Tytuł oryginału

FINDING ZERO

A Mathematician’s Odyssey to Uncover the Origins of Numbers

Copyright © 2015 by Amir D. Aczel

All rights reserved

Projekt okładki

Prószyński Media

Redaktor serii

Adrian Markowski

Redakcja i korekta

Anna Kaniewska

Łamanie

Jacek Kucharski

ISBN 978-83-8097-873-7

Warszawa 2017

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Dla Miriam,

która uwielbia naukę

Podziękowania

JESTEM NIEZMIERNIE WDZIĘCZNY FUNDACJI IM. ALFREDA P. SLOANA w Nowym Jorku i Doronowi Weberowi, kierownikowi realizowanego przez Fundację „Programu szerzenia wiedzy z zakresu nauki i techniki”, a także pozostałym pracownikom Fundacji za wsparcie, jakiego udzielili mi podczas pisania tej książki. Mogę śmiało powiedzieć, że bez zaufania, jakim obdarzyła mnie Fundacja Sloana, i bez przyznanego mi stypendium na badania książka ta nigdy by nie powstała, a cenne kamienne znalezisko, skatalogowane jako K-127, na którym widnieje najwcześniejsze zero zapisane w naszym systemie liczbowym, nigdy nie zostałoby ponownie odkryte i świat naukowy nie zwróciłby na nie uwagi.

W realizacji tego przedsięwzięcia pomogły mi również inne osoby. Dziękuję Jego Ekscelencji Hab Touchowi, dyrektorowi generalnemu Ministerstwa Kultury i Sztuki w Kambodży, za nieocenioną pomoc w ponownym odkryciu steli, na której wyryto znak nazwany przez niego później „Zerem Khmerów”. Dziękuję Chamroeunowi Chhanowi, Rotanakowi Yangowi, Ty Sokhengowi, Sathalowi Khunowi, Darrylowi Collinsowi, Takao Hayashiemu, C.K. Raju, Fredowi Lintonowi, Jacobowi Meskinowi, Marinie Ville, W.A. Casselmanowi, Ericowi Dieu, a szczególnie Andy’emu Brouwerowi z Phnom Penh za okazaną mi pomoc.

Jestem wdzięczny mojemu agentowi, Albertowi Zuckermanowi z agencji Writers House w Nowym Jorku, za entuzjastyczne podejście do realizacji tego przedsięwzięcia i pomoc w wydaniu książki. Dziękuję redaktor Karen Wolny z wydawnictwa Palgrave Macmillan za to, że uwierzyła w tę książkę, uważnie ją zredagowała, a także przekazała komentarze i sugestie, dzięki którym efekt końcowy jest o wiele lepszy. Gorące podziękowania składam Lauren LoPinto za jej poprawki redaktorskie, Carol McGillivray za wspaniałą redakcję i mądre komentarze, kierownikowi produkcji Alanowi Bradshawowi za zajęcie się skomplikowanym procesem wydania książki i adiustatorowi Billowi Warhopowi za wspaniałą pracę. Dziękuję także projektantce Rachel Ake, kierownikowi artystycznemu Davidowi Baldeosinghowi Rotsteinowi i pracownikom firmy Letra Libre za trud włożony w przekształcenie rękopisu w prawdziwą książkę.

Na koniec chciałbym wyrazić wdzięczność mojej żonie Debrze za wszystkie jej sugestie i pomoc, za to, że towarzyszyła mi podczas niektórych etapów tej wielkiej wyprawy w poszukiwaniu pierwszego zera, i za wykonanie zdjęć, które znalazły się w tej książce.

Wprowadzenie

WYNALEZIENIE LICZB TO JEDNA Z NAJWAŻNIEJSZYCH abstrakcyjnych koncepcji, jakie zrodziły się w ludzkim umyśle. Praktycznie wszystko w naszym życiu jest cyfrowe, liczbowe, wyrażone ilościowo w ten czy inny sposób. Jednak historia tego, jak poznaliśmy liczby, od których tak bardzo jesteśmy uzależnieni, długo owiana była tajemnicą. Ta książka jest moją osobistą opowieścią o obsesji, jaką byłem ogarnięty przez całe życie – o pragnieniu odkrycia pochodzenia naszych liczb. Krótko prześledzimy w niej znaną historię babilońskich liczb zapisywanych pismem klinowym i późniejszych liczb greckich i rzymskich, a następnie zadamy sobie kluczowe pytanie: skąd pochodzą tak zwane cyfry indyjsko-arabskie, którymi posługujemy się obecnie? W swoich poszukiwaniach zapuściłem się na nieznany jeszcze teren, udając się na wyprawę do źródeł tych cyfr w Indiach, Tajlandii, Laosie, Wietnamie i ostatecznie w kambodżańskiej dżungli, gdzie znajdowała się zapomniana inskrypcja z VII wieku. Po drodze spotkałem wiele interesujących osób: naukowców dążących do odkrycia prawdy, podróżników przemierzających dżunglę w poszukiwaniu przygód, zaskakująco szczerych polityków, bezwstydnych przemytników i podstępnych rabusiów gotowych przywłaszczyć sobie cudze znaleziska.

W POSZUKIWANIU ZERA

1

GDY POD KONIEC LAT PIĘĆDZIESIĄTYCH XX WIEKU wysłano mnie do pierwszej klasy w prywatnej szkole Hebrew Reali School w Hajfie w Izraelu, zadano mi pytanie, które stawia się tam wszystkim uczniom rozpoczynającym naukę. Moja nauczycielka, panna Nira, młoda, piękna kobieta, która dużo się uśmiechała i nosiła długie, kolorowe sukienki, pytała po kolei każdego sześciolatka, czego chciałby się dowiedzieć w tej szkole.

– Jak zarobić dużo pieniędzy – odparło jedno dziecko.

– Co sprawia, że drzewa i zwierzęta rosną – odpowiedziało inne.

Gdy przyszła kolej na mnie, powiedziałem szczerze, czego chciałbym się dowiedzieć:

– Skąd wzięły się liczby.

Panna Nira spojrzała na mnie zdziwiona i na chwilę zastygła, a potem bez słowa zwróciła się do dziewczynki siedzącej obok mnie. Nie byłem nad wiek rozwiniętym dzieckiem, które stawia nauczycielom pytania wprawiające ich w zakłopotanie – po prostu miałem bardzo niezwykłe dzieciństwo. Moja odpowiedź na pytanie postawione przez nauczycielkę była bezpośrednim wynikiem tego, czego doświadczyłem w czasach tego wyjątkowego dzieciństwa.

Mój ojciec był kapitanem SS Theodor Herzl, statku wycieczkowego przemierzającego Morze Śródziemne z prędkością 21 węzłów, kursującego z portu macierzystego w Hajfie do mitycznych wysp, takich jak Korfu, Ibiza i Malta, a także – często – do bajecznego Monte Carlo. Jednym z przywilejów, jakie miał ojciec jako kapitan, było prawo do zabierania ze sobą rodziny, kiedy tylko miał na to ochotę. Bardzo często z niego korzystaliśmy i w efekcie chodziłem do szkoły tylko przez część każdego roku, a zaległości nadrabiałem, ucząc się z prywatnymi nauczycielami lub samodzielnie. Po powrocie do szkoły musiałem oczywiście zdawać zaległe egzaminy.

Gdy Theodor Herzl zawijał do uroczego Monako ze wspaniałym pałacem wznoszącym się dumnie na skale nad Morzem Śródziemnym, ojciec rzucał kotwicę, a zaraz potem szybka motorówka przewoziła pasażerów i załogę na brzeg. Nocą wielu z nich wybierało się do słynnego kasyna w Monte Carlo, stojącego na brzegu morza w centrum miasta. Bez dwóch zdań była to światowa stolica hazardu w najwytworniejszym wydaniu. Jednak osoby niepełnoletnie, takie jak ja, nie miały wstępu do sal, w których koronowane głowy, gwiazdy filmowe i znane osobistości zabiegały o względy kapryśnej Fortuny. Gdy więc dorośli z naszego statku, włącznie z moimi rodzicami, grali w ruletkę, mnie zostawiano pod opieką jednego ze stewardów na zewnątrz tego pałacu z białego marmuru, stojącego pośród wysokich palm, bugenwilli oraz białych i czerwonych oleandrów. Biegałem z moją siostrą Ilaną po ścieżkach bujnego ogrodu i razem bawiliśmy się w chowanego wśród pachnących krzewów.

Próbowaliśmy sobie z Ilaną wyobrazić, co się może dziać w środku tego imponującego budynku, do którego, jak sądziliśmy, nigdy nie uda się nam wejść. Czy odbywają się tam tańce? Czy goście jedzą wykwintne dania, jak to często bywało na pokładzie naszego statku? Wiedzieliśmy, że dorośli grają tam w jakieś gry – zawsze o tym rozmawiali po powrocie na statek – ale jakie? Umieraliśmy z ciekawości, jak tam jest, i bezustannie o tym ze sobą szeptaliśmy.

Aż pewnego dnia przyszła kolej na osobistego stewarda naszego taty, by zająć się nami w ogrodach kasyna. Laci (wymawia się „Lotzi”), Węgier, obmyślił sposób na to, by przemycić trzyletnią dziewczynkę i pięcioletniego chłopca do środka kasyna. Był moim ulubionym stewardem – pozostali to nudziarze w średnim wieku, którzy zajmowali się nami z pewną niechęcią (tak naprawdę nie wchodziło to w zakres ich obowiązków). Byli uprzejmi i grzeczni, ale traktowali nas dość chłodno i oficjalnie. Za to, gdy zajmował się nami Laci, zawsze działo się coś zabawnego i nierzadko robiliśmy różne psoty, na które inni dorośli nam nie pozwalali.

– Ten chłopiec musi natychmiast zobaczyć się z matką. To pilne! – wysyczał Laci do ponurego, ogromnego ochroniarza w smokingu, który pilnował drzwi, i nie czekając na odpowiedź, popchnął nas do środka kasyna.

Mój ojciec, kapitan E.L. Aczel, z francusko-włoską piosenkarką Dalidą na pokładzie statku zacumowanego u wybrzeży Monako w 1957 roku

Śmiertelnie się bałem, że zaraz nas wyrzucą. Wiedziałem, że kasyno jest dla nas, dzieci, terenem zakazanym. Ale ku mojemu ogromnemu zdziwieniu nic się nie stało. Nikt nie podbiegł, by nas stamtąd wygonić. Byłem oszołomiony. Na podłodze pokrytej ozdobnym dywanem zobaczyłem wielkie, eleganckie stoły przykryte zielonym suknem, a na każdym z nich wyrysowana była szachownica z czerwonymi i czarnymi liczbami oraz jedno bardzo szczególne pole z okrągłą cyfrą na zielonym tle. Powietrze było ciężkie od dymu cygar i fajek i musiałem się bardzo powstrzymywać, by nie zanieść się kaszlem.

Ucieszyłem się, gdy przy jednym ze stołów zobaczyłem rodziców. Wiedziałem jednak, że nie mogę im przeszkadzać. Stałem więc bez ruchu i nie odzywałem się ani słowem. Bałem się, że ten cudowny sen może się w każdej chwili skończyć.

Ojciec siedział u szczytu stołu, po przeciwnej stronie niż krupier, ubrany w wytworny biały kapitański mundur z licznymi brytyjskimi medalami, które otrzymał za bohaterstwo podczas wojny, a obok niego zobaczyłem mamę w oszałamiającej jasnoniebieskiej sukni wieczorowej. Po jednej ich stronie siedział amerykański kongresman z któregoś z południowych stanów, a po drugiej słynna francusko-włoska piosenkarka Dalida. Oboje byli ważnymi osobistościami towarzyszącymi nam podczas tego rejsu. Wokół stołu zebrali się również inni pasażerowie i wszyscy z ogromnym napięciem obserwowali dużą czarną misę na środku.

Zauważyłem, że skupiają uwagę na małej białej kulce, którą mężczyzna w krótkiej czarnej marynarce, koszuli z białym kołnierzykiem i czarnej muszce wrzucił do misy z obracającym się kołem. Laci przesuwał się dyskretnie do przodu, aż w końcu stanęliśmy tuż za rodzicami. To było fascynujące – znaleźliśmy się w samym środku tego magicznego rytuału, dostępnego wyłącznie dla osób, które ukończyły 21 lat. Laci trzymał mnie i siostrę na rękach, tak że siedzieliśmy wygodnie, każde w jednym z jego ramion. Z tej wysokości dobrze widziałem wszystko, co dzieje się na stole.

Zrobiło się dziwnie cicho, gdy kulka wirowała we wnętrzu misy. Słyszałem każde jej stuknięcie o metalowy rowek oddzielający liczby na dole koła i każde odbicie w dół od jednej z czterech metalowych ozdób w kształcie rombu, umieszczonych ponad liczbami po wewnętrznej stronie misy. Czułem napięcie i wyczekiwanie. Ojciec odwrócił się nagle i gdy nas zauważył, uśmiechnął się porozumiewawczo do Laciego, ale zaraz potem ponownie skupił uwagę na stole.

– Spójrz – wyjaśnił Laci szeptem. – Widzisz? Na stole są wypisane liczby i każda z nich znajduje się również na kole. Teraz patrz uważnie, co się będzie działo.

Siedziałem mu na ręce z głową wyciągniętą do przodu – nie chciałem, żeby mi cokolwiek umknęło. Mała kulka wciąż odbijała się wokół misy, ale już wolniej. Wkrótce się zatrzyma. Ale gdzie? Na której liczbie wyląduje? Laci powiedział, że kulka może się zatrzymać tylko na jednej liczbie, ponieważ wszystkie pola są rozdzielone metalowymi ściankami. Gdy koło zwalniało, starałem się odgadnąć, gdzie wpadnie kulka. Mogłem już teraz odczytać poszczególne liczby wypisane na dole.

Te kolorowe liczby całkowicie mnie oczarowały. Ich ozdobne kształty pociągały mnie swoją tajemniczością, a później, gdy dorastałem, zrozumiałem, że są one odzwierciedleniem podstawowych abstrakcyjnych pojęć, które rządzą naszym światem. Nigdy nie zapomnę ich widoku na planszy obitej suknem. Zakochałem się w ich magii. Kojarzyły mi się z czymś pociągającym i zakazanym, z jakąś nieznaną przyjemnością, która czeka na odkrycie. Kulka wreszcie odbiła się po raz ostatni i zatrzymała na liczbie siedem. Nagle przy stole zrobiło się głośno. Starsza kobieta w jasnożółtej sukni wieczorowej, siedząca po przeciwnej stronie, nagle zerwała się z miejsca i krzyknęła:

– Tak!

Wszystkie głowy odwróciły się w jej kierunku. Niektórzy gracze gratulowali jej, jak gdyby mieli udział w wygranej. Inni, być może z zazdrości lub zmartwieni własną porażką, głośno wyrażali swoje rozczarowanie.

Krupier przesunął po stole wielki stos żetonów w różnych kolorach – małych, okrągłych i większych, prostokątnych z wypisanymi na nich dużymi liczbami. Wiedziałem, że te kawałki plastiku zastępują pieniądze, a każdy kolor i kształt oznacza inną kwotę. Wprawdzie nie znałem się wtedy jeszcze zbyt dobrze na pieniądzach, ale widząc liczbę i rozmiar żetonów oraz niesłabnące ożywienie wokół stołu, zrozumiałem, że ta kobieta stała się bogata. Laci wyjaśnił mi, że krupier daje jej kwotę wielokrotnie większą, niż wynosił zakład, ponieważ postawiła na pojedynczą liczbę. Spojrzałem na nią – zobaczyłem euforię malującą się na jej uśmiechniętej twarzy i usłyszałem pełne entuzjazmu okrzyki:

– Wygrałam! Wygrałam!

Wówczas Laci wymamrotał, jak gdyby do siebie:

– Siedem, liczba pierwsza.

Zaciekawiło mnie, co to znaczy. Laci zawsze miał nam do przekazania ważne rzeczy i wiedziałem, że ta stłumiona uwaga musiała coś oznaczać. Dużo później, już na statku, wyjaśnił mi, czym są liczby pierwsze. Zauroczenie nimi miało mi później towarzyszyć przez całe życie.

Laci z własnej inicjatywy został moim nauczycielem matematyki na statku. Pewnego dnia mama przyglądała się przez dłuższy czas, jak Laci mnie uczy, a potem spytała tatę, skąd jego steward tak dużo wie na ten temat. Okazało się, że tuż po wojnie Laci był niezwykle obiecującym doktorantem na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, ale potem wybuchła duża afera związana z jego badaniami, które miały coś wspólnego z tajnymi informacjami – być może chodziło nawet o podejrzenia o szpiegostwo – i pod naciskiem KGB władze uniwersytetu poprosiły go o opuszczenie uczelni. Wszystkie te wydarzenia spowijała aura tajemniczości. Laci nigdy o tym nie mówił i nikt nie znał żadnych szczegółów na ten temat.

Jednak Laci najwyraźniej odegrał się na Sowietach, ponieważ dalszy ciąg tej historii jest dobrze znany i był opisywany we wszystkich gazetach. Po zrezygnowaniu ze studiów pojechał do Czechosłowacji, gdzie nauczył się latać na samolotach wojskowych. Akurat wtedy, w 1948 roku, Żydzi z rodzącego się państwa Izrael zostali zaatakowani przez otaczające ich ze wszystkich stron kraje arabskie. Laci usłyszał, że bardzo potrzebne są im samoloty, i choć nie miał żydowskich korzeni, wskoczył na fotel pilota jednej z czeskich maszyn, na których się uczył, wystartował i poleciał do Izraela, gdzie przekazał samolot jako dar nowo utworzonym Izraelskim Siłom Powietrznym.

Ponieważ w nowym kraju nie miał nic innego do roboty, zaczął pracować dla firmy przewozowej Zim Lines i ostatecznie został stewardem mojego taty. Obaj byli Węgrami i łączyło ich wspólne pochodzenie, poglądy i podejście do życia. (Nawiasem mówiąc, statek Theodor Herzl został tak nazwany na cześć innego Węgra, którego teoria polityczna położyła podwaliny pod państwo Izrael). Ojciec i Laci byli ze sobą zżyci, a Laci bardzo poważnie traktował swoje obowiązki stewarda kapitana i nigdy się za bardzo od taty nie oddalał. Ponieważ na statku był członkiem załogi przebywającym najbliżej ośrodka władzy, praktycznie każdy chciał być jego przyjacielem. Tak upływało jego nowe życie, ale mimo to nigdy nie stracił zamiłowania do matematyki i przez kolejne lata wiele mnie na ten temat nauczył.

– Skąd się wzięły te liczby? – spytałem go, gdy na statku kładł mnie i moją siostrę do łóżka po naszej wielkiej przygodzie w kasynie. Opuściliśmy kasyno w trójkę, gdy ojciec w końcu odwrócił się do Laciego i wskazał gestem, że czas już, by dzieci poszły spać.

– To jest wielka zagadka – odparł. – Nikt tak naprawdę tego nie wie.

A ponieważ widział, że Ilana i ja wciąż jesteśmy pobudzeni po przeciągającej się do późnego wieczoru wizycie w miejscu, do którego od dawna chcieliśmy wejść, zamiast bajki na dobranoc opowiedział nam część tego, co na ten temat wiadomo:

– Nazywamy te cyfry – bo tak poprawnie nazywa się kształty liczb, które widzieliście – arabskimi, czasami indyjskimi, a nawet indyjsko-arabskimi. Jednak kiedyś, gdy waszego tatę i mnie zatrzymano wraz z całą załogą w jednym z arabskich miast portowych, wykorzystałem okazję, by się dowiedzieć, jakimi cyframi Arabowie posługują się obecnie.

Otworzył szufladę, wyjął blok papieru listowego i zapisał dużymi znakami dziesięć arabskich cyfr.

– Widzicie? W niczym nie przypominają dobrze nam znanych liczb, które oglądaliśmy dzisiaj na stole w kasynie.

Wpatrywałem się zdumiony w te liczby. Nigdy nie widziałem takich znaków. Tylko jeden z nich przypominał naszą cyfrę 1; reszta była dla nas zupełnie obca. Piątka była niewielkim, nierównym kółkiem, a zero – kropką. Próbowałem skopiować liczby zapisane przez Laciego, ale nie wychodziło mi to zbyt dobrze.

Potem Laci wyjął talię kart, którą zabrał ze sobą, i rozłożył je obrazkami do góry. Usiłowałem odczytać wszystkie wypisane na nich liczby, a mała Ilana bawiła się nimi, obracając ozdobnie wyrysowane postacie czerwonych i czarnych królów, królowych i waletów. Zauważyła, że rysunki wyglądają tak samo, nawet gdy obróci się je do góry nogami. Bawiliśmy się tymi wspaniałymi liczbami i rysunkami jeszcze przez jakieś pół godziny, aż w końcu zasnęliśmy.

Następnej nocy Laci znowu przyszedł ułożyć nas do snu. Zajmowaliśmy razem z siostrą kabinę sąsiadującą z kajutą kapitańską, w której spali moi rodzice i gdzie przebywaliśmy w ciągu dnia.

– Porozmawiajmy jeszcze trochę o liczbach – powiedział. – Wiecie już, że nie przypominają zbytnio cyfr arabskich. Okazuje się jednak, że nie są też podobne do liczb indyjskich.

I na nowej kartce papieru listowego narysował liczby indyjskie, jakimi posługują się obecnie mieszkańcy niektórych regionów Indii. Powiedział, że podobnych znaków używa się też w Nepalu, Tajlandii i innych krajach azjatyckich.

– Tego również dowiedziałem się z pierwszej ręki – wyjaśnił – gdy kilka lat temu, podczas rejsu po świecie, nasz statek zacumował w Bombaju.

Przyglądałem się tym dziwnym liczbom i próbowałem je przepisać, a moja siostra zrobiła kilka rysunków. Śmialiśmy się z moich prób, aż w końcu zasnęliśmy. Następnej nocy miałem do Laciego wiele pytań na temat pochodzenia liczb.

– Skąd się tak naprawdę wzięły te liczby? Dlaczego nie posługujemy się cyframi arabskimi? Dlaczego różne kraje mają własne liczby? I kto je wszystkie wymyślił?

Chciałem od razu poznać wszystkie odpowiedzi – tak byłem zaintrygowany i zafascynowany nimi, że nie mogłem o niczym innym myśleć.

Odpowiedź Laciego trochę mnie rozczarowała. Powiedział jedynie:

– Zapytaj swojego nauczyciela matematyki, gdy wrócisz do szkoły w następnym miesiącu.

Zrobiło mi się przykro. Był już koniec sierpnia i wiedziałem, że niestety wkrótce będę musiał razem z mamą i siostrą opuścić statek i przynajmniej przez kilka miesięcy chodzić do szkoły, zanim będziemy mogli ponownie dołączyć do ojca i wyruszyć w kolejną podróż. Będzie mi brakowało Laciego, naszych niemal codziennych, inspirujących rozmów na temat statków, portów, miast, żeglowania – i liczb.

W szkole często się nudziłem. Bardzo podobała mi się nauka przez doświadczenie, jaką otrzymywałem na pokładzie statku. Możliwość dowiadywania się z pierwszej ręki, jak działa świat, nawet jeśli wszystko to postrzegałem z wciąż jeszcze nie w pełni ukształtowanego punktu widzenia dziecka. Lubiłem uczyć się życia od rodziców, stewardów okrętowych, a zwłaszcza od oddanego i niezwykle uważnego Laciego, który wyjaśniał wszystko w zrozumiały sposób. W szkole omawiane problemy wydawały mi się oderwane od rzeczywistości, rutynowe i nieciekawe. Tam robiłem wszystko po linii najmniejszego oporu i odliczałem dni do chwili, gdy dołączymy do taty na statku. Nie mogłem się doczekać ponownego spotkania na pokładzie z moim przyjacielem i mentorem, a dziecięca intuicja podpowiadała mi, że wie on znacznie więcej, niż mi przekazuje.

Ogarnęła mnie obsesja na punkcie odkrycia pochodzenia ozdobnych cyfr, które widziałem na stole do gry w kasynie. Chciałem się dowiedzieć, skąd się wzięły symbole liczb, którymi posługujemy się na co dzień, i nie mogłem się doczekać, kiedy Laci powie mi coś więcej na ten temat – i pokaże nowe rzeczy związane z liczbami, wykorzystując do tego wszystko, co się nam przydarza w trakcie podróży. Dopiero zaczynałem rozumieć, że tak naprawdę mamy tu do czynienia z dwoma związanymi ze sobą pojęciami cyfr i liczb. Liczby są obiektami abstrakcyjnymi. Czułem, że jest tu jeszcze wiele do odkrycia, mimo iż prawdziwa głębia pojęcia liczby wciąż przekraczała moje możliwości pojmowania. Byłem jednak już na tyle duży, by mogło się we mnie zrodzić pragnienie dowiedzenia się, jak powstały znaki oznaczające liczby – skąd się wzięło owych dziesięć cyfr, którymi się obecnie posługujemy.

NASTĘPNY GODNY UWAGI REJS STATKIEM okazał się naprawdę wyjątkowy. Zamiast zwyczajnej wyprawy na popularne wyspy lub do bogatych kasyn (działo się to w czasach, gdy hazard na pokładach statków nie był jeszcze czymś normalnym) towarzystwo żeglugowe wysłało swój okręt flagowy dowodzony przez mojego ojca w rejs historyczno-edukacyjny (również to była nowość – mówimy o epoce przed narodzinami masowej „turystyki kulturalnej”). Popłynęliśmy najpierw do Pireusu, portu w pobliżu Aten, gdzie pasażerowie zwiedzili Akropol pod opieką fachowego przewodnika, a następnie wysłuchali wykładów na temat narodzin greckiej demokracji, architektury, rzeźby i matematyki.

Mój ojciec lubił wieść przyjemne życie i jako kapitan statku miał ku temu wiele okazji. W każdym porcie miejscowy przedstawiciel firmy żeglugowej zapraszał go na kolację do najdroższej lub najciekawszej restauracji w mieście. W Pireusie przedstawicielem Zim Lines był pan Papaioanis, wesoły, korpulentny Grek z wyspy Patmos. Zaprosił nas wszystkich na kolację do restauracji na plaży o nazwie To Poseidoneion (U Posejdona), mieszczącej się przy jednej z bocznych uliczek ciągnących się wzdłuż morza. Gdy po latach wspominam tę kolację, wciąż czuję zapach świeżych krewetek skwierczących nad otwartym ogniem i łagodny wiatr na twarzy; gdy zamykam oczy, widzę światła odległych kutrów rybackich kołyszących się spokojnie na wodzie i słyszę fale rozbijające się o piasek. To był wspaniały wieczór i marzyłem, by nigdy się nie skończył. Wtedy po raz pierwszy poznałem Grecję i atrakcje, jakie ma do zaoferowania. Po wspaniałym posiłku poszliśmy na długi spacer wzdłuż brzegu i w końcu plaża doprowadziła nas z powrotem do portu w Pireusie i do naszego statku, który czekał na nas zacumowany przy głównym nabrzeżu między dwoma promami.

Następnego dnia Laci obudził mnie wcześnie.

– Twoja siostra i mama wybierają się dzisiaj na zakupy. Co byś powiedział, gdybym w tym czasie pokazał ci starożytne greckie liczby?

– Świetnie! – odpowiedziałem, wyskakując z łóżka i zaczynając się ubierać.

Zapowiadał się ciekawy dzień. Poszedłem do dużej kajuty taty, żeby zaczekać na Laciego, który przygotował już dla mnie śniadanie. Z przyjemnością zjadłem świeżo wyjętego z okrętowego piekarnika, wciąż jeszcze parującego croissanta, popijając go gorącą czekoladą.

Tata był na mostku i gdy kończyłem śniadanie – mama i siostra wciąż jeszcze spały – zszedł do kajuty.

– Wcześnie dzisiaj wstałeś – zauważył.

– Tak – odpowiedziałem z przejęciem – Laci zabiera mnie do Aten, żeby pokazać mi greckie liczby!

Ojciec skinął głową. Nie byłem pewien, czy zrozumiał – a raczej docenił – jak ważna była dla mnie przyjaźń z Lacim: że jestem nawet skłonny poświęcić czas, który mogłem spędzić z rodziną, na oglądanie z nim jakichś liczb.

Wkrótce przyszedł Laci i zeszliśmy po trapie na pomost, a potem wsiedliśmy od razu do czekającej już na nas taksówki. Pojechaliśmy zatłoczonymi o tej porze dnia drogami aglomeracji ateńskiej, wspinając się po ulicach gęsto zaludnionych wzgórz między Pireusem a stolicą Grecji. Powietrze było mocno zanieczyszczone – w okolicach Aten, podobnie jak w Los Angeles, występuje zjawisko inwersji temperatury, które prowadzi do uwięzienia gazów i cząsteczek pyłu – i często kaszlałem. Mniej więcej po godzinie dotarliśmy do centrum Aten, gdzie taksówkarz wysadził nas w dzielnicy Plaka, na placu pod Akropolem pełnym sklepów, butików i kawiarń. Stamtąd wspięliśmy się stromą ścieżką prowadzącą do Partenonu – świątyni z V wieku p.n.e. poświęconej greckiej bogini Atenie.

Wchodziliśmy powoli po dróżce wyłożonej białymi kamieniami. Powietrze było tu czyste i rześkie, a wkoło kwitły krokusy. Czułem świeży zapach otaczających nas pinii. Na samym szczycie kupiliśmy bilety i weszliśmy do ruin starożytnego Akropolu. Powoli wspięliśmy się po kamiennych schodach do słynnego Partenonu. Od czasu do czasu zatrzymywałem się, żeby złapać oddech i spojrzeć do góry na wspaniałą świątynię, ku której zmierzaliśmy.

– Piękna, prawda? – spytał Laci.

– Tak, to bardzo ładna budowla. Szczególnie podobają mi się te kolumny.

– Są z marmuru. A wiesz, dlaczego wydaje ci się tak piękna?

Odparłem, że nie wiem.

– To kwestia proporcji – wyjaśnił. – Partenon wybudowano zgodnie ze starożytną zasadą nazywaną złotym podziałem. Stosunek długości świątyni do jej wysokości wynosi około 1,618. Wydaje się, że liczba ta charakteryzuje wiele rzeczy, które uważamy za piękne, a ponadto występuje też w przyrodzie.

Słuchałem jak urzeczony. Laci wyjaśnił, że liczba będąca podstawą złotego podziału wywodzi się z matematycznego ciągu liczb, nazywanego ciągiem Fibonacciego. Pokazał mi, że aby otrzymać kolejne liczby ciągu, należy dodawać do siebie zawsze dwie poprzednie wartości: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 i tak dalej. Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę bezpośrednio ją poprzedzającą, uzyskamy wartość będącą przybliżeniem liczby złotego podziału, która wynosi 1,618. (Na przykład kolejnymi wyrazami ciągu są liczby 55 i 89. Ich iloraz wynosi 1,61818…). Wydało mi się to niezwykle interesujące.

Weszliśmy do Partenonu i ujrzeliśmy posągi, piękne podobizny Ateny. Na twarzy bogini wciąż były widoczne ślady czerwonej i złotej farby, którą pomalowano ją w starożytności. Laci schylił się i wskazał na jeden z cokołów, na którym widniały litery wycięte w marmurze.

– Spójrz – powiedział – właśnie to chciałem ci pokazać.

Zobaczyłem jakąś literę, ale jej nie rozpoznałem – napis był po grecku.

– Greckie litery były używane nie tylko do pisania tekstów, ale także do zapisywania liczb – dodał.

Wyjaśnił, że litera, na którą wskazuje, jest greckim symbolem delta. Oznaczała liczbę cztery.

– To był czwarty posąg w szeregu, który tu kiedyś stał.

Jeszcze przez godzinę podziwialiśmy ten pomnik cywilizacji starożytnej Grecji, a potem wyszliśmy ze świątyni i zaczęliśmy powoli schodzić do miasta. Usiedliśmy jeszcze na płaskim bloku marmuru, który był kiedyś częścią tej pięknej budowli z kolumnami. Z tego miejsca mogliśmy podziwiać Partenon. Było gorąco i popijaliśmy wodę z plastikowych butelek, które Laci zabrał ze sobą. Po chwili Laci wyjął notes i pokazał mi, jak Grecy używali liter do zapisu liczb i jak wykonywali działania arytmetyczne, posługując się wyłącznie literami, bez zera. Oto co napisał:

Ά

Β

Γ

Δ

Ε

Ϝ

Ζ

Η

Θ

Ι

Κ

Λ

Μ

Ν

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

40

50

Ξ

Ο

Π

Ρ

Σ

Τ

Υ

Φ

Χ

Ψ

Ω

Ϡ

60

70

8 0

90

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Greckie litery używane do zapisu liczb (z uwzględnieniem nieużywanych już obecnie liter digamma, koppa i sampi)

Alfabet grecki z tamtego okresu, czyli z V wieku p.n.e. – czasu rozkwitu klasycznej cywilizacji greckiej – zawierał litery, których już wówczas od dawna się nie używało: digamma (Ϝ) oznaczającą 6, koppa () oznaczającą 90 i sampi (Ϡ) oznaczającą 900. Zatem w V wieku p.n.e. Grecy odkurzyli litery, których od dawna już nie używali do pisania, po to tylko, by uzyskać odpowiednie symbole do zapisu liczb.

Laci zauważył, że zwyczaj używania liter do zapisu liczb pochodzi z Fenicji, skąd wywodzi się również alfabet hebrajski. Dodał, że niektórzy ortodoksyjni Żydzi do dzisiejszego dnia mają zegarki, na których liczby od 1 do 12 zapisane są za pomocą liter hebrajskich.

Potem poszliśmy do muzeum ateńskiego, jednego z najwspanialszych muzeów archeologicznych na świecie. Wśród pięknych posągów bogów i bogiń zauważyłem kilka inskrypcji w kamieniu z literami oznaczającymi liczby.

W drodze powrotnej na statek Laci poprosił kierowcę, żeby zatrzymał się w jednej z alei w Pireusie, i kazał mi czekać w taksówce, podczas gdy on wszedł do sklepu z tanimi urządzeniami elektronicznymi. Gdy wrócił, miał w ręku niewielką paczkę.

– To tylko małe radio tranzystorowe – wyjaśnił. W tamtym czasie, na początku lat sześćdziesiątych XX wieku, takie radioodbiorniki były nowością i wszyscy wprost szaleli na ich punkcie. Idąc ulicą, widziało się ludzi spacerujących z włączonym radiem tranzystorowym równie często, jak dzisiaj spotyka się osoby rozmawiające przez telefony komórkowe.

– Kupiłem je na prezent dla kogoś – dodał. Więcej wtedy o tym nie myślałem.

Tego wieczoru Theodor Herzl opuścił Pireus i popłynął do Neapolu, a następnego dnia pasażerowie zwiedzali pobliskie Pompeje. Potem zatrzymaliśmy się w Civitavecchia, współczesnym porcie obsługującym ruch morski do Rzymu (w starożytności portem Rzymu była Ostia). Pasażerowie zwiedzili miasto, wysłuchując szczegółowej opowieści o Rzymie i historii imperium rzymskiego. Dla chłopca interesującego się historią liczb był to niezapomniany rejs.

W Pompejach szukaliśmy z Lacim rzymskich liczb – zapisywanych literami łacińskimi – którymi numerowano domy w tym starożytnym mieście. Ruiny były doskonale zachowane, ponieważ przez niemal dwa tysiąclecia po katastrofalnym wybuchu Wezuwiusza w 79 roku n.e. leżały przykryte popiołem wulkanicznym. W miejscowym muzeum zobaczyliśmy więcej liczb zapisywanych za pomocą liter i świetnie się bawiliśmy, próbując je odczytać i wykonywać na nich proste działania arytmetyczne.

Rzym okazał się prawdziwą ucztą dla początkującego poszukiwacza liczb. Cyfry rzymskie były dosłownie wszędzie. Najciekawsze okazały się kamienie milowe, które Rzymianie umieszczali wzdłuż prostych jak linijka dróg. Po pewnym czasie stałem się już mistrzem w odczytywaniu odległości na tych starożytnych kamieniach przydrożnych, które oglądałem w muzeach i na najsłynniejszej z rzymskich dróg – na Via Appia Antica.

Laci wyjaśnił mi, w jaki sposób Rzymianie skonstruowali swój system liczbowy. Wypisał wszystkie rzymskie cyfry: litera I oznacza 1, V to 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500 i M – 1000. Taka metoda sprawia, że długość zapisywanych liczb musi rosnąć, niemal bez końca. Laci pokazał mi, co musiał zrobić Rzymianin, żeby pomnożyć XVIII przez LXXXII i otrzymać wynik MCDLXXVI. My obecnie zapisujemy takie działanie po prostu jako 18 × 82 = 1476 i potrafimy wykonać je szybko i skutecznie. Za namową Laciego spróbowałem rozwiązać je w systemie grecko-rzymskim i musiałem w tym celu przygotować odpowiednią tabliczkę mnożenia. Była ona tak ogromna i skomplikowana, że zajęło mi to tydzień. To zdumiewające, zauważył Laci, że ten niewygodny system liczbowy był powszechnie używany na Zachodzie aż do XIII stulecia, gdy zastąpiły go liczby stosowane do dziś[1].

Od tego miłośnika matematyki dowiedziałem się o liczbach znacznie więcej, niż nauczono mnie w szkole, i byłem mu za to wdzięczny. Jednak wciąż nie dawało mi spokoju pytanie, skąd pochodzą cyfry, którymi posługujemy się obecnie. Przechodząc do kolejnych klas i przeżywając przygody, dzięki którym poznawałem cyfry na pokładzie statku mojego ojca przemierzającego Morze Śródziemne, zacząłem powoli rozumieć abstrakcyjne – i jeszcze bardziej tajemnicze – pojęcie liczby. Uświadomiłem sobie, że na przykład 3 oznacza ideę „trójkowości” – coś, co jest wspólne dla wszystkich rzeczy we Wszechświecie, które występują w trójkach. Wszystkie je można opisać, odwołując się do ich trójkowości, tym samym symbolem 3. Podobnie 5 oznacza cechę „piątkowości”, która jest wspólna dla wszystkiego, czego jest pięć. To fascynujące odkrycie rozbudziło we mnie jeszcze większe pragnienie wyjaśnienia, skąd wzięły się cyfry, ponieważ okazało się, że oznaczają one coś jeszcze głębszego i bardziej pociągającego, niż mogłem sobie wyobrażać jako dziecko. Zapragnąłem poświęcić życie na przemierzanie świata w poszukiwaniu odpowiedzi na pytanie o pochodzenie liczb. Kto wymyślił te wspaniałe cyfry? Zastanawiałem się nad tym bez przerwy. I jeszcze nad inną kwestią: kto wpadł na zdumiewający pomysł, że pojęcie „trójkowości”, „siedemnastkowości” czy „trzystapiątkowości” można oddać za pomocą kombinacji znaków ułożonych w pewien sposób?

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

1 Analizę różnych postaci liczb rzymskich i omówienie teorii głoszącej, że wywodzą się one z symboli etruskich, można znaleźć w artykule Paula Keysera The Origin of the Latin Numerals from 1 to 1000 (Pochodzenie cyfr rzymskich od 1 do 1000), „American Journal of Archaeology”, październik 1988, nr 92, s. 529–546.

Spis treści

Podziękowania

Wprowadzenie

W POSZUKIWANIU ZERA

1