lekcję główną (a więc nie tylko tematyczny cykl lekcji rachunków, lecz również lekcje główne wszystkich innych cykli) rozpoczyna część rytmiczna, przeznaczona na wspólne wypowiedzenie sentencji porannej, ćwiczenia ruchowe, śpiew oraz grę na flecie prostym lub na innym instrumencie. Następnie, po dokonaniu krótkiego powtórzenia materiału z poprzedniej lekcji, nauczyciel przechodzi do części zasadniczej: do nowego materiału. Każde z dzieci zapisuje kwintesencję nowego materiału w zeszycie, uzupełniając tekst rysunkami. Ostatnia część lekcji głównej ma charakter opowieściowy. Podczas niej nauczyciel coś dzieciom opowiada (nie czyta, lecz rzeczywiście korzysta ze sztuki żywego słowa!). Treść opowieści jest oczywiście zależna od wieku dzieci, od potrzeb i od sytuacji występujących w konkretnej klasie.

W każdym procesie uczenia się powinny być zaangażowane  wszystkie siły wewnętrzne, a więc nie tylko intelekt, lecz także siły uczucia i woli. Każdy z nas, nie tylko dziecko, lecz również ucząca się osoba dorosła, musi widzieć i rozumieć związek między tym, czego się uczy, a rzeczami znajdującymi się poza budynkiem szkolnym czy sprawami, które są dla niej ważne. Przeżycie związku między tym, czego się uczymy,  a całą resztą życia, jest rozgrzewającym serce przeżyciem całościowości i sensowności świata, doświadczeniem, które entuzjazmuje i motywuje do działania. Stymulowanie całościowych procesów poznawania świata jest motywem przewodnim na wszystkich szczeblach nauki w szkołach waldorfskich. Znajduje to praktyczne zastosowanie w metodach nauczania poszczególnych przedmiotów, a także w nawiązywaniu tematów lekcji jednego przedmiotu do lekcji innych przedmiotów. Również pod tym względem ukazuje się wyraźnie istota roli nauczyciela-wychowawcy.

Celem edukacji w szkole waldorfskiej jest pełny rozwój osobowości dziecka, to znaczy równomierne wspieranie nie tylko sfery kognitywnej, lecz również wolitywnej, a także pełny rozwój emocjonalno-społeczny. Odzwierciedla się to w bardzo bogatej palecie zajęć artystycznych, w czynnie uprawianych formach ekspresji muzycznej i teatralnej, a także w podejmowanych przez wszystkie lata nauki w szkole projektach pozaszkolnych, uczących dzieci tolerancji i respektu, zainteresowania innymi ludźmi, jednym słowem – uczące zaangażowania w problemy otaczającego świata. Poniżej przedstawiam kilka przykładów wziętych z praktyki szkolnej.

W trzeciej, a często także w czwartej klasie dzieci zapoznają się z tajnikami różnych tradycyjnych rzemiosł. Odwiedzają ludzi pracujących w warsztatach rzemieślniczych, a potem wykonują własnoręcznie coś, co jest podobne do oglądanych uprzednio przedmiotów, na przykład robią czapki i rękawiczki na drutach, szydełkują lub tkają na prostych krosnach. W starszych klasach szyją odzież, wykonują drobne przedmioty użytkowe, zabawki z drewna i meble, poznają techniki pracy w metalu i kamieniu. W trzeciej klasie dużo uwagi poświęca się przestrzeni mieszkalnej i życiowej ludzi i zwierząt. Pod tym względem spektakularne są cykle lekcji poświęcone budowaniu domów. Dzieci wraz z nauczycielem i rodzicami wznoszą trwałe i funkcjonalne budowle. W czwartej klasie i w następnych ważny staje się temat środowiska naturalnego. Dzieci dowiadują się, jakie są skutki działalności człowieka w przyrodzie – zarówno dobroczynne, jak i niszczące, na przykład wycinanie lasów, zanieczyszczanie wód, gleby i powietrza. Zwraca się przy tym szczególną uwagę na możliwości czynnego uczestnictwa w ochronie środowiska: poczynając od segregacji śmieci nadających się do dalszego przerobu, a kończąc na motywowaniu do udziału w akcjach mających na celu dbanie o otoczenie. Ten cykl lekcji obejmuje też wycieczki do gospodarstw biodynamicznych i ekologicznych. W siódmej i ósmej klasie dużo czasu poświęca się wzajemnej ekonomicznej zależności ludzi na całym globie ziemskim, czyli takim zagadnieniom, jak: wpływ działalności człowieka na zmiany klimatyczne bądź droga, jaką odbywa na przykład ziarenko kawy czy egzotyczny owoc, zanim znajdą się na naszym stole. I tu ważne jest uświadamianie dzieciom, że każdy z tych produktów pochodzi z dalekich krajach i najpierw znajdował się w rękach nieznanych nam ludzi (a może nawet, niestety, dzieci), od których przecież jesteśmy zależni i którym powinniśmy być wdzięczni.

Ten motyw wiązania nauki szkolnej z doświadczeniami w świecie pozaszkolnym (tak niezwykle charakterystyczny dla edukacji waldorfskiej!) znajduje swoją kontynuację w klasach szkoły średniej: są to w kolejnych latach nauki obowiązkowe praktyki w różnych miejscach pracy. W dziewiątej klasie jest to tygodniowa praktyka w sklepie. Uczniowie muszą sami znaleźć miejsce swojej przyszłej praktyki i napisać sprawozdanie z jej przebiegu. Osoba opiekująca się praktykantem w miejscu szkolenia wystawia ocenę opisową. Wyznaczony przez szkołę nauczyciel koordynuje sprawy związane z praktykami i pomaga uczniom w razie potrzeby, ale w zasadzie pełni jedynie funkcję doradczą. Do programu dziesiątej klasy należą dwutygodniowe praktyki społeczne, czyli praca w zespołach ludzi wymagających opieki i objętych jakąś formą wsparcia instytucjonalnego. Miejscem pracy może być szpital, dom starców, instytut dla osób niepełnosprawnych, żłobek lub przedszkole. W jedenastej klasie praktyki trwają trzy tygodnie i odbywają się przy taśmie produkcyjnej w fabryce lub w innym zakładzie przemysłowym, gdzie przez osiem godzin wykonuje się te same, automatyczne czynności. Celem dydaktycznym praktyk jest zdobycie doświadczenia w różnych warunkach i środowiskach oraz uświadomienie sobie, że niektóre zawody są trudne i przykre również dlatego, że „zabijają ducha”, gdyż jest w nich wiele nużącej monotonii.

Te trzy rodzaje praktyk mają ogromne znaczenie dla ogólnego rozwoju uczniów. Są źródłem doświadczeń niemożliwych do zdobycia w szkolnej ławie i w znacznym stopniu przyczyniają się do ukształtowania osobowości uczniów, odkrycia własnych talentów, poznania swoich słabości oraz niejednokrotnie do wyboru przyszłego zawodu.

Również w zakresie nauczania takich przedmiotów, jak fizyka i chemia, stosuje się w pedagogice waldorfskiej metodykę odmienną  od powszechnie wykorzystywanej. Chciałabym tu wskazać na niezwykle inspirujący (lecz niestety dotąd nieprzetłumaczony na język polski) podręcznik metodyczny do fizyki i chemii5, w którym stosuje się waldorfskie metody nauczania partycypującego, z wykorzystaniem między innymi badawczej metody zjawiskowej (wyjaśnienie tego teminu poniżej). W centrum wysiłków nauczyciela stoi takie stymulowanie u uczniów myślenia, aby potrafili samodzielnie dochodzić do pojęć ogólnych. Pojęcia ogólne, definicje, a także abstrakcyjne modele rzeczywistości znajdują się w nauczaniu waldorfskim na samym końcu procesu poznawczego, nie zaś, jak to się zwykle dzieje w nauczaniu przedmiotów ścisłych, na jego początku. Wychodzi się od dokładnej i podejmowanej z kilku różnych perspektyw obserwacji konkretnych zjawisk. Preferuje się takie formy myślenia, które sprzyjają tworzeniu się „pojęć żywych”6, to znaczy takich, które są giętkie, ruchliwe, tymczasowe, mogą się zmieniać i rosnąć wraz z dzieckiem7.

Gdy autorzy wspomnianego podręcznika opisują na przykład sposób „prezentowania” uczniom na pierwszej lekcji chemii wody, to nie zaczynają od pokazania „cieczy” w próbówce czy wręcz od abstrakcyjnego wzoru H₂0, lecz od kon- kretnych zjawisk, które dzieci obserwują i przeżywają w całościowo doznawanym świecie: jak to jest, gdy na przykład spadnie świeży śnieg, gdy przyglądamy się tafli jeziora i odbijającym się w niej przedmiotom, gdy kąpiemy się w morzu i doznajemy ciałem rytmicznego ruchu fal. Na następnych stronach książki znajdujemy wiersze o śniegu i wodzie, a także fragment z Ulissesa Jamesa Joyce’a, opisujący, jak to główny bohater, Leopold Bloom, napełnia czajnik wodą z kranu, wykonując zarazem w myślach osobliwe obliczenia gigantycznej liczby galonów wody zużywanej w Dublinie 16 czerwca 1904 roku...

W podobnie nieoczekiwany i odkrywczy sposób można omawiać inne tematy z fizyki i chemii! Wiele inspiracji metodycznych może nauczycielowi przedmiotów ścisłych dostarczyć książka Przezwyciężając dualizm8. Również w tej publikacji punktem wyjścia jest poznawanie świata na drodze bezpośredniej percepcji zmysłowej, z postawy świadomego uczestnictwa oraz jednocześnie z kilku różnych perspektyw, w tym także doświadczenia wewnętrznego. Autorzy książki (czwórka naukowców fizyków) opisują różne zjawiska przyrodnicze (takie jak burza z piorunami, obserwacja tafli jeziora oraz odbitych w niej obiektów, procesy odwzorowywania na soczewce aparatu fotograficznego itd), powstrzymując się przy tym konsekwentnie od definiowania i od tworzenia abstrakcyjnych modeli rzeczywistości. Dopiero w rozdziale końcowym określają swoją metodę badawczą jako „metodę zjawiskową”9. Analogiczne stadia i metody poznawcze preferuje się w pedagogice waldorfskiej.

Osobom zainteresowanym zjawiskowym (fenomenologicznym) podejściem do zjawisk i możliwościami, jakie otwiera ono w praktyce nauczania, warto polecić  także podręcznik do astronomii Waltera Kraula opublikowany przez Oficynę Wydawniczą „Impuls” w serii „Pedagogika Waldorfska”10. Obserwacje nieba oraz elementy astronomii wprowadza się w szkołach waldorfskich już w wyższych klasach szkoły podstawowej.

Do zrozumienia waldorfskich metod nauczania matematyki (podobnie jak w przypadku innych przedmiotów) konieczne jest uwidocznienie ogólnych punktów wyjścia i celów nauczania we wszystkich  klasach: od pierwszej do dwunastej.

W waldorfskim programie nauczania, przeznaczonym dla szkół holenderskich, czytamy:

Liczby odwołują się do proporcji i rytmów, te zaś stanowią fundament praw, zgodnie z którymi zbudowany jest świat otaczający i cały Wszechświat. Sposób przedstawienia materiału nauczania na lekcjach matematyki ma umożliwić dzieciom przeżywanie tych praw. Punktem wyjścia jest przy tym jedność.  Jedność, która z kolei w najrozmaitszych postaciach objawia się jako wielość.

Obliczanie wymaga wewnętrznej aktywności. Kto oblicza, ten działa. Zajmowanie się matematyką wymaga w znacznie większym stopniu czynnej kreatywności niż postawy zdystansowanej. Podobnie jest zresztą w przypadku muzykowania,  twórczości poetyckiej czy sportu.

Obliczanie wymaga wewnętrznej dynamiki i koncentracji.

Do właściwego rozwiązania wiedzie wiele różnych dróg. Ważne jest, aby myślenie ucznia stało się giętkie i „mobilne”, ażeby wykształcił on umiejętność samodzielnego poszukiwania własnych dróg.

Lekcje matematyki mogą i powinny być źródłem przyjemności, zdumienia, podziwu.

Przyjemności, która nagradza każde twórcze dokonanie. Zdumienia, bo oto dokonaliśmy odkrycia. Podziwu, bo w odnalezionych rezultatach odkrywamy piękno.

Jeśli wyniki czynności obliczania (rachowania) są poprawne, są one również obiektywne.

Lekcje matematyki mogą się dzięki temu przyczynić do rozbudzenia samoświadomości, wzmocnienia ufności we własne siły, a także do rozwoju duchowego i moralnego osobowości ucznia.

Matematyka może mieć korzystny wpływ na rozwój społeczny ucznia, jako że uczniowie:

wspólnie uczestniczą w procesach uczenia się i wspólnie je przeżywają,

pomagają sobie wzajemnie w dochodzeniu do rozwiązań,

uczą się zrozumienia dla wyników osiąganych przez kolegów ,

uczą się postawy prospołecznej dzięki częstemu przyjmowaniu za punkt wyjścia całości, która następnie może być dzielona (gest dawania czegoś innym ludziom) i mniej częstemu przyjmowaniu za punkt wyjścia zbioru połączonych elementów (gest przyjmowania)11.

Szczegółowy opis programu nauczania matematyki we wszystkich klasach szkoły waldorfskiej zawiera publikacja Waldorfski program nauczania12.

O tym, jak takie ogólne cele nauczania matematyki można realizować w edukacji początkowej, z jakich metod można przy tym korzystać, dowie się Czytelnik z kolejnych rozdziałów niniejszej książki. Można w niej znaleźć pomysły na wprowadzanie poszczególnych tematów na lekcji, nawiązywanie w sposobach prowadzenia zajęć do temperamentów poszczególnych dzieci, cenne rady i wyniki poszukiwań diagnostycznych w postępowaniu z uczniami wykazującymi trudności w matematyce, a także liczne ćwiczenia praktyczne, „opowieści rachunkowe”, a nawet cztery rachunkowe zabawy sceniczne (por. s. 109–129).

Do niezwykle charakterystycznych form waldorfskiego nauczania tego przedmiotu w młodszych klasach szkoły podstawowej należy uczenie się poprzez działanie, to znaczy w ruchu. Podczas liczenia i rachowania wszystkie dzieci – razem lub indywidualnie – rytmicznie klaszczą, tupią, chodzą, skaczą i odliczają na głos, w rytmicznych odstępach czasu rzucają i łapią piłeczki (lub woreczki napełnione fasolą) itd.

Ruch ciała wprowadza dziecko w stan aktywności wewnętrznej. Zdaniem pedagogów waldorfskich taka wewnętrzna ruchliwość jest niezwykle pomocna przy tworzeniu i utrwalaniu w pamięci pojęć. Słuszność tego rodzaju metody (wskazanej przez Steinera już w 1919 roku!) potwierdzają między innymi wyniki badań Jeana Piageta, dotyczące rozwoju inteligencji w „fazie operacji konkretnych”, to znaczy u dzieci w wieku do 12–13 lat.

„Co stanowi fundament umiejętności matematycznych?” – zapytuje Ernst Schuberth w czwartym rozdziale swej książki13 i następnie formułuje tezę: „Umiejętność liczenia opiera się na uwewnętrznionej aktywności zmysłu własnego ruchu (zwanego również zmysłem kinestetycznym)”14. Wielu Czytelnikom może się ta teza wydać równie interesująca, co zagadkowa. Autor usasadnia ją szczegółowo, prezentuje wyniki własnych badań oraz wieloletnie doświadczenia w pracy pedagogicznej. Opiera się przy tym również na Steinerowskiej nauce o dwunastu zmysłach (por. Załącznik I, s. 105 oraz przyp. tłum. nr 15, s. 17)

Innym charakterystycznym aspektem waldorfskiej metodyki nauczania matematyki jest (możliwie częste) wychodzenie od całości i zwracanie dzieciom uwagi na fakt, że istnieje wiele różnych wariantów i dróg wiodących do poprawnego rozwiązania, na przykład: 12 = 5 + 7, ale też: 12 = 15 – 3, jak również: 12 = 3 ∙ 4. Na jedno pytanie można więc, a nawet należy znaleźć kilka odpowiedzi (por. podrozdział Uwagi metodyczne. Analiza i synteza, s. 40).

W waldorfskim nauczaniu początkowym matematyki niezmiernie ważne jest poza tym ukazywanie dzieciom, że każda liczba (przede wszystkim zaś liczby małe: od 1 do 12) ma swoją specyficzną jakość. Największą zaś ze wszystkich możliwych liczb jest jedynka, w niej bowiem mieści się wszystko! Niepowtarzalny i absolutnie jedyny na świecie jest także każdy z nas, na przykład Krzyś z pierwszej ławki... Niektóre rzeczy występują zawsze parami, jeszcze innych jest 3, 4, 5... lub może 12. Dzieci same odkrywają specyficzne jakości liczb, a odkrycia takie są zawsze olbrzymim i radosnym przeżyciem!

Wielkim i zapamiętanym na całe życie doświadczeniem może być również obliczanie, mierzenie, ważenie na lekcji, wychodzące na samym początku z tego, co jest najbliżej: z rzeczy konkretnych, oraz z własnego ciała.

Na przykład, gdy w klasie czwartej nauczyciel po raz pierwszy wprowadza na lekcji pojęcie ułamków, może podzielić na części duży naleśnik, ciasto upieczone w okrągłej formie albo na podgrupy siedzące w kręgu dzieci.

W klasie piątej podczas pierwszych prób mierzenia wychodzi się zgodnie z metodyką waldorfską od „ludzkiej miary”: stopy, łokcia. Dzieci używają własnych stóp, łokci, a nawet kciuków do mierzenia przedmiotów w klasie, wielkości pomieszczenia itd. Przeprowadza się także eksperymenty szacowania „na oko” i „na rękę”, ile coś mierzy lub waży. Dopiero od tych „cielesnych miar” przechodzi się do miar standartowych i korzysta z odpowiednich pomocy szkolnych.

Geometrię wprowadza się w klasie piątej lub szóstej. Poprzedza ją jednak inny specyficznie waldorfski przedmiot, a mianowicie przez cztery pierwsze lata nauki szkolnej odręczne rysowanie form. Dzieci rysują formy kredkami o szerokim profilu. W pierwszej klasie są to formy wychodzące od linii prostych, łuków, spirali i okręgów. Ćwiczenia te są niezwykle pomocne w rozwijaniu sprawności ręki, umiejętności niezbędnej do zapisywania liter i cyfr. W kolejnych klasach pojawiają się stopniowo zadania coraz trudniejsze, formy o rozbudowanej symetrii (zwierciadlanej, obrotowej, przesunięciowej). Uczniowie ćwiczą wtedy już nie tylko sprawność ręki, lecz rozwijają jednocześnie wewnętrzną wrażliwość na harmonijne proporcje, intuicyjną wiedzę o prawach symetrii, a także – wcale o tym nie wiedząc –  przygotowują się do rysowania (początkowo również odręcznego) figur geometrycznych.

Obszerne omówienia tych zagadnień można znaleźć w literaturze przedmiotu (por. Bibliografia).

Życzę Państwu owocnej lektury pierwszej polskojęzycznej publikacji wprowadzającej w temat nauczania wczesnoszkolnego matematyki metodą waldorfską.

Barbara Kowalewska

Wstęp autora do drugiego wydania

Od czasu pierwszego wydania książki Matematyka w szkołach waldorfskich. Nauczanie wczesnoszkolne otrzymałem wiele listów od Czytelników. Oprócz nauczycieli waldorfskich, do których ta publikacja adresowana jest niejako w pierwszej kolejności, pisali do mnie również koledzy uczący w szkołach innego typu, donosząc o swych pozytywnych doświadczeniach dotyczących możliwości wykorzystania jej w nauczaniu. Podstawowa myśl przewijająca się przez karty tej książki – taka oto, że umiejętności matematyczne są uwarunkowane konstytucjonalnie i że są związane przede wszystkim ze zmysłami cielesnymi dziecka15 – stała się w ostatnich latach nawet jeszcze bardziej aktualna. Ruch jest dla dziecka potrzebą najważniejszą.  Nadanie ruchowi struktury i uczynienie go owocnym w procesach nauczania uwzględnia tę potrzebę, stanowiąc zarazem pielęgnację zmysłu własnego ruchu16. Wydaje się, że nie zawsze pedagodzy w pełni rozumieją, jaki przebieg ruchu rzeczywiście prowadzi do treści matematycznych, jaki zaś ma niewiele wspólnego z matematyką. Jeśli liczby oraz działania arytmetyczne są powiązane z aktywnym ruchem własnego ciała, wówczas dzieci doświadczają, choć jeszcze bezrefleksyjnie, że człowiek, obierając za punkt wyjścia doznania wewnętrzne, może uzyskać obiektywne poznanie świata. Na tym z pewnością polega nauczanie matematyki właśnie dziś, gdy media dostarczają w nadmiarze wrażeń z zewnątrz. Bo czyż wszystkie rzeczywiste intuicje moralne (takie na przykład, które umożliwiają nam przebaczanie, lecz również wiele innych) nie są impulsami płynącymi z samej głębi ludzkiego wnętrza? Niezależnie od ćwiczenia sprawności myślenia oraz przygotowania do późniejszej praktyki życiowej wychowanie matematyczne ma bowiem jeszcze inne aspekty. Jeśli nauczanie matematyki wiąże się zbyt mocno z używaniem pomocy szkolnych, co niestety można niekiedy zaobserwować również w szkołach waldorfskich, wówczas pewne istotne możliwości wychowawcze pozostają niewykorzystane. Najważniejszą pomocą dydaktyczną powinien być zawsze ruch dzieci.

Ostatnio oferuje się obszerne zestawy ćwiczeń i jest to na pewno słuszne. Niemniej dzieci reagują zawsze najżywiej na ćwiczenia opracowane przez ich własnego nauczyciela. Fantazja znajduje w nich bogate pole do działania.

Ernst Schuberth

Mannheim, styczeń 2001

Wstęp autora do trzeciego wydania

W trzeciem wydaniu wprowadzono do niniejszej książki istotne zmiany i uzupełnienia. Skróceniu i uproszczeniu uległy fragmenty dotyczące podstaw teoretycznych, więcej uwagi poświęcono zaś praktyce nauczania. Z tego też względu rozszerzono zakres przykładowych ćwiczeń, których celem jest zachęcenie nauczycieli do wykorzystywania własnych pomysłów.

Adresatami publikacji są – podobnie jak w poprzednich wydaniach – przede wszystkim czynni zawodowo i zaznajomieni z podstawami antropologii Steinerowskiej nauczyciele waldorfscy. Autor żywi jednak nadzieję, że również koleżanki i koledzy ze szkół innego typu znajdą w niej liczne wskazówki oraz inspiracje do pracy z dziećmi.

Niektórzy z Czytelników uznają być może, że zbyt mało jest odwołań do ogólnych dyskusji na temat dydaktyki matematycznej. Oczywiście dyskusje takie można by w wielu przypadkach podejmować, jednak wówczas zmieniłby się charakter książki – to znaczy oddaliłaby się ona od praktyki nauczania. Chciałbym tu jeszcze zaznaczyć, że w literaturze przedmiotu  można znaleźć niestety bardzo mało bezpośrednich nawiązań do zasadniczej myśli zawartej w tej publikacji, a mianowicie do nauczania uzasadnionego antropologicznie. Mimo że w publikacjach poświęconych problematyce nauczania obecny jest zawsze implicite antropologiczny fundament, pozostaje on jednak na ogół pozbawiony aspektu autoreflekcji bądź wręcz przemilczany.

Dlatego też za bardzo istotny należy uznać fakt, że nowe metody wypracowane przez nauki neurologiczne coraz wyraźniej uwidoczniają związki między procesami rozwojowymi a procesami uczenia się, a w konsekwencji zależności między wychowaniem a kształtowaniem się konstytucji dziecka. Stwarza to szanse na upowszechnienie się w przyszłości wiedzy o tym, że wychowanie i nauczanie stanowią nie tylko proces psychologiczno-społeczny, lecz także (zawsze) proces kształtujący konstytucję cielesną dziecka. Po upływie dłuższego czasu może to doprowadzić do powstania u wychowawców nowej świadomości.

Antropozoficzno-antropologiczne fundamenty, na jakich przede wszystkim opiera się ta książka, to psychologia rozwojowa oraz nauka o zmysłach Rudolfa Steinera. Warto zachęcać nauczycieli matematyki, aby zajęli się tymi tematami i opracowali uzasadnienia antropologiczne w zakresie nauczania matematyki i to odmienne od tych, które prezentuję poniżej, aby podjęli dyskurs z niniejszą pracą. Postulują to także Susanne Prediger i Heiner Ullrich w artykule Nauczanie matematyki w szkołach waldorfskich:

Dialog dydaktyki matematycznej z pedagogiką waldorfską jeszcze się właściwie nie rozpoczął. Podstawowym warunkiem takiego dialogu jest gotowość dydaktyków szkolnego mainstreamu do potraktowania pedagogów waldorfskich jako rzeczywistych i poważnych partnerów do dyskusji17.

Należałoby dodać, że poważne potraktowanie zakłada zawsze posiadanie gruntownej wiedzy na dany temat.

Uczuciem wdzięczności napawa mnie myśl, że niniejsza książka została w ubiegłych latach przetłumaczona na wiele języków, między innymi na angielski, rosyjski, włoski i japoński. Chciałbym złożyć podziękowania koleżankom i kolegom za to, że tak życzliwie wspierali mnie w przygotowywaniu jej kolejnych wydań. Są to przede wszyskim: Michael Toepell (Lipsk), Alexandra Hoffend (Lipsk), Christina Moratschke (Muttenz), Gunther Keller (Mannheim) oraz Jennifer Kaiser (Lipsk).

Szczególne podziękowania kieruję także do Martina Lintza z wydawnictwa Freies Geistesleben w Stuttgarcie, który z niezwykłą starannością kierował pracą nad wszystkimi dotychczasowymi wydaniami mojej książki.

Ernst Schuberth

Freie Hochschule, Mannheim, czerwiec 2011 r.

Wprowadzenie: Treść i sposób korzystania z książki

Książka ta jest przeznaczona dla praktyków: dla nauczycieli oraz terapeutów pracujących z dziećmi. Z tego właśnie powodu tekst główny wprowadza od razu w praktykę nauczania, natomiast wszystkie rozważania natury bardziej teoretycznej są krótkie i zwięzłe. W porównaniu z wydaniami wcześniejszymi wywody sensu stricto matematyczne zostały skrócone i mocniej zintegrowane z tekstem pedagogicznym. Rozszerzeniu uległy natomiast wskazówki praktyczne. Dodano także nową zabawę rachunkową, w której wyraźniej niż poprzednio opracowano między innymi możliwe sposoby nawiązywania w działaniach arytmetycznych do temperamentów uczniów18.

Z całą świadomością używałem w niniejszym opracowaniu bardzo prostego słownictwa, mimo że prowadziło to w przeszłości u niektórych kolegów do nieporozumień dotyczących dydaktyki przedmiotu. Na zarzuty, że moje ujęcie tematu nie jest naukowe, odpowiem, że należy rozważyć fakt, iż naukowość opiera się nie na doborze wyrażeń językowych, lecz na związkach znaczeniowych. A do rozmyślań może często nakłonić właśnie odmienny od powszechnie używanego sposób wyrażania myśli19. Istotne jest przy tym także to, że terminologia, którą się posługuję, odkrywa pełnię swych znaczeń dopiero w kontekście pedagogiki waldorfskiej bądź antropozofii.

Problem ten chciałbym wyjaśnić, korzystając z porównania, które rzecz jasna, tak jak wszystkie porównania, oddaje jedynie pewien aspekt zagadnienia. Jeśli niezaznajomiony z matematyką Czytelnik napotkałby w podręczniku do algebry słowa „grupa”, „pierścień”, „ciało”, to wychodząc z własnego sposobu rozumienia języka, mógłby uznać wszystko, co na ten temat w nim powiedziano, za pozbawione sensu.

W publikacji konieczne było na przykład używanie słów myślenie, uczucia oraz wola (chcenie). Można je w zasadzie pojąć, opierając się na znaczeniu potocznym, jednak dokładne znaczenie jawi się dopiero w kontekście steinerowskiej antropologii. Wydaje mi się, iż należy o tym przypomnieć, mimo że z naukowego punktu widzenia jest to oczywiste.

Czytelnik może oczywiście uważać, że pojęcia Steinerowskiej nauki o człowieku są nieweryfikowalne. A jednak bardzo wielu ludzi – zarówno z wykształceniem akademickim, jak i bez niego – uznaje zasadność tych pojęć. Osoby, które traktują antropozofię jako rodzaj wierzenia, powinien ów fakt co najmniej zachęcić do przemyśleń. Rzeczywiste rozumienie antropozofii – a nie tylko powtarzanie i cytowanie – wymaga bowiem gruntownych studiów. Studiów, które ćwiczą zdolność do rozumienia pojęć. Podobnie jak w przypadku podręcznika do matematyki wyższej, sens może się odsłonić dopiero dzięki studiom przygotowawczym, a bywa i tak, że się nie odsłania wcale. Niesłuszność wielu zarzutów wobec antropozofii bierze się z tego, że nie uwzględnia się warunków niezbędnych do sensownego dotarcia do istoty sprawy, a ich spełnienie jest niemożliwe bez intensywnej pracy.

Tytuł oryginału: 

Der Anfangsunterricht in der Mathematik. Aufbau und fachliche Grundlagen

Seria: Menschenkunde und Erziehung nr 63

Schriften der Pädagogischen Forschungsstelle beim Bund der Freien Waldorfschulen

© Copyright by Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 2012

© Copyright for the Polish edition by Oficyna Wydawnicza „Impuls”, Kraków 2013

© Copyright for Polish translation by Barbara Kowalewska

Przekład na język polski według trzeciego wydania w języku niemieckim  (zmienione i rozszerzone) z 2012 roku

Pierwsze wydanie w języku niemieckim:

Verlag Freies Geistesleben & Urachhaus GmbH, Stuttgart 1993

Landhausstrasse 82,

70190 Stuttgart

www.geistesleben.com

Redaktor naukowy serii: prof. zw. dr hab. Bogusław Śliwerski

Redakcja merytoryczna: Maria Baranowska

Redakcja wydawnicza: Beata Bednarz

Projekt okładek serii i logo: Anna M. Damasiewicz

Opracowanie graficzne okładki: Anna Bugaj-Janczarska

Opracowanie typograficzne: Agata Gąsiorek

Ilustracja na okładce: strona z zeszytu do cyklu tematycznego lekcji rachunków; pierwsza klasa szkoły waldorfskiej, Geert Groote School Amsterdam

Wydanie publikacji wsparła finansowo fundacja Software AG

ISBN serii: 978-83-7308-786-6

ISBN wersji drukowanej: 978-83-7587-636-9

ISBN wersji elektronicznej: 978-83-7850-460-3

Oficyna Wydawnicza „Impuls”

30-619 Kraków, ul. Turniejowa 59/5

tel./fax: (12) 422 41 80, 422 59 47, 506 624 220

www.impulsoficyna.com.pl, e-mail: impuls@impulsoficyna.com.pl

Niniejsze wydanie książki zostało przygotowane przez OW Impuls.

Utwór poddano modernizacji pisowni i opracowaniu edytorskiemu, by uczynić jego tekst przyjaznym dla współczesnego czytelnika.