Tytuł oryginału

MATHEMATICAL CURIOSITIES

Copyright © 2014 by Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann

All rights reserved

Projekt okładki

Zbigniew Larwa

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Marianna Chałupczak

ISBN 978-83-8123-489-4

Warszawa 2017

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Dedykujemy tę pełną matematycznej rozrywki książkę przyszłym pokoleniom w nadziei, że znajdą się one wśród rzesz, które nauczą się kochać piękno i potęgę matematyki. Naszym dzieciom i wnukom, których przyszłość jest niczym nieograniczona: Lisie, Danielowi, Davidowi, Lauren, Maksowi, Samuelowi i Jackowi

Alfred S. Posamentier

Maren, Tristanowi, Claudii, Simonowi i Miriam

Ingmar Lehmann

WSTĘP

To przykre, że przeciętny człowiek, nawet przyparty do muru, nie doszuka się w matematyce niczego interesującego. Niemniej jednak mamy nadzieję, że tą książką zdołamy przekonać niewtajemniczonych czytelników do okazania matematyce uznania, i chcemy podejść do tego tematu od niecodziennej strony – prezentując szeroki wybór ciekawostek matematycznych. Przedstawimy tu – liczne, acz oczywiście nie wszystkie – zagadnienia związane z liczbami i łączącymi je związkami, zdumiewające wywody logiczne, pozornie trudne (lecz proste do wyjaśnienia) problemy, które daje się łatwo przeanalizować, interesujące związki łączące algebrę i geometrię oraz niezwykły punkt widzenia na zwykłe ułamki.

Aby pozwolić czytelnikom naprawdę cieszyć się potęgą i pięknem matematyki, omówimy te zagadnienia w zwięzły i przystępny sposób. W czasie podróży przez niezwykłe obszary matematyki już w pierwszym rozdziale zmierzymy się z zależnościami łączącymi liczby, które na pierwszy rzut oka mogą wydać się wam zmyślone, a przecież są całkowicie prawdziwe. Po prostu wydobędziemy na światło dzienne niesamowite zależności, które większości z nas umknęły w czasie nauki w szkole. Wielka to szkoda, że nauczyciele nie czują potrzeby wyszukiwania takich pięknych relacji, które ukazałyby uczniom już we wczesnych stadiach nauki matematykę z bardziej przystępnej strony.

Przez wieki izolacji w Japonii rozwinęła się fascynacja zagadkami matematycznymi zwanymi sangaku, których piękno geometryczne będziemy mogli podziwiać w rozdziale 2. Pozwolą nam one poznać ciekawszą stronę geometrii, której być może nie dostrzegliśmy, gdy pierwszy raz zetknęliśmy się z tą nauką w szkole. Problemy te potraktujemy jako punkt wyjściowy do dalszych dociekań związanych z innymi zagadnieniami geometrycznymi.

Rozwiązywane w szkole zadania, co większość z nas pamięta pewnie z czasów swojej młodości, dzieliły się na zadania arytmetyczne i starannie podzielone tematycznie problemy otwarte. Zadania arytmetyczne wymagały działań rutynowych, a problemy otwarte bardzo często były spłycane przez nauczycieli do kategorii, które można było rozwiązać mechanicznie. W tym wyborze zawsze brakowało prawdziwych wyzwań – problemów matematycznych – które wymagałyby zejścia z utartych szlaków i nie zawsze pasujących do określonej kategorii, które można łatwo sformułować i, co ciekawe, często zadziwiająco łatwo rozwiązać. Tego rodzaju zadania przedstawiliśmy w rozdziale 3, w nadziei, że zafascynują i przykują uwagę osób niewtajemniczonych.

Pojęcia miar tendencji centralnych są tradycyjnie wiązane przede wszystkim ze statystyką – nic zresztą dziwnego. Natomiast gdy spojrzy się na nie z czysto matematycznego punktu widzenia – czyli ujmie algebraicznie lub geometrycznie – okaże się, że wielkości te stanowią piękne geometryczne uzasadnienie wyników algebraicznych bądź też algebraiczne wyjaśnienie wyników geometrycznych. Tematem tym zajmiemy się szerzej w rozdziale 4, głównie w kontekście porównania względnych wielkości czterech najpopularniejszych średnich, czyli właśnie miar tendencji centralnych: średniej arytmetycznej (zwykłej średniej), średniej geometrycznej, średniej harmonicznej i średniej kwadratowej.

W szkole ułamki pojawiają się głównie w czasie obliczeń wykorzystujących cztery podstawowe działania arytmetyczne. W ostatnim rozdziale książki przedstawimy zupełnie nowe spojrzenie na ułamki. Zaczniemy od faktu, że w starożytnym Egipcie stosowano wyłącznie ułamki jednostkowe (czyli takie, w których liczniku znajduje się liczba jeden) oraz ułamek . Pokażemy też, że ułamki jednostkowe w przedziwny sposób układają się w trójkąt harmoniczny, dając początek wyrazom ciągu Fareya. Czytelników z pewnością zainteresuje fakt, że ułamki oferują znacznie więcej niż tylko sposób przedstawiania ilości i przydają się do czegoś więcej niż wykonywania działań.

Staraliśmy się przy tym przedstawić te ciekawostki w sposób możliwie przyjazny, atrakcyjny i jednocześnie przekonać was, że matematyka jest obecna wszędzie, a poznawanie jej to prawdziwa zabawa. Mamy przy tym nadzieję, że czytelnicy zyskają dzięki tej książce wymierną i opartą na solidnych fundamentach logicznych świadomość otaczającego ich świata.

Ta skrzynia kryje w sobie nieprzebrane skarby, które mamy nadzieję zaprezentować naszym odbiorcom w możliwie przystępny sposób, starając się rozpalić w nich miłość do matematyki, tak by nawet sceptycznie nastawieni do koncepcji poznawania potęgi i piękna tej nauki przez ciekawostki ruszyli po lekturze naszej książki w świat i stali się ambasadorami tej wspaniałej dziedziny wiedzy. Jednym z celów, jakie sobie postawiliśmy, jest przekonanie szerokiego grona odbiorców, że matematyką można się cieszyć, a niepowodzenia na tym polu odnoszone w szkole nie powinny być powodem do dumy.

Rozdział 1

CIEKAWOSTKI ARYTMETYCZNE

Arytmetyka i liczby w ogólności kryją w sobie przypuszczalnie nieskończoną liczbę ciekawostek. Można tu znaleźć zagadnienia związane z niecodziennymi związkami wiążącymi niektóre liczby, wynikającymi wprost z prostych obliczeń arytmetycznych. Zagadnienia te są tak interesujące, ponieważ nieoczekiwane wyniki wspomnianych obliczeń są zupełnie niewytłumaczalne. W tym rozdziale przedstawimy kilka osobliwości arytmetycznych i numerycznych. Czasami będą to przykłady błędnego rozumowania pozwalające uzyskać poprawne wyniki, czasami zaś poprawne działania prowadzące do zupełnie niespodziewanych rezultatów. Tak czy inaczej liczymy, że zaprezentowane tu matematyczne ujęcie pewnych problemów będzie samo w sobie na tyle ciekawe, by czytelnicy nie musieli stosować opisanych metod w innych dziedzinach wiedzy czy innych aspektach życia. Mamy nadzieję ukazać piękno, które sprawia, że matematyka fascynuje i cieszy.

BŁĘDNE SKRÓCENIA

We wczesnych latach szkolnych uczymy się skracać ułamki, by móc na nich łatwiej działać. Operację tę wykonuje się zgodnie z określonymi prawami. Natomiast pewien zmyślny człowiek opracował szybszą metodę skracania ułamków. Czy miał rację?

Poproszono go o skrócenie ułamka , a on zaproponował następujące rozwiązanie:

Po prostu wykreślił szóstki i otrzymał poprawną odpowiedź. Czy tak wolno? Czy to rozwiązanie da się rozszerzyć na inne ułamki? Jeśli tak jest, oznacza to, że nasi nauczyciele ze szkoły podstawowej coś przed nami zataili i specjalnie kazali wykonywać nadprogramową pracę. Przyjrzyjmy się, co dokładnie zaszło w tym przykładzie, i zobaczmy, czy zasadę tę da się rozszerzyć na inne sytuacje.

E.A. Maxwell w swojej książce Fallacies in Mathematics (Matematyczne złudzenia) określa takie działania jako „błędne skrócenia”:

Bo przecież to niemożliwe, żeby ktokolwiek mógł upraszczać sobie życie, popełniając takie błędy, i mimo to otrzymywał poprawne odpowiedzi. A jednak te proste działania prowadzą do właściwych wyników. Dziwna, a przecież banalna procedura powinna pozwolić nam uprościć poniższe ułamki do ich najprostszej postaci:

Po skróceniu tych ułamków do najprostszej postaci zaprezentowaną wcześniej metodą można wreszcie się zastanowić, dlaczego w ogóle stosować jakieś inne sposoby prowadzenia tego rodzaju obliczeń.

Na tym etapie sprawa staje się już dziwna. Zapewne podejrzewacie teraz, że podobne działania da się przeprowadzić na każdym ułamku mającym w liczniku i mianowniku liczbę dwucyfrową tego rodzaju. Czy zdołacie znaleźć inny ułamek (zbudowany z dwóch liczb dwucyfrowych), w którym sprawdzi się ta metoda skracania? W takim momencie aż prosi się o przywołanie przykładu

Jedno możemy stwierdzić z całą pewnością – ta metoda zadziała dla każdej dwucyfrowej wielokrotności liczby 11.

Czytelnikom mającym solidne podstawy z algebry możemy zaoferować „wyjaśnienie” tego dziwnego zjawiska. Pokażemy zaraz, dlaczego cztery podane wyżej ułamki są jedynymi (składającymi się z liczb dwucyfrowych), w odniesieniu do których można zastosować tego rodzaju skrócenie.

Rozważmy ułamek postaci

w którym druga cyfra licznika jest identyczna jak pierwsza liczba mianownika.

Przedstawione wcześniej działania polegały na skróceniu czynnika a, tak że ułamek przyjmował postać

Sprawdźmy zatem, jak zachowa się zależność postaci:

Powyższe wyrażenie daje 

y (10x + a) = x (10a + y).

10xy + ay = 10ax + xy,

9xy + ay = 10ax → y (9x + a) = 10ax,

a zatem

Przyjrzyjmy się uzyskanemu równaniu. Zmienne x, y oraz a muszą być liczbami naturalnymi, ponieważ są cyframi występującymi w liczniku i mianowniku ułamka. Naszym zadaniem jest odnalezienie takich wartości a i x, dla których y również będzie liczbą naturalną. Aby uniknąć przekształceń algebraicznych, przygotujemy tabelę, która pozwoli wskazać odpowiednie wartości y na podstawie wyrażenia . Pamiętajcie, że a i x oraz y muszą być jednocyfrowymi liczbami naturalnymi. Poniżej przedstawiamy fragment tabeli, którą możecie też przygotować samodzielnie. Zauważcie, że wykluczyliśmy wszystkie przykłady, w których a = x, ponieważ .

Rysunek 1.1

Już w tym niewielkim fragmencie tabeli (rysunek 1.1) znajdziemy dwie z czterech wartości całkowitych zmiennej y: gdy x = 1, a = 6, to y = 4 oraz gdy x = 2, a = 6, to y = 5. Z tych liczb możemy zbudować ułamki oraz . Pozostałe dwie całkowite wartości y uzyskujemy dla x = 1 i a = 9, kiedy to y = 5 oraz dla x = 4 i a = 9, kiedy to y = 8. Te wyniki dadzą ułamki postaci i . Powyższe rozważania powinny stanowić wystarczający dowód, by przekonać was, że istnieją tylko cztery ułamki zbudowane z liczb dwucyfrowych, poza oczywiście dwucyfrowymi wielokrotnościami liczby 11.

Rozszerzmy tę koncepcję i sprawdźmy, czy istnieją ułamki o licznikach i mianownikach mających więcej niż dwie cyfry, które można skracać według zaprezentowanej tu zasady. Spróbujmy, czy zadziała ona w ułamku

Powinno się okazać, że

Można powoli wskazać schemat tworzenia takich błędnych skróceń i być może widzicie już, że:

,

i

.

Czytelnicy, których ten temat zafascynował, mogą sprawdzić, czy faktycznie przedstawione tu błędne skrócenia dają poprawne wyniki. Z kolei osoby zainteresowane dalszymi przykładami tego typu ułamków powinny się przyjrzeć następującym przykładom. Zachęcamy do sprawdzenia ich poprawności i szukania innych podobnych zależności na własną rękę.

Rozważania w tym zakresie mogą – poza doprowadzeniem do uzyskania rozwiązania algebraicznego, które z kolei pozwoli poczynić kilka motywujących uwag wstępnych – stać się źródłem dobrej zabawy. Oto kilka kolejnych błędnych skróceń.

Te zdumiewające zależności pokazują, że algebra pozwala badać naprawdę niebywałe zjawiska z zakresu teorii liczb. To tylko niektóre ze skarbów, jakie skrywa przed nami matematyka, a które spróbujemy razem odkryć w czasie wędrówki po tym rozdziale.

OBRAZ ZATYTUŁOWANY TRUDNE ZADANIE

Pod koniec XIX wieku rosyjski malarz Nikołaj Piotrowicz Bielski1 (1868–1945) namalował obraz zatytułowany Trudne zadanie. Płótno (rysunek 1.2) przedstawia grupkę uczniów stłoczonych pod tablicą i wyraźnie sfrustrowanych próbami rozwiązania pewnego problemu arytmetycznego.

Rysunek 1.2a i 1.2b. Nikołaj Bielski, Trudne zadanie (1895)

Wspomniane zadanie polegało na obliczeniu wartości wyrażenia

Spróbujcie wyobrazić sobie przeprowadzenie niezbędnych obliczeń bez kalkulatora. Oczywiście dałoby się to zrobić, ale wymagałoby sporych nakładów czasu. Ponieważ jednak między liczbami występują pewne niezwykłe zależności, będziemy mogli w rozwiązaniu wykorzystać jedną z nich. Dzieląc grupę pięciu podnoszonych do kwadratu wyrazów na dwie mniejsze, przekonamy się, że suma pierwszych trzech wyrazów licznika jest równa sumie dwóch następnych wyrazów. W obu wypadkach wynosi ona dokładnie 365, co sprawia, że pierwotną, skomplikowaną postać zadania da się zapisać w trywialnie prosty sposób.

Ci z czytelników, którzy rozpoznali w tym pewną prawidłowość, mogą też być świadomi zachodzenia następujących zależności:

(=25)

(=365)

(=2030).

Już na początku rzuca się w oczy, że po lewej stronie równania mamy zawsze jeden wyraz więcej niż po stronie prawej, a podnoszone do kwadratu liczby następują kolejno po sobie.

Ambitni czytelnicy mogą podjąć się podania następnego równania, które po lewej stronie miałoby sumę pięciu czynników, a po stronie prawej – czterech.

Oczywiście najłatwiej przyszłoby nam znaleźć rozwiązanie za pomocą kalkulatora, ale więcej radości przyniosą poszukiwania odpowiedniej zależności, dzięki której obliczenia znacznie się uproszczą.

MAGIA ALGEBRY

W niektórych wypadkach podstawowe przekształcenia algebraiczne pozwalają uprościć nawet przytłaczająco złożone zagadnienia arytmetyczne do bardziej przystępnej postaci. Zajmiemy się teraz jednym z takich przykładów. Dziś trudne obliczenia zabierają niewiele czasu, ponieważ mamy do dyspozycji kalkulatory. Mimo to rozwiązanie złożonego problemu arytmetycznego za pomocą prostych sztuczek algebraicznych da nam dużą satysfakcję.

Przyjrzyjmy się zadaniu odnalezienia wartości wyrażenia

Kalkulator pozwoli nam bez trudu podać rozwiązanie – liczbę 4 001 999, ale znacznie bardziej interesujące jest znalezienie odpowiedzi na pytanie, czy na podstawie powyższego wyrażenia uda się określić ogólną zasadę prowadzenia tego rodzaju obliczeń. Spróbujemy wykorzystać do naszych celów fakt, że mnożymy przez siebie kolejne liczby. Zaczniemy od przyjęcia n = 2000 i wyrazimy kolejne wyrazy pod pierwiastkiem w następujący sposób:

Pora na nieco gimnastyki algebraicznej. Mnożąc przez siebie kolejne wyrazy tego długiego wyrażenia algebraicznego i dodając 1, otrzymamy:

Uporządkujemy teraz wyrazy i przegrupujemy je w taki sposób, by otrzymać wyrażenie postaci, którą będzie można przekształcać dalej:

Wyrażenie to można zapisać w postaci iloczynu dwóch trójmianów:

Zastępując wyrażenie pod pierwiastkiem uzyskanym właśnie odpowiednikiem – kwadratem idealnym – zdołamy usunąć pierwiastek z pierwotnego zapisu.

Ponieważ operujemy wyłącznie na liczbach naturalnych, możemy zapisać:

Stąd dla n = 2000 uzyskamy

czyli taki właśnie wynik, jakiego się spodziewaliśmy, sprawdziwszy uprzednio rozwiązanie na kalkulatorze.

Przekonaliśmy się właśnie, w jaki sposób dzięki algebrze można zrozumieć i uprościć obliczenia arytmetyczne, i teraz jesteśmy już gotowi zmierzyć się z ciekawostkami dotyczącymi konkretnych liczb. Większość ludzi utożsamia liczby tylko z wartościami, jakie sobą przedstawiają. Za chwilę postaramy się pokazać kilka ciekawych faktów dotyczących liczb i interesujących związków między nimi, które być może sprawią, że spojrzycie na te liczby nieco inaczej niż dotychczas.

NIEZWYKŁA LICZBA 8

Liczba osiem, przez Chińczyków uważana za przynoszącą szczęście, ma pewną niezwykłą właściwość arytmetyczną – to jedyny sześcian, który jest o jeden mniejszy od wartości kwadratu: 8 = 23 = 9 – 1 = 32 – 1.

NIEZWYKŁA LICZBA 9

Liczba 9 jest jedyną wartością kwadratu, która jest równa sumie sześcianów dwóch kolejnych liczb naturalnych: 9 = 32 = 13 + 23.

A skoro o sumach sześcianów mowa, warto tu wspomnieć o odkryciu słynnego szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera (1707–1783), który stwierdził, że najmniejsza liczba naturalna, jaką da się wyrazić w postaci dwóch sum sześcianów liczb naturalnych, to 1729.

Sumy te to: 13 + 123 = 1 + 1728 = 1729 oraz 93 + 103 = 729 + 1000 = 1729. Wracając zaś do liczby 9, przekonamy się zaraz, że da się ją wyrazić w postaci ułamków, w których każda z dziewięciu cyfr pojawia się tylko raz. Są to jedyne ułamki, które dają tak niezwykły wynik:

i

Jednocześnie jeśli dopuścimy użycie 0 na pierwszym miejscu w mianowniku, będziemy mogli zapisać trzy dodatkowe równości wyrażające liczbę 9 w postaci ułamka, w którym każda z cyfr występuje tylko raz.

i

NIEZWYKŁA LICZBA 11

Liczba 11 jest naprawdę niebywała. Wedle słów brytyjskiego monarchy Jerzego V, rozejm z 1918 roku podpisano o godzinie jedenastej jedenastego dnia jedenastego miesiąca tego roku.

W systemie miar stosowanym w Stanach Zjednoczonych liczba 11 jest mnożnikiem w przeliczeniach liniowych: 11∙20 jardów = 1 furlong i 11∙160 jardów = 1 mila.

Warto też zauważyć, że 11 jest jedynym palindromem wśród liczb pierwszych, który ma parzystą liczbę cyfr. Poniżej podajemy jeszcze kilka ciekawostek dotyczących tej liczby.

Po pierwsze, 112 jest równe sumie pięciu kolejnych potęg liczby 3:

112 = 121 = 30 + 31 + 32 + 33 + 34.

Po drugie, 113 jest sumą kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych:

113 = 1331 = 192 + 212 + 232.

W dodatku liczbę 11 można wyrazić jako sumę kwadratu i liczby pierwszej na dwa różne sposoby – jest to najmniejsza z liczb, które charakteryzują się tą cechą.

11 = 22 + 7

11 = 32 + 2

Liczba 11 ma też jedną naprawdę niezwykłą właściwość – jeśli odwrócimy kolejność cyfr dowolnej liczby podzielnej przez 11, to ta nowo uzyskana będzie również podzielna przez 11. Przyjrzyjmy się na przykład liczbie 135 916, która jest iloczynem liczb 11 i 12 356. Po odwróceniu kolejności cyfr otrzymamy 619 531, czyli iloczyn 11 i 56 321 – liczbę zdecydowanie podzielną przez 11. Jeśli chcecie, sprawdźcie inne przykłady i zaskoczcie swoich znajomych wiedzą o tej zależności.

A oto kolejna sztuczka związana z liczbą jedenaście. Weźcie dowolną liczbę, w której suma żadnych z dwóch sąsiadujących ze sobą cyfr nie przekracza liczby 9, a następnie pomnóżcie tę liczbę przez 11 i zapiszcie wynik w odwrotnej kolejności. Teraz podzielcie go przez 11. Otrzymana liczba będzie zapisaną od końca liczbą, od której zaczęliśmy. Weźmy na przykład liczbę 235 412. Spełnia ona początkowy warunek, ponieważ suma żadnych z jej dwóch sąsiednich cyfr nie przekracza 9. Po pomnożeniu przez 11 otrzymamy . Po odwróceniu cyfr wyniku dostaniemy liczbę 2 359 852, która podzielona przez 11 da wynik 214 532, czyli liczbę wyjściową zapisaną w odwrotnej kolejności.

Liczba 11 jest nie tylko piątą liczbą pierwszą, lecz także piątą liczbą ciągu Lucasa. Być może pamiętacie, że liczby Lucasa to ciąg liczb zaczynający się od 1 i 3, z których każda następna liczba jest sumą dwóch poprzednich: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,… Ciąg ten spopularyzował francuski matematyk Edouard Lucas (1842–1891), który zwrócił też uwagę świata na ciąg Fibonacciego, będący zresztą pierwowzorem jego zależności2.

Z wyjaśnienia umieszczonego po lewej stronie trójkąta Pascala przedstawionego na rysunku 1.3 wynika, że suma liczb w każdym z wierszy trójkąta jest potęgą liczby 2, natomiast suma liczona po skosie daje kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego, które, tak jak liczby Lucasa, powstają z sumowania dwóch wyrazów wcześniejszych, z tym że ciąg Fibonacciego rozpoczyna się liczbami 1 i 1. Wyrazy ciągu Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Z rysunku 1.3 wynika także, że w pierwszych kilku wierszach trójkąta Pascala da się znaleźć także potęgi liczby 11. Do piątego wiersza pojawiają się one jawnie:

Rysunek 1.3

Przy próbie wyznaczenia w ten sposób piątej potęgi liczby 11 okaże się, że w tym wierszu pojawiają się liczby dwucyfrowe, co oznacza, że trzeba przenieść cyfrę dziesiątek w każdej z nich na następne miejsce. W ten sposób uzyskamy 115 = 161 051.

1

5

10

10

5

1

1

5

10 + 1

0

5

1

1

5 + 1

1

0

5

1

1

6

1

0

5

1

Cała operacja stanie się bardziej zrozumiała, gdy zapiszemy ją w następujący sposób:

Analogicznie otrzymamy wartość wyrażenia 116 = 1 771 561.

1

6

15

20

15

6

1

1

6

15

20 + 1

5

6

1

1

6

15 + 2

1

5

6

1

1

6 + 1

7

1

5

6

1

1

7

7

1

5

6

1

Omówmy teraz bardzo przyjemny sposób mnożenia liczb przez czynnik 11. Ta metoda oczarowuje każdego, nawet osoby mające alergię na matematykę, ponieważ jest tak prosta, wręcz łatwiejsza niż użycie kalkulatora.

Zasada jest bardzo prosta: aby wykonać mnożenie 11 przez liczbę dwucyfrową, wystarczy dodać dwie cyfry ją tworzące i umieścić tę sumę między obiema cyframi.

Wypróbujmy ten sposób. Załóżmy, że chcecie pomnożyć przez siebie 11 i 45. Według podanej właśnie zasady należy dodać do siebie 4 i 5, a następnie umieścić wynik między tymi dwiema cyframi. W ten sposób powinniśmy otrzymać 495.

Sprawa nieco się komplikuje, gdy suma obu liczb jest liczbą dwucyfrową. Co mamy zrobić w takim razie? Nie ma wówczas cyfry, którą moglibyśmy wstawić między dwie początkowe. Jeśli suma tych dwóch cyfr jest większa od 9, to umieszczamy między nimi cyfrę jedności tej sumy i „przenosimy” cyfrę dziesiątek, żeby dodać ją do cyfry setek wyniku mnożenia. Spróbujmy obliczyć w ten sposób wynik iloczynu 78·11. Zaczniemy od wykonania dodawania 7 + 8 = 15. Teraz między 7 a 8 wstawimy 5, a 1 dodamy do 7, co da [7 + 1] [5] [8], czyli 858.

Tu oczywiście rodzi się pytanie, czy zasada ta obowiązuje także, gdy przez 11 mnoży się liczbę większą niż dwucyfrowa. Spróbujmy z naprawdę dużą, na przykład 12 345, i przekonajmy się, czy ta metoda nadal działa.

Zaczniemy od cyfry stojącej najbardziej po prawej i będziemy dodawać cyfry parami, przesuwając się w lewo.

1 [1 + 2] [2 + 3] [3 + 4] [4 + 5]5 = 135 795

Przypomnijcie sobie teraz, co się stanie, jeśli odwrócimy kolejność cyfr wielokrotności liczby 11 – 597 531. Po podzieleniu tej liczby przez 11 otrzymamy 54 321. Zauważcie, że to odwrotnie ustawione cyfry liczby 12 345. Jeśli ten temat was zainteresował, możecie sprawdzić, w jakich wypadkach będzie zachodziła taka zależność.

Wróćmy jednak do rozważań na temat badanej techniki mnożenia przez 11. Zajmiemy się teraz liczbą, w której suma dwóch sąsiednich cyfr jest większa od 9. Posłużymy się tą samą metodą, którą opisaliśmy poprzednio – między dwiema cyframi umieścimy cyfrę jedności, a cyfrę dziesiątek przeniesiemy. Pora na konkretny przykład.

Będziemy mnożyć 456 789 przez 11.

Poniżej znajdziecie przedstawienie tego procesu krok po kroku.

4 [4+5] [5+6] [6+7] [7+8] [8+9]9

4 [4+5] [5+6] [6+7] [7+8] [17]9

4 [4+5] [5+6] [6+7] [7+8+1] [7]9

4 [4+5] [5+6] [6+7] [16] [7]9

4 [4+5] [5+6] [6+7+1] [6] [7]9

4 [4+5] [5+6] [14] [6] [7]9

4 [4+5] [5+6+1] [4] [6] [7]9

4 [4+5] [12] [14] [6] [7]9

4 [4+5+1] [2] [4] [6] [7]9

4 [10] [2] [4] [6] [7]9

[4+1] [0] [2] [4] [6] [7]9

[5] [0] [2] [4] [6] [7]9

5 024 679

Tą regułą warto podzielić się ze znajomymi. Nie dość, że zaimponujecie im wiedzą, to jeszcze macie szansę zaskarbić sobie ich wdzięczność za pokazanie skrótu. Przede wszystkim zaś staniecie się doskonałymi orędownikami matematyki.

Czasami problemem może okazać się sprawdzenie, czy dana liczba jest podzielna przez 11. Jeśli akurat mamy pod ręką kalkulator, sprawdzenie nie będzie trudne. Jednak nie zawsze ma się go przy sobie. Poza tym istnieje sprytna „reguła” pozwalająca sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 11. Warto ją znać ze względu na jej elegancję, nie wspominając o przydatności.

Zasada jest prosta: jeśli różnica sum naprzemiennych cyfr danej liczby jest podzielna przez 11, to cała liczba też jest podzielna przez 11.

Reguła ta może wydawać się skomplikowana, ale w rzeczywistości jest całkiem łatwa. Przyjrzyjmy się jej po kolei. Aby otrzymać sumę naprzemiennych cyfr, musimy zacząć na jednym z końców liczby i zacząć dodawać do siebie kolejno pierwszą, trzecią, piątą cyfrę (i tak dalej). Aby uzyskać drugą sumę, należy dodać do siebie pozostałe cyfry naszej liczby (czyli te stojące na miejscach parzystych). Potem obie tak uzyskane sumy trzeba od siebie odjąć i sprawdzić, czy ich różnica dzieli się przez 11.

Najlepiej będzie sprawdzić to na przykładzie. Sprawdzimy, czy 768 614 dzieli się przez 11. Sumy naprzemiennych cyfr to odpowiednio: 7 + 8 + 1 = 16 i 6 + 6 + 4 = 16. Ich różnica to 16 − 16 = 0, a to oznacza, że liczba jest podzielna przez 11.

Jeszcze jeden przykład pozwoli wam pozbyć się resztek wątpliwości w odniesieniu do tej procedury. Aby sprawdzić, czy 918 082 dzieli się przez 11, znów znajdziemy sumy naprzemiennych cyfr tej liczb: 9 + 8 + 8 = 25 i 1 + 0 + 2 = 3. Ich różnica wynosi 22, czyli jest podzielna przez 11, co z kolei oznacza, że liczba 918 082 też jest podzielna przez 113.

LICZBY SKŁADAJĄCE SIĘ Z SAMYCH JEDYNEK

Poznaliśmy kilka niezwykłych właściwości liczby 11, zastanówmy się więc teraz nad liczbami składającymi się z samych jedynek4.

Następną po 11 liczbą składającą się z samych jedynek jest 111 i ona także ma pewne niezwykłe właściwości.

Jest mianowicie trzecią różnicą dwóch kwadratów, a liczba 1111 jest czwartą różnicą dwóch kwadratów. Można się przekonać, że taki ciąg różnic pozwala uzyskiwać kolejne liczby złożone z samych jedynek:

12 − 02 = 1

62 − 52 = 11

202 − 172 = 111

562 − 452 = 1111

1562 − 1152 = 11 111

5562 − 4452 = 111 111

3442 − 852 = 111 111

3562 − 1252 = 111 111

Lista różnic dających liczby złożone z samych jedynek pozwala dostrzec pewien schemat. Przyjrzyjcie się równaniom stojącym na drugim, czwartym i szóstym miejscu. Zaważycie, że łączy je pewna zależność. Gdy przed odjemną i odjemnikiem pojawią się dodatkowe 5 i 4, wynik przekształci się w kolejną liczbę złożoną z samych jedynek.

 62 − 52 = 11

 562 − 452 = 1111

 5562 − 4452 = 111 111

 55562 − 44452 = 11 111 111

 555562 − 444452 = 1 111 111 111

 5555562 − 4444452 = 111 111 111 111

 55555562 − 44444452 = 11 111 111 111 111

 555555562 − 444444452 = 1 111 111 111 111 111

 5555555562 − 4444444452 = 111 111 111 111 111 111

…

555555555555555562 − 444444444444444452

= 1 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111

Wśród nich jedyną liczbą pierwszą jest 11. Następne liczby pierwsze złożone z samych jedynek to 1 111 111 111 111 111 111 i 11 111 111 111 111 111 111 111. Nie ulega też wątpliwości, że te dwie pozostaną liczbami pierwszymi niezależnie od ustawienia ich cyfr, ponieważ składają się z samych jedynek.

Warto jednak wiedzieć, że są takie liczby pierwsze, które po przestawieniu cyfr je budujących dają kolejną liczbę pierwszą. Zaliczają się do nich 11, 13, 17, 79, 113, 199 i 337. Możecie spróbować znaleźć kilka kolejnych liczb pierwszych, które po przestawieniu ich cyfr dają też liczby pierwsze.

Historia „fascynującej liczby 11” nie kończy się na tym. Zagłębimy się teraz w temat liczb uzyskiwanych z różnic kwadratów innych liczb, które są wielokrotnościami liczb składających się z samych jedynek.

72 − 42 = 33 = 3 ∙ 11

672 − 342 = 3333 = 3 ∙ 1111

6672 − 3342 = 333 333 = 3 ∙ 111 111

66672 − 33342 = 33 333 333 = 3 ∙ 11 111 111

666672 − 333342 = 3 333 333 333 = 3 ∙ 1 111 111 111

A oto kolejny zachwycający schemat:

82 − 32 = 55 = 5 ∙ 11

782 − 232 = 5555 = 5 ∙ 1111

7782 − 2232 = 555 555 = 5 ∙ 111 111

77782 − 22232 = 55 555 555 = 5 ∙ 11 111 111

777782 − 222232 = 5 555 555 555 = 5 ∙ 1 111 111 111

Zgłębiając dalej zagadnienia związane z liczbami złożonymi z tej samej cyfry, odkryjemy kolejny interesujący schemat. Gdy podzielimy przez 9 liczbę 111 111 111, otrzymamy wynik 12 345 679, czyli liczbę złożoną ze wszystkich cyfr z wyjątkiem cyfry 8, ale po uwzględnieniu następujących zależności 8 znów znajduje swoje miejsce w generowaniu liczb zbudowanych z samych jedynek.

0 ∙ 9 + 1 = 1

1 ∙ 9 + 2 = 11

12 ∙ 9 + 3 = 111

123 ∙ 9 + 4 = 1111

1234 ∙ 9 + 5 = 11 111

12345 ∙ 9 + 6 = 111 111

123456 ∙ 9 + 7 = 1 111 111

1234567 ∙ 9 + 8 = 11 111 111

12345678 ∙ 9 + 9 = 111 111 111

Nie wahajcie się! Pociągnijcie ten schemat dalej:

123 456 789 ∙ 9 + 10 = 1 111 111 111.

Jak widzicie, liczby zbudowane z identycznych cyfr zdają się połączone interesującymi zależnościami. Zbadajmy, jak wyglądają kwadraty kolejnych liczb złożonych z tych samych cyfr. Odpowiednie zależności przedstawiliśmy na rysunku 1.4.

Liczba jedynek

n

n2

1

1

1

2

11

121

3

111

12321

4

1111

1234321

5

11111

123454321

6

111111

12345654321

7

1111111

1234567654321

8

11111111

123456787654321

9

111111111

12345678987654321

10

1111111111

1234567900987654321

Rysunek 1.4

Aby poznać lepiej liczby rn, czyli zbudowane z identycznych cyfr, rozbijemy je na czynniki pierwsze:

Z powyższego wynika, że r2 i r19 są liczbami pierwszymi. Rodzi się natychmiast pytanie, czy istnieją jeszcze inne liczby złożone z takich samych cyfr, które są liczbami pierwszymi. Odpowiedź brzmi: „Tak”. Jest to zagadnienie, z którym matematycy borykali się od lat. Przykładowo niemiecki uczony Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) starał się znaleźć odpowiedź na pytanie, czy liczba r11 jest liczbą pierwszą. Dziś odpowiedni algorytm komputerowy pozwala znaleźć odpowiedź w niecałą sekundę. Rozkładanie na czynniki pierwsze liczb złożonych z identycznych cyfr jest bardzo trudne, ale za pomocą obliczeń komputerowych można dowieść, że liczba r71 dzieli się na następujące czynniki, w związku z czym nie jest liczbą pierwszą.

r71 = 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

= 241573142393627673576957439049·45994811347886846310221728895223034301839.

W 1930 roku wiedziano już, że r2 i r19 (Oscar Hoppe, 1916) oraz r23 (Lehmer i Kraitchik, 1929) są liczbami pierwszymi5. W 1970 roku student matematyki E. Seah zdołał wykazać, że r317 jest także liczbą pierwszą. To oczywiście nie koniec poszukiwań. I tak w 1985 roku H.C. Williams i H. Dubner dowiedli, że liczba r1031 również należy do zbioru liczb pierwszych. Później udało się zidentyfikować następne liczby pierwsze: r49081 (H. Dubner, 1999), r86453 (L. Baxter, 2000), r109297 (P. Bourdelais i H. Dubner, 2007) oraz r270343 (M. Voznyy i A. Budnyy, 2007)6. Obecnie panuje przekonanie, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych złożonych z identycznych cyfr.

TRIO WYJĄTKOWYCH LICZB: 16, 17 I 18

Trzy liczby: 16, 17 i 18, łączy interesująca zależność. Zacznijmy od przyjrzenia się parze 16 i 18 – liczbom połączonym bardzo ciekawą relacją. Każda z nich odpowiada powierzchni prostokąta równej do co wartości jego obwodowi. Prostokąt (a ściśle rzecz biorąc, kwadrat) o boku długości 4 ma powierzchnię 16 i obwód równy 16. Podobnie prostokąt o bokach długości 3 i 6 ma pole powierzchni równe 18 i obwód równy 18. To jedyne dwie liczby naturalne, dla których zachodzą takie zależności.

Jeśli przyjrzymy się liczbie 16 jeszcze dokładniej, przekonamy się, że można ją zapisać na dwa sposoby, zamieniając miejscami podstawę i wykładnik potęgi – 16 = 24 i 16 = 42. Tego nie można powiedzieć o żadnej innej liczbie7.

Kiedy zaś przywołamy liczby trójkątne8, liczbę 16 będzie można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb trójkątnych. To najmniejsza liczba kwadratowa o tej właściwości. 16 = 6 + 10 = 1 + 15.

Pitagorejczycy byli oczarowani właściwościami tych dwóch liczb, a jednocześnie gardzili rozdzielającą je liczbą 17. A przecież ta liczba również ma niespotykane właściwości, które sprawiają, że jest ona niebywale ważna. Liczba 17 jest siódmą liczbą pierwszą i generuje szóstą liczbę pierwszą Mersenne’a9, czyli 131 071. Ponadto liczba 17 jest sumą pierwszych czterech liczb pierwszych: 2 + 3 + 5 + 7 = 17. Przypuszczalnie jest ona najbardziej znana jako liczba krawędzi wielokąta foremnego, który można skonstruować za pomocą linijki i cyrkla – czego z dumą dowiódł we wczesnej młodości słynny niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Uznał to za tak ważne osiągnięcie, że kazał wykuć sobie ten wielokąt na nagrobku.

Liczba 17 ma szczególne właściwości. Na przykład 173 = 4913, a suma cyfr tej liczby wynosi: 4 + 9 + 1 + 3 = 17. Istnieje tylko kilka innych takich liczb: 1, 8, 18, 26 i 27. Możecie to sprawdzić i przekonać się osobiście, że liczby te rzeczywiście mają taką właściwość. Spójrzcie tylko na ten przykład: 263 = 17 576 i 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26.

Niektóre liczby pierwsze po odwróceniu kolejności cyfr je tworzących nadal dają liczby pierwsze. Jak łatwo się przekonać, patrząc na listę kilku początkowych, 17 jest jedną z nich:

13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157,…

Sprawdźmy teraz, dlaczego liczba 18 jest tak wyjątkowa. Kojarzy się ją przede wszystkim z pełnoletniością, liczbą kół ciężarówki czy dołków na polu golfowym.

Po osiemnaście liter mają angielskie słowa conservationalist i conversationalist – konserwatysta i rozmówca – będące anagramami. Są to najdłuższe anagramy w języku angielskim, jeśli wykluczy się terminy naukowe10.

Od czasów starożytności liczba 18 cieszyła się uwagą osób znających język hebrajski. Przez wieki rabini posługiwali się tak zwaną gematrią do analizowania Pisma. Gematria wymaga zamiany słów zapisanych w hebrajskim na ich numeryczne odpowiedniki. Liczba 18 wyrażona za pomocą znaków alfabetu hebrajskiego wygląda następująco: . Odczytane jako słowo znaki te oznaczają życie i często są traktowane jako talizman. Z kolei w języku chińskim znak odpowiadający liczbie 18 symbolizuje też słowo opisujące powodzenie.

Jednocześnie liczba 18 ma również interesujące właściwości matematyczne. Przykładowo jest jedyną liczbą uzyskiwaną przez podwojenie sumy cyfr ją tworzących. Gdy przyjrzymy się bliżej tej zależności, okaże się, że można ją rozwinąć – i tak: 18 = 9 + 9 oraz 81 = 9 ∙ 9, czyli kwadrat sumy jej cyfr. Jeśli wstawimy między obie cyfry 9, to będziemy mogli kontynuować ten schemat: 198 = 99 + 99 i odwracając zapis cyfr tej liczby: 891 = 9 ∙ 99. A skoro już o tym mowa, warto zauważyć, że 18 + 81 = 99 oraz 9 + 9 = 18. Ten schemat daje się rozwinąć:

18 = 9+9 81 = 9 ∙ 9

198 = 99+99 891 = 9 ∙ 99

1998 = 999+999 8991 = 9 ∙ 999

19998 = 9999+9999 89991 = 9 ∙ 9999

… a to wcale nie koniec!

Inna interesująca właściwość liczby 18 wiąże się z jej trzecią i czwartą potęgą. Gdy je zapiszemy, przekonamy się, że w obu wynikach pojawiają się wszystkie cyfry od 0 do 9 użyte dokładnie raz:

183 = 5832 i 184 = 104 976.

I znów poprowadzimy te rozważania dalej, aby się przekonać, że suma cyfr w równaniu 183 = 5832 wynosi dokładnie 5 + 8 + 3 + 2 = 18. Już sama ta zależność wydaje się niezwykła, a przecież możemy kontynuować te analizy dalej. Przyjrzyjmy się teraz szóstej i siódmej potędze liczby 18. W obu tych wypadkach wynikami są liczby, w których suma cyfr wynosi 18, to znaczy 186 = 34 012 224, gdzie 3 + 4 + 0 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 = 18, i 187 = 612 220 032, gdzie 6 + 1 + 2 + 2 + 2 + 0 + 0 + 3+ 2 = 18.

W takich rozważaniach można posunąć się jeszcze dalej, ponieważ

1818 = 39 346 408 075 296 537 575 424 i

3 + 9 + 3 + 4 + 6 + 4 + 0 + 8 + 0 + 7 + 5 + 2 + 9 + 6 + 5 + 3 + 7 + 5 + 7 + 5 + 4 + 2 + 4 = 108.

Liczba 18 może też dać sporo radości. Zacznijcie od wybrania liczby trzycyfrowej, w której każda z cyfr jest inna. Następnie ustawcie te cyfry w kolejności od najwyższej do najniższej, a potem o najniższej do najwyższej. Teraz odejmijcie mniejszą z otrzymanych liczb od większej. Wreszcie dodajcie do siebie cyfry uzyskanej w wyniku tego liczby. Otrzymacie 18.

Zobaczmy, jak to działa na konkretnym przykładzie. Weźmy liczbę 584. Zapiszemy najmniejszą liczbę, jaką można złożyć z tych cyfr – będzie to 458 – i najwyższą – 854. Teraz odejmiemy je od siebie: 854 − 458 i otrzymamy 396. Suma jej cyfr, 3 + 9 + 6, to 18. Spróbujcie tego z dowolną liczbą trzycyfrowa i przekonajcie się, że taka zależność rzeczywiście istnieje. Taka sztuczka doskonale nadaje się do łamania lodów w czasie spotkań towarzyskich.

Spójrzmy teraz na osiemnasty wyraz ciągu Fibonacciego11. Można wykazać, że jest on równy sumie sześcianów czterech kolejnych liczb naturalnych: F18 = 2584 = 73 + 83 + 93 + 103.

Być może pamiętacie także, że 18 jest szóstą z liczb Lucasa12. Jeśli chcecie, poszukajcie innych równie zaskakujących wystąpień liczby 18.

NIEZWYKŁA LICZBA 30

Liczba 30 jest sumą kwadratów pierwszych czterech liczb naturalnych:

12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Liczba 30 jest także największą liczbą, dla której wszystkie liczby względnie pierwsze (takie, których jedyny wspólny dzielnik wynosi 1) mniejsze od niej są liczbami pierwszymi (z wyjątkiem liczby 1). Są to kolejno: 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29. Inne liczby, dla których ta właściwość także zachodzi, to: 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, jak więc widać, 30 jest największą liczbą o takiej właściwości.

W 1907 roku niemiecki student H. Bonse przeprowadził prosty, niewymagający rachunku różniczkowego i całkowego dowód13 tej zależności. Dowód ten można też odnaleźć w przetłumaczonej z niemieckiego książce Hansa Rademachera i Ottona Toeplitza The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur14.

NIEZWYKŁA LICZBA 37

Wiemy, że 37 jest liczbą pierwszą, ale poza tym ma też inne niezwykłe właściwości, które chcemy tu przedstawić. Oznaczmy sumę kwadratów cyfr liczby n przez Q2 (n). Dla liczby 37 będziemy mieli zatem: Q2 (37) = 32 + 72 = 58. Na razie nie widać w tym nic szczególnego, ale jeśli odejmiemy od tego wyniku iloczyn cyfr tworzących liczbę n, otrzymamy (ku naszemu zaskoczeniu) Q2 (37) – 3 ∙ 7 = 58 − 21 = 37.

Można to zapisać inaczej: Q2 (37) = 37 + 3 ∙ 7. To raczej niezwykła właściwość i oczywiście rodzi się pytanie, czy są inne takie liczby dwucyfrowe, dla których zachodzi identyczna zależność. Ogólnie można ją zapisać następująco: , gdzie: i a ≠ 0. Ponadto jest liczbą dwucyfrową zapisaną w układzie dziesiętnym, taką że , co można też wyrazić jako: .

Aby odpowiedzieć na pytanie, czy istnieją liczby inne niż 37, które spełniają podany warunek, należy rozpatrzyć ogólne równanie postaci a2 + b2 − a ∙ b = 10a + b. Z pomocą komputera daje odnaleźć się jedyne jego rozwiązanie poza liczbą 37, i jest to liczba 48. Dla liczby 48 zachodzi Q2 (48) – 4 ∙ 8 = 42 + 82 – 4 ∙ 8 = 16 + 64 − 32 = 48.

Naturalnie natychmiast zaczynamy się zastanawiać, czy istnieje liczba trzycyfrowa, która spełniałaby taki warunek, czyli czy da się znaleźć liczbę taką, że: , gdzie i a ≠ 0, która byłaby liczbą zapisaną w układzie dziesiętnym, taką że . I znów do obliczeń należy użyć komputera. Okazuje się, że żadna z liczb trzycyfrowych nie spełnia takiej zależności.

Nie wyczerpuje to listy zaskakujących właściwości liczby 37. Przyjrzyjmy się teraz sumie sześcianów cyfr liczby n oznaczonej jako Q3 (n), gdzie

Obliczmy teraz iloczyn liczby 37 i sumy cyfr tworzących tę liczbę:

Suma sześcianów cyfr tworzących liczbę 37 wynosi: Q3 (37) = 33 + 73 = 27 + 343 = 370.

To z kolei oznacza, że dla liczby 37 prawdziwe jest następujące stwierdzenie: .

I znów warto się zastanowić, czy jest to jedyna taka liczba dwucyfrowa, czy też może są nam znane inne, które mają podobną właściwość. Obliczenia prowadzone na komputerze pozwalają znowu znaleźć rozwiązanie: owszem, istnieje jeszcze jedna liczba dwucyfrowa, dla której prawdziwa jest taka zależność, i jest to 48, czyli wynik rozwiązania równania:

(10a + b) ∙ (a + b) = a3 + b3, czyli inaczej rzecz ujmując 10a2 + 11ab + b3 = a3 + b3. Oznacza to, że dla n = 48 otrzymujemy 48 ∙ Q (48) = 48 ∙ (4 + 8) = 48 ∙ 12 = 576 i Q3 (48) = 43 + 83 = 64 + 512 = 576.

Czy tę zależność da się rozszerzyć na liczby trzycyfrowe? Czy uda się nam znaleźć n takie, że , gdzie i , która byłaby liczbą taką, że ? Niestety tym razem obliczenia komputerowe dają odpowiedź negatywną – nie ma liczb trzycyfrowych spełniających ten warunek.

Jeśli jednak zmodyfikujemy go do postaci , przekonamy się – oczywiście z pomocą komputera – że istnieją cztery liczby trzycyfrowe, które go spełniają: n = 100, 111, 147 i 148:

100 ∙ (10 + 0) = 100 ∙ 10 = 1000 i 103 +03 = 1000 + 0 = 1000,

111 ∙ (11 + 1) = 111 ∙ 12 = 1332 i 113 +13 = 1331 + 1 = 1332,

147 ∙ (14 + 7) = 147 ∙ 21 = 3087 i 143 +73 = 2744 + 343 = 3087,

148 ∙ (14 + 8) = 148 ∙ 22 = 3256 i 143 +83 = 2744 + 512 = 3256.

Czytelników zainteresowanych tym tematem zachęcamy do prowadzenia podobnych poszukiwań na własną rękę.

NIEZWYKŁA LICZBA 72

Pora przedstawić słynną „zasadę 72”. Mówi ona, z grubsza rzecz ujmując, że kwota kapitalizowana w ciągu roku w sposób ciągły ze stopą oprocentowania r podwoi się po upływie roku. Oznacza to, że jeśli zainwestujemy jakąś kwotę na rachunku oprocentowanym ze stopą 8 procent, na którym roczna kapitalizacja następuje w sposób ciągły, to podwoi ona swoją wartość po latach. Ponieważ to n ∙ r = 72. Aby się przekonać, skąd wypływa taka zasada, i sprawdzić, czy jest ona prawdziwa, przyjrzyjmy się bliżej wzorowi pozwalającemu obliczyć kapitalizację odsetek składanych w sposób ciągły:

gdzie A jest kwotą uzyskaną, a P kwotą pierwotnie zainwestowaną na okres n z rocznym oprocentowaniem w wysokości r.

Musimy sprawdzić, co się stanie, gdy A = 2P. Po podstawieniu tej zależności do równania otrzymamy następujący wynik:

(1)

Rozwiązaniem tego równania jest wzór postaci

(2)

Spójrzmy na przybliżone wartości wyznaczone na jego podstawie (rysunek 1.5).

r

n

n ∙ r

1

69,66071689

69,66071689

3

23,44977225

70,34931675

5

14,20669908

71,03349541

7

10,24476835

71,71337846

9

8,043231727

72,38908554

11

6,641884618

73,0607308

13

6,641884618

73,72842319

15

4,959484455

74,39226682

Rysunek 1.5

Jeśli obliczymy średnią arytmetyczną wartości nr, otrzymamy wynik 72,04092673, co niewiele odbiega od wartości 72, a to oznacza, że „zasada 72” jest dobrym przybliżeniem pozwalającym podać czas, po którym kwota zainwestowana na n okresów procentowych z oprocentowaniem r zwróci się dwukrotnie.

Zainteresowanych tym tematem czytelników zachęcamy do odnalezienia „zasad” pozwalających wyznaczyć czas potrójnego i poczwórnego zwrotu z inwestycji. Powyższe równanie (2) dla k-krotnego zwrotu przyjmie postać:

co dla r = 8 daje n = 29,91884022 (log k). Stąd nr = 239,3507218 log k, co dla k = 3 (efekt potrojenia) daje nr = 114,1821673.

Można powiedzieć, że dla potrojenia inwestycji obowiązuje „zasada 114”.

Jednak dla osób zainteresowanych tym zagadnieniem istotne jest, że popularna „zasada 72” pozwala w łatwy sposób obliczyć zwrot z inwestycji, a jednocześnie sprawia, że liczba 72 staje się naprawdę interesująca.

CIĄG DALSZY DOSTEPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

WSTĘP

Rozdział 1. CIEKAWOSTKI ARYTMETYCZNE

Rozdział 2. CIEKAWOSTKI GEOMETRYCZNE

Rozdział 3. INTERESUJĄCE PROBLEMY I ICH RÓWNIE INTERESUJĄCE ROZWIĄZANIA

Rozdział 4. INTERESUJĄCE WŁAŚCIWOŚCI ŚREDNIEJ

Rozdział 5. NIEZWYKŁY ŚWIAT UŁAMKÓW

PODSUMOWANIE

PODZIĘKOWANIA

1 Bądź też Nikołaj Piotrowicz Bogdanow-Bielski.

2 Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, Niezwykłe liczby Fibonacciego, przeł. J. Szajkowska, Prószyński i S-ka, Warszawa 2014, s. 30, 105.

3 Dla czytelników zainteresowanych tematem przedstawiamy krótkie wyjaśnienie tej zależności. Weźmy liczbę taką, że i a ≠ 0, której wartość można wyrazić następująco:

co sugeruje, że podzielność liczby N przez 11 zależy od podzielności przez tę liczbę wyrażenia a − b + c − d + e = (a + c + e) − (b + d), czyli właśnie różnicy sum naprzemiennych cyfr sprawdzanej liczby. Uwaga: 11M oznacza wielokrotność liczby 11.

4 Liczby takie definiuje się wzorem . W liczbach tego rodzaju cyfra stojąca na miejscu jedności jest powielona n razy. Gwiazdka oznacza wyłączenie zera ze zbioru liczb naturalnych.

5 Richard L. Francis, Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers, „College Mathematics Journal” 1988, nr 19 (3), s. 240–246.

6 Wolfram MathWorld, Repunit, http://mathworld.wolfram.com/Repunit.html (dostęp 13 marca 2017 r.).

7 Wykazał to Leonhard Euler.

8 Liczby trójkątne to 1, 3, 6, 10, 15, 21,… oraz wszystkie te, które można przedstawić za pomocą odpowiedniej liczby punktów ustawionych w trójkąt równoboczny.

9 Liczby Mersenne’a są dane wzorem Mn = 2n − 1, gdzie n jest liczbą całkowitą. Liczby pierwsze Mersenne’a to liczby pierwsze opisane wzorem Mn = 2n − 1.

10 Hydroxydeoxycorticosterones i hydroxydesoxycorticosterone, czyli hydroksydeoksykortykosterony i hydroksydezoksykortykosteron, mają po dwadzieścia siedem liter.

11 Ta właściwość liczby 18 jest szerzej opisana w książce Alfreda S. Posamentiera i Ingmara Lehmanna, Niezwykłe liczby Fibonacciego.

12 Liczby Lucasa, nazwane tak na cześć francuskiego matematyka Edouarda Lucasa (1842–1891), to kolejno 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,…

13 H. Bonse, Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, „Archiv Mathematik-Physik” 1907, nr 12 (3), s. 292–295.

14 H. Rademacher i O. Toeplitz, O liczbach i figurach, przeł. Abraham Goetz, PWN, Warszawa 1956, s. 235–243.