Tytuł oryginału

ALEX THROUGH THE LOOKING-GLASS

HOW NUMBERS REFLECT LIFE AND LIFE REFLECTS NUMBERS

Copyright © Alex Bellos 2014

First published in Great Britain in 2014

Cartoons © 2014 by The Surreal McCoy

Mathematical diagrams © 2014 by Simon Lindo

Projekt okładki

Zbigniew Larwa

Zdjęcie na okładce

© Martin Mecnarowski/Shutterstock.com; Sven Geier

Redaktor serii

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Małgorzata Denys

ISBN 978-83-8123-629-4

Warszawa 2018

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Gintrowskiego 28

www.proszynski.pl

Dla Nat

Wstęp

Matematyka jest niczym dowcip.

Mówię to całkiem poważnie.

Każdy dowcip trzeba „załapać” i analogicznie trzeba „załapać” rozumowanie matematyczne.

I tu, i tu mamy do czynienia z takim samym procesem myślowym.

Pomyślcie tylko. Dowcipy są krótkimi opowieściami składającymi się z wprowadzenia i puenty. Słuchamy ich uważnie, by się na końcu roześmiać.

Rozumowanie matematyczne również jest opowieścią z wprowadzeniem i puentą. Oczywiście jest to opowieść innego rodzaju, w której występują liczby, figury, symbole i formuły. Taką matematyczną narrację zwykle nazywamy „dowodem”, a puentę – „twierdzeniem”.

Studiujemy dowód uważnie, aż wreszcie dochodzimy do jego konkluzji. Szast-prast! Coś podobnego! Neurony szaleją! Przypływ intelektualnej satysfakcji wynagradza nam cały trud i się uśmiechamy.

Ha-ha! w odniesieniu do dowcipu i aha! w wypadku rozumowania matematycznego wyrażają w gruncie rzeczy przeżycie tego samego rodzaju – to właśnie między innymi sprawia, że matematyka tak fascynuje i wciąga.

Podobnie jak najzabawniejsze puenty, najpiękniejsze twierdzenia ukazują coś, czego się nie spodziewaliśmy. Odsłaniają przed nami jakąś nową ideę, nową perspektywę. W wypadku dowcipów wybuchamy śmiechem; rozumowanie matematyczne zapiera nam dech z podziwu. To właśnie ten element zaskoczenia sprawił, że już jako dziecko zakochałem się w matematyce. Nic innego tak konsekwentnie nie zadawało kłamu moim przyjmowanym z góry tezom.

W tej książce również będę raz po raz zaskakiwać. Wprowadzę was w krąg moich ulubionych pojęć matematycznych i pokażę, jak bardzo obecne są one w naszym życiu. Chciałbym, abyście docenili piękno, użyteczność i nieodparty urok logicznego myślenia.

W mojej poprzedniej książce Przygody Alexa w krainie liczb eksplorowałem krainę matematycznej abstrakcji. Teraz zejdę na ziemię – zajmę się zarówno światem rzeczywistym odbitym w zwierciadle matematyki, jak i abstrakcyjnym, inspirowanym przez nasze fizyczne doświadczenia.

Na początek wezmę pod lupę ludzi. Jaki jest nasz stosunek do liczb i skąd się on bierze? Następnie wezmę pod lupę liczby, i indywidualnie, i wszystkie razem. Każda z liczb jest na swój sposób wyjątkowa. Kiedy jednak mamy z nimi do czynienia en masse, możemy dostrzec coś fascynującego – zachowują się one jak dobrze zorganizowany tłum.

Potrzebujemy liczb, aby rozeznać się w świecie, i dzieje się tak, odkąd tylko nauczyliśmy się liczyć. W istocie najbardziej zdumiewająca cecha matematyki polega na tym, że była ona i nadal jest niesamowicie skuteczna jako narzędzie umożliwiające nam poznanie tego, co nas otacza. Nasza cywilizacja zawdzięcza swój rozwój odkryciu prostych figur, takich jak okręgi i trójkąty, które początkowo wyrażano graficznie, a później w języku równań.

Zaryzykowałbym twierdzenie, że matematyka jest najbardziej imponującym i mającym najdłuższą tradycję przedsięwzięciem w ludzkich dziejach. W dalszym ciągu książki będę podążał z pochodnią odkrycia od egipskich piramid po Mount Everest, od Pragi po Kanton i od wiktoriańskiego salonu po świat samoreplikujących się cyfrowych tworów. Po drodze napotkamy wiele grackich umysłów, w tym zarówno znane nazwiska ze starożytności, jak i mniej znane – z czasów obecnych. Naszymi bohaterami będą: noszący fular celebryta, którego spotkałem w Indiach, wymachujący rewolwerem prywatny badacz ze Stanów Zjednoczonych, członek tajnego stowarzyszenia z Francji oraz inżynier aerokosmiczny, który mieszka nieopodal mojego londyńskiego lokum.

W naszej wędrówce po świecie fizycznym i świecie abstrakcji będziemy mieli do czynienia z pojęciami szeroko znanymi, takimi jak liczba pi i liczby ujemne, ale natrafimy też na obiekty bardziej tajemnicze, które staną się naszymi dobrymi znajomymi. Napełnią nas podziwem konkretne zastosowania koncepcji matematycznych, w tym takie, które są konkretne w jak najbardziej fizycznym sensie, bo wykonane z betonu.

Nie musicie być obeznani z matematyką, aby móc czytać tę książkę. Przeznaczona jest ona dla szerokiego kręgu odbiorców. W każdym rozdziale przedstawiam nowe pojęcie matematyczne, nie zakładając żadnej uprzedniej wiedzy u czytelnika. Jednakże w nieunikniony sposób niektóre z pojęć są bardziej intelektualnie wymagające niż inne. Niekiedy jest to matematyka na poziomie szkoły wyższej i może chwilami onieśmielać osoby o mniejszej smykałce matematycznej. W takich wypadkach przeskoczcie od razu na początek kolejnego rozdziału, gdzie powracam do poziomu elementarnego. Początkowo może się wam nieco zakręcić w głowie, zwłaszcza jeśli prezentowany materiał jest dla was zupełną nowością, ale o to właśnie chodzi. Chciałbym, abyście spojrzeli na życie z innej perspektywy. Niekiedy dotarcie do etapu aha! zabiera nieco czasu.

Wszystko to brzmi bardzo poważnie, ale jest wręcz przeciwnie. Nacisk na element niespodzianki czyni z matematyki najlepszą rozrywkę wśród dyscyplin intelektualnych. Ludzie od zawsze nie tylko używają liczb jako narzędzi, lecz także się nimi bawią.

Matematyka zarówno pozwala nam lepiej zrozumieć świat, jak i dostarcza intelektualnej uciechy.

Alex Bellos

styczeń 2014

ROZDZIAŁ PIERWSZY

Każda liczba opowiada swoją historię

Jerry Newport poprosił, bym podał jakąś czterocyfrową liczbę.

„2761”, powiedziałem.

„To jest 11 × 251”, odparł i zaczął wymieniać kolejne liczby jednym ciągiem, bez najmniejszych zawahań głosu.

„2762. To jest 2 × 1381”.

„2763. To jest 3 × 3 × 307”.

„2764. To jest 2 × 2 × 691”.

Jerry to emerytowany taksówkarz z Tucson w stanie Arizona cierpiący na syndrom Aspergera. Ma rumianą cerę i małe niebieskie oczy, a jego wysokie czoło przecięte jest po przekątnej kosmykiem ciemnoblond włosów. Na równi z liczbami uwielbia ptaki i podczas naszego spotkania miał na sobie czerwoną kwiecistą koszulę z papugą. Siedzieliśmy sobie w jego saloniku, razem z jedną kakadu, jedną gołębicą, trzema aleksandrettami i jedną papużką nimfą, które przysłuchiwały się naszej rozmowie, od czasu do czasu powtarzając fragmenty zdań.

Ilekroć Jerry zobaczy jakąś dużą liczbę, z miejsca rozkłada ją na iloczyn liczb pierwszych, czyli takich jak 2, 3, 5, 7, 11…, które dzielą się jedynie przez siebie samą i 11. Dzięki temu nawykowi jego wcześniejsza praca w taksówce sprawiała mu szczególną przyjemność, gdyż miał przed oczami numery rejestracyjne jadących przed nim samochodów. Gdy mieszkał w Santa Monica, gdzie rejestracje mają po cztery lub pięć cyfr, często zaglądał na czteropoziomowy parking miejscowej galerii handlowej i nie wychodził dopóty, dopóki nie odczytał liczb z tablic wszystkich znajdujących się tam pojazdów.

W Tucson jednak numery rejestracyjne są zaledwie trzycyfrowe i Jerry prawie w ogóle nie ma na co patrzeć.

„Jeśli numer ma więcej niż cztery cyfry, to od razu zwraca moją uwagę. Cztery lub mniej cyfr to łatwizna. Słowo daję! – zaprotestował. – No, podaj jakąś nową liczbę!”

Syndrom Aspergera to zaburzenie psychiczne, w którym trudności w kontaktach z innymi idą w parze z niezwykłymi uzdolnieniami, na przykład, jak u Jerry’ego, zdumiewającą umiejętnością rachowania w myślach. W 2010 roku bez żadnych przygotowań wziął on udział w mistrzostwach świata w rachunku myślowym w Niemczech, wygrywając w klasyfikacji generalnej, za co przyznano mu tytuł Najbardziej Wszechstronnego Rachmistrza, przy czym jako jedyny ze współzawodników zdobył komplet punktów w kategorii, w której należało rozłożyć 19 liczb pięciocyfrowych na czynniki pierwsze w ciągu dziesięciu minut. Nikt inny nawet nie zbliżył się do tego wyniku.

Sposób Jerry’ego na rozkładanie wielkich liczb na czynniki polega na odsiewaniu kolejno coraz to większych liczb pierwszych – wyciąganiu czynnika 2 dla liczby parzystej, czynnika 3, jeśli liczba dzieli się przez 3, czynnika 5, jeśli jest podzielna przez 5, i tak dalej.

Podniósł głos niemal do krzyku: „O tak, odsiewamy, odsiewamy, kochanie!”. Zaczął kręcić tułowiem: „Jesteśmy na scenie. Podawajcie tylko liczby, ludzie, a już my je wrzucimy na sito. Tak, my! Jerry i jego drużyna!”.

„Ja też mam parę sit” – wtrąciła jego żona Mary siedząca obok nas na sofie. Mary, która komponuje muzykę i zagrała niewielką rólkę w serialu Star Trek, również ma syndrom Aspergera; u kobiet występuje on znacznie rzadziej niż u mężczyzn. Małżeństwo dwojga ludzi cierpiących na Aspergera jest ewenementem i na kanwie ich niekonwencjonalnej miłości nakręcono w 2005 roku film Zaklęte serca.

Czasem Jerry’emu nie udaje się wyciągnąć żadnego czynnika pierwszego z dużej liczby, co oznacza, że ona sama jest liczbą pierwszą. Gdy tak się zdarzy, Jerry doznaje dreszczyku emocji: „Jeśli natrafię na liczbę pierwszą, której do tej pory nie znałem, to tak jak gdyby przy zbieraniu minerałów znaleźć nowy, cenny kamień. Coś niczym diament, który można zabrać do domu i położyć sobie na półce”.

Wziął oddech. „Nowa liczba pierwsza – to zdobycie nowego przyjaciela”2.

Najwcześniejsze słowa i symbole pojawiły się mniej więcej pięć tysięcy lat temu w Sumerze, na obszarze obecnego Iraku. Sumerowie nie zadawali sobie zbytniego trudu, jeśli chodzi o wymyślanie nazw liczb. Ges – „jeden” – oznaczało jednocześnie mężczyznę bądź wzwiedziony fallus. Słowo na „dwa”, min, oznaczało kobietę, co symbolizowało ideę, że kobieta jest uzupełnieniem mężczyzny, bądź też opisywało penis i parę piersi3.

Początkowo liczby używane były do celów praktycznych, takich jak liczenie owiec czy obliczanie podatków. Niemniej jednak dostrzegano również ich właściwości abstrakcyjne, które dawały wiele do myślenia. Bodaj najwcześniejszym odkryciem matematycznym była obserwacja, że istnieją dwa rodzaje liczb – parzyste, które da się podzielić na dwa bez reszty, takie jak 2, 4 i 6, i nieparzyste, których się nie da, jak 1, 3 i 5. Grecki myśliciel Pitagoras, który żył w VI wieku p.n.e., nawiązując do sumeryjskiego skojarzenia jedynki z mężczyzną i kobiety z dwójką, głosił, że liczby nieparzyste są męskie, a parzyste – żeńskie. Niepodzielność na dwie części, twierdził, uosabia siłę, podczas gdy podatność na takie podzielenie stanowi słabość. Podawał też argumenty rachunkowe – liczby nieparzyste dominują nad parzystymi, ponieważ jeśli dodamy liczbę nieparzystą do parzystej, otrzymany wynik jest nieparzysty.

Pitagoras najbardziej znany jest ze swojego twierdzenia o trójkątach, do którego dojdziemy w dalszym ciągu tej książki. Niemniej jednak jego pogląd, że liczby mają płeć, zdominował myśl Zachodu na ponad dwa tysiące lat. Chrześcijaństwo wyraziło go w swoim micie o stworzeniu – Bóg stworzył najpierw Adama, a dopiero potem Ewę. Jedynka symbolizuje jedność, a dwójka to „grzech, który oddala od Pierwotnego Dobra”4. Średniowieczny Kościół postrzegał liczby nieparzyste jako mocniejsze, lepsze, bardziej uduchowione i przynoszące więcej szczęścia niż parzyste, a w czasach Szekspira nadawanie im metafizycznej rangi stało się powszechne: „Powiadają ludzie, że nieparzysta liczba jest świętą liczbą przy urodzeniu, przedsięwzięciach i śmierci” – rzecze Falstaff w Wesołych kumoszkach z Windsoru5. Te przesądy utrzymują się do dziś dnia.

Szekspir jest również odpowiedzialny za współczesne znaczenie angielskiego słowa odd (nieparzysty, dziwny). Początkowo miało ono jedynie sens numeryczny i używane było w wyrażeniach takich jak odd man out określających niesparowanego członka grupy trzech osób5. Natomiast w Straconych zachodach miłości groteskowy Hiszpan Don Adriano de Armado opisany jest jako „zbyt wymuskany, wyfiokowany, zbyt dziwny, że tak powiem, za wielki peregrynant, jeśli mi wolno się tak wyrazić”6. Uzyskanie liczby jeden jako reszty po podzieleniu przez dwa zostało odtąd nierozerwalnie skojarzone z dziwnością.

Jest w naturze człowieka, by zwracać uwagę na prawidłowości dotyczące liczb. Wywołują one subiektywne reakcje, niekiedy wręcz skrajne, jak w wypadku Jerry’ego Newporta, lecz generalnie prowadzące do głęboko zakorzenionych skojarzeń kulturowych. Filozofia Wschodu oparta jest na dostrzeżeniu dualności otaczającego świata, symbolizowanej przez yin i yang, dosłownie „cień” i „światło”. Yin związane jest z biernością, pierwiastkiem żeńskim, Księżycem, niepowodzeniem i liczbami parzystymi, a yang z ich przeciwieństwami – agresywnością, pierwiastkiem męskim, powodzeniem i liczbami nieparzystymi. Raz jeszcze mamy do czynienia z kulturowym związkiem między pomyślnością a liczbami nieparzystymi i to kojarzenie jest szczególnie silne w Japonii, gdzie, na przykład, zwyczajowo jako podarunek daje się trzy, pięć lub siedem przedmiotów – nigdy cztery ani sześć7. Jeżeli państwu młodym w prezencie ślubnym ofiarowuje się gotówkę, powinny to być kwoty 30 000, 50 000 i 100 000 jenów, lecz 20 000 jenów jest w pełni akceptowalne pod warunkiem „uczynienia ich nieparzystymi” przez wręczenie jednego banknotu o nominale 10 000 jenów i dwóch po 5000 jenów. Estetyczny walor liczb nieparzystych wykorzystywany jest również w ikebanie, klasycznej japońskiej sztuce układania kwiatów, której kompozycje zawierają zawsze nieparzystą liczbę elementów, co wyraża buddyjską doktrynę, że asymetria jest odzwierciedleniem natury. Kaiseki, wykwintny obiad w kuchni japońskiej, zawsze obejmuje nieparzystą liczbę dań, a japońskie dzieci poznają symboliczne znaczenie liczb nieparzystych dzięki obchodzonemu dorocznie świętu Shichi-Go-San (Siedem-Pięć-Trzy), w którego obrzędach obejmujących modły za dobre zdrowie i prawidłowy rozwój uczestniczą dziewczynki w wieku 3 i 7 lat oraz chłopcy w wieku 3 i 5 lat. Predylekcja do liczb nieparzystych jest w społeczeństwie japońskim tak głęboko zakorzeniona, pisze profesor Yutaka Nishiyama z Uniwersytetu Ekonomicznego w Osace, że kiedy w 2000 roku rząd wyemitował banknot o nominale 2000 jenów, nikt go nie używał8.

Przesądy dotyczące liczb w krajach Azji Wschodniej są silniejsze niż na Zachodzie. Kraje te jednocześnie wypadają lepiej w międzynarodowych testach na umiejętność liczenia, co świadczy o tym, że głęboko mistyczne podejście do liczb niekoniecznie stanowi przeszkodę w opanowaniu arytmetyki. W istocie przesądy mogą zwiększać szacunek dla liczb oraz skłaniać do ich bliższego poznania i bawienia się nimi – podobnie jak matematyka. Najbardziej rozpowszechniony azjatycki przesąd liczbowy wynika z gry słów. Ponieważ wyrazy oznaczające „cztery” po japońsku, koreańsku, w dialekcie kantońskim i mandaryńskim (shi, sa, sei, si) brzmią w tych językach tak samo jak te, które znaczą „śmierć”, wszyscy starają się unikać liczby cztery, kiedy tylko jest to możliwe. Hotele w tym regionie często nie mają czwartego piętra, w samolotach nie ma czwartego rzędu miejsc, a firmy nie oferują produktów z czwórką w nazwie. W istocie kojarzenie czwórki ze śmiercią jest na tyle silne, że staje się wręcz samospełniającą się przepowiednią – z amerykańskich danych statystycznych wynika, że wśród Amerykanów pochodzenia japońskiego i chińskiego czwartego dnia każdego miesiąca przypada nasilenie śmiertelnych ataków serca9. Z kolei ósemka jest liczbą szczęśliwą, ponieważ słowo „osiem” po chińsku wymawia się tak samo jak „pomyślność”. Cyfra osiem występuje nieproporcjonalnie często w cenach produktów reklamowanych w chińskich gazetach. Dwie śmierci równoważne są szczęściu w życiu.

Również w Indiach liczby nieparzyste postrzegane są jako najbardziej sprzyjające. Skąd bierze się to, że zarówno na Wschodzie, jak i na Zachodzie cecha nieparzystości niesie większy ładunek pozytywny niż parzystość? Może to wynikać z faktu, że nasz mózg potrzebuje więcej czasu na przetworzenie liczb nieparzystych niż parzystych, co odkrył psycholog Terence Hines z Pace University i nazwał „efektem nieparzystości”. W jednym ze swych eksperymentów Hines wyświetlał na ekranie pary cyfr10, obie nieparzyste, takie jak 3 i 5, obie parzyste, takie jak 6 i 4, bądź jedną parzystą i jedną nieparzystą, takie jak 2 i 7. Uczestnicy mieli za zadanie nacisnąć guzik tylko w razie pojawienia się pary parzysta–parzysta lub nieparzysta–nieparzysta. Okazało się, że gdy obie cyfry były nieparzyste, naciśnięcie guzika zajmowało badanym średnio 20 procent więcej czasu i częściej się mylili. Początkowo Hines nie dowierzał swoim wynikom, sądząc, że w zastosowanej przez niego procedurze tkwi jakiś błąd, lecz zjawisko to zaobserwowane zostało także podczas kolejnych badań. Nasz odmienny stosunek do liczb nieparzystych nie bierze się wyłącznie z odwiecznej tradycji kulturowej, lecz z tego, że myślimy o nich inaczej – rzec można, iż bardziej nas one prowokują do myślenia.

Istnieje pewien lingwistyczny trop dotyczący efektu nieparzystości, niedostrzegalny wszakże dla użytkowników języka angielskiego, który jako jedyny z ważniejszych języków ma całkiem odrębne wyrazy na oznaczenie „nieparzystego” (odd) i „parzystego” (even). Na przykład we francuskim, w niemieckim i rosyjskim nieparzyste jest negacją parzystego: pair/impair, gerade/ungerade, чётное/нечётное. Idea parzystości poprzedza ideę nieparzystości, będąc pojęciem prostszym, łatwiejszym do zrozumienia.

Owa poznawcza różnica między liczbami nieparzystymi i parzystymi była przedmiotem wielu prac badawczych. James Wilkie i Galen Bodenhausen z Northwestern University postanowili się przekonać, czy istnieją jakieś psychologiczne podstawy pradawnego przekonania, jakoby liczby nieparzyste reprezentowały pierwiastek męski, a parzyste – żeński. Pokazywali oni badanym losowo wybrane twarze niemowląt, przy czym obok każdej z nich widniała liczba o trzech cyfrach parzystych bądź trzech cyfrach nieparzystych, i prosili o odgadnięcie płci dziecka11. Eksperyment ten zdaje się absurdalny i przeszedłby bez echa, gdyby nie to, że dał zaskakujący wynik – oznaczenia cyfrowe miały znaczący statystycznie wpływ na wybór płci. Badani o około 10 procent częściej stwierdzali, że niemowlę z przypisanymi cyframi nieparzystymi jest chłopcem, niż wtedy, gdy temu samemu dziecku przypisano cyfry parzyste12. Wilkie i Bodenhausen wyciągnęli stąd wniosek, że pitagorejczycy, średniowieczni chrześcijanie i taoiści mieli rację. Pradawne, ponadkulturowe przekonanie, że liczby nieparzyste powiązane są z męskością, a parzyste z żeńskością, zostało potwierdzone przez dane empiryczne. „Być może w istocie jest to uniwersalna ludzka tendencja do przenoszenia podziałów płciowych na liczby” – pisali. Nie byli jednak w stanie wyjaśnić, dlaczego akurat nieparzystość jest męska, a parzystość żeńska, a nie na odwrót.

Kultura, język i psychologia mają wpływ na nasz sposób postrzegania struktur matematycznych, jak widzieliśmy na przykładzie liczb parzystych i nieparzystych i z czym zetkniemy się jeszcze nie raz w dalszym ciągu naszej opowieści o liczbach. Liczby mają jednoznaczny sens matematyczny – są one abstrakcyjnymi symbolami używanymi do wyrażenia ilości i kolejności – niemniej jednak mogą one również reprezentować inne cechy.

Wpływowy niemiecki teolog Hugon od św. Wiktora (1096–1141) jako jeden z pierwszych podał zbiór wskazówek do pojmowania liczb: dziesięć reprezentuje „niezachwianą wiarę”, dziewięć, jako poprzedzające dziesięć, „uchybienie w doskonałości”, a jedenaście, następujące po dziesięciu, „przekroczenie miary”13. Gdyby Hugon żył w czasach obecnych, niewątpliwie zaoferowano by mu dobrze płatną posadę w Semiotic Alliance, jednej z czołowych agencji semiotycznych. Spotkałem jej założyciela, Grega Rowlanda, w Londynie. W czarno-białym T-shircie pod marynarką, z silnie zaznaczonymi bruzdami na czole i przenikliwym wzrokiem, mógłby uchodzić za profesora uniwersyteckiego pierwszej wody, chociaż miejscem, gdzie można go zwykle spotkać, nie jest biblioteka, lecz sala obrad zarządu. Greg doradza ponadnarodowym koncernom w zakresie symboliki ich marek, a w szczególności kulturowych skojarzeń liczb. Wśród jego klientów są Unilever, Calvin Klein i KFC. Liczba jedenaście, na przykład, jest istotnym elementem firmowej mitologii sieci KFC, której naczelnym daniem jest kurczak smażony w panierce sporządzonej według sekretnego Oryginalnego Przepisu Pułkownika Sandersa, zawierającej jedenaście ziół i przypraw. „To jest kluczowy przykład wykorzystania mistycznej symboliki liczby jedenaście w wersji komercyjnej” – powiedział Greg. Liczba ta wyraża transgresję, dodał, w tym wypadku wprowadzenie dodatkowego składnika, jednego więcej, niż się zwykle używa. „Jedenaście to wyjście poza dziesięć o jeden element. Przyjmujemy, że istnieje jakiś normalny porządek rzeczy, i eksplorujemy, co znajduje się poza nim. Jedenaście otwiera drzwi do nieskończoności, ale nie posuwamy się zbyt daleko. Jest to… burżuazyjna rebelia w minimalistycznej wersji!” Zapytałem, czy zatem Pułkownik Sanders był kimś takim jak rockman ze Spinal Tap14, którego wzmacniacz dało się podkręcić do 11, aby grać głośniej niż przy użyciu wzmacniaczy, których skala kończy się na 10. Greg się roześmiał: „Tak! Ale ja naprawdę w to wierzę! Wierzę, że 11 jest bardziej interesujące niż 10!”.

Przekroczenie o jeden jak w wypadku Spinal Tap występuje dość powszechnie. Klasycznym przykładem są dżinsy Levi’s 501. „Wzbudza się oczekiwania, ale bez posuwania się zbyt daleko. Sztuka polega na wprowadzeniu jakiegoś dodatkowego szczegółu i tak właśnie firma Levi’s zwykła robić, a przynajmniej robiła w dniach swojej świetności. Mały guzik bądź nowy szew tu i ówdzie. Zawsze tylko jeden. W ten sposób Levi’s dawał do zrozumienia, że nie jest to po prostu 500, lecz o jeden lepiej, natomiast 502 – o dwa lepiej – nie dawałoby takiego efektu. Ten jeden mistyczny dodatkowy element powoduje, że nie mamy już do czynienia z czymś tak dobrze określonym i racjonalnym jak 500. Dla wielokrotności dziesięciu sprawdza się to najlepiej: film 2001: Odyseja kosmiczna, automat perkusyjny 101, pokój 10115. To nie jest pokój 100 – nie ma się czego obawiać”.

Na długo zanim Levi’s zaczął produkować dżinsy, dodatkowej jedynce przypisywano magiczne znaczenie w kulturze indyjskiej. Tradycja shagun mianowicie wymaga, by pieniądze przekazywane w darze stanowiły zawsze okrągłą sumę plus jedna rupia, na przykład 101 rupii, 501 rupii lub 100 001 rupii. Koperty podarunkowe w sklepach z artykułami ślubnymi mają już przyklejone po jednej rupii, aby nie zapomnieć o tej regule. Jakkolwiek nie ma jednolitego wyjaśnienia tej praktyki – jedni utrzymują, że jeden odpowiada błogosławieństwu, inni, że oznacza ono rozpoczęcie nowego cyklu – wszyscy są zgodni, iż symboliczna wartość dodatkowej jednej rupii jest równoważna wartości banknotów włożonych do koperty.

W tym miejscu przytoczę starą historię rodzinną. Na początku XX wieku mój dziadek opracował nową recepturę gazowanej lemoniady i nazwał ją 4 Up. Nie znalazła ona uznania u konsumentów, zatem pracował nad nią dalej przez kilka lat. Jego kolejna próba, 5 Up, również nie wypaliła. Po kolejnych kilku latach wprowadził na rynek 6 Up – jak się pewnie domyślacie, bez powodzenia. Dziadek zmarł tragicznie, nie wiedząc, jak blisko był osiągnięcia sukcesu.

Ta anegdota zawiera ważną prawdę. W interesach, podobnie jak w religii, właściwa liczba ma fundamentalne znaczenie. Liczba dziesięć – „niezachwiana wiara” – umacnia przekonanie o skuteczności antytrądzikowego kremu Oxy 10: „Dziesiątka wyraża równowagę, pewność i przywrócenie normalności. Jest absolutnie doskonała – mówi Greg. – Nie da się zakwestionować i to jest właśnie to, czego chcemy od maści na pryszcze. Nie chcemy Oxy 9 ani nawet Oxy 8. Z pewnością nie chcemy Oxy 7, 11, 13 ani 15. Od produktu takiego jak Oxy 10 wymagamy pewności”. Zapytałem go, czy uniwersalny smar WD-40 byłby równie popularny, gdyby nazywał się WD-41. „WD-41 nie brzmiałoby jako coś godnego zaufania – wyjaśniał. – WD-41 miałoby w sobie coś więcej, niż oczekujemy. Tam ewidentnie musiałoby jeszcze być coś niepotrzebnego, prawda?” Rozważał głośno inne możliwości: „WD-10 miałoby dwojaką wymowę. Albo działa, albo nie działa. Z kolei nie jest to WD-400 ani WD-4000 – co za dużo, to niezdrowo! WD-40 jest w sam raz. Ma w sobie prostotę i skromność”. Według firmowej legendy marka ta zawdzięcza swą nazwę chemikowi Normowi Larsenowi. Chciał on wynaleźć płyn, który zapobiegałby korozji, stąd Water Displacement (usuwanie wody), a WD-40 było jego czterdziestą kolejną próbą. Oczywiście nie wiadomo, czy produkt byłby równie skuteczny, gdyby Larsen wpadł na właściwy skład dopiero za czterdziestym pierwszym razem. Niemniej jednak badania naukowe potwierdzają semiotyczną ocenę Grega – liczby podzielne są bardziej atrakcyjne niż niepodzielne.

W 2011 roku Dan King z Państwowego Uniwersytetu w Singapurze oraz Chris Janiszewski z University of Florida wykazali, że fikcyjna marka szamponu antyłupieżowego była postrzegana jako bardziej atrakcyjna pod nazwą Zinc 24 niż jako Zinc 3116. Badani woleli Zinc 24 do tego stopnia, że byli gotowi zapłacić za nią o 10 procent więcej. King i Janiszewski doszli do wniosku, że klienci wybierali 24, ponieważ liczba ta była im znana jeszcze ze szkoły, gdzie jako uczniowie musieli wykuwać na pamięć działania 3 × 8 = 24 i 4 × 6 = 24. Natomiast 31 jest liczbą pierwszą i nie występuje w ogóle w tabliczce mnożenia. Badacze twierdzili, że dzięki temu, iż liczba ta jest rozpoznawana jako coś znajomego, łatwiej przychodzi nam ogarnięcie jej myślą, co wywołuje w nas poczucie jej większej atrakcyjności. Preferencja 24 wobec 31, argumentowali, skutkuje wyborem Zinc 24 zamiast Zinc 31. Greg nie był zaskoczony, gdy powiedziałem mu o tych wynikach badań, lecz wyjaśniał je bardziej w aspekcie kulturowym: „Zinc 24 wpasowuje się w nasze wewnętrzne przekonanie, że produkty oznaczone liczbami parzystymi przywracają nam poczucie normalności, poczucie, iż wszystko jest właśnie takie, jakie powinno być – powiedział. – Liczby nieparzyste dopuszczają emocjonalną niepewność, zatem zawierają w sobie więcej mistycyzmu”. I dlatego właśnie, dodał, nie chcemy, by się nam pętały przed oczami.

Aby potwierdzić swoją hipotezę, że szybkość rozpoznawania marki zwiększa jej preferowanie, King i Janiszewski przeprowadzili kolejny eksperyment, w którym zawarli mnożenie w reklamie marki z numerem w nazwie. Najpierw wybrali produkty Solus 36 i Solus 37 – dwa nieistniejące rodzaje prawdziwej marki soczewek kontaktowych Solus – a następnie przygotowali cztery reklamy: jedną dla Solus 36, jedną dla Solus 37 i po jednej dla każdego z tych produktów z hasłem marketingowym „6 barw, 6 rozmiarów”. Spośród reklam bez hasła uczestnicy eksperymentu częściej wybierali Solus 36 niż Solus 37, zgodnie z oczekiwaniami. Natomiast gdy badacze użyli reklam z hasłem, Solus 36 zwiększył swą popularność, podczas gdy Solus 37 stał się jeszcze mniej popularny niż przedtem. King i Janiszewski stwierdzili, że dzięki zapamiętanemu ze szkolnej tabliczki mnożenia 6 × 6 = 36 rozpoznajemy od razu te liczby jako coś znajomego, z kolei to, iż 6, 6 i 37 nie są arytmetycznie powiązane, sprawia, że nie przykuwają one naszej uwagi. Ich zdaniem, zadowolenie wywołane podświadomym rozpoznaniem prostego mnożenia sprawia nam przyjemność, którą mylnie utożsamiamy z satysfakcją z produktu jako takiego. Zasugerowali zatem, że firmy wyjdą dobrze na wprowadzaniu ukrytych działań arytmetycznych do swoich reklam.

Które z opakowań soczewek kontaktowych wydaje się bardziej atrakcyjne?

Udostępnione przez Dana Kinga.

King i Janiszewski wskazują, że zawsze zwracamy uwagę na to, czy dana liczba jest podzielna, czy nie, i ta wrażliwość wpływa na nasze zachowanie. Wszyscy jesteśmy w jakiejś mierze podobni do Jerry’ego Newporta, taksówkarza z Tucson, który gdy tylko zobaczył jakąś liczbę, od razu rozkładał ją na czynniki pierwsze. Przepołowienie jest od razu narzucającym się, naturalnym sposobem podziału, stąd arytmetycznym aspektem, na który jesteśmy najbardziej uwrażliwieni – i do którego odnoszą się nasze najmocniej zakorzenione kulturowe skojarzenia – jest rozróżnienie pomiędzy liczbami parzystymi i nieparzystymi.

Liczby wynaleziono, by wyrażać dokładnie, ile czegoś jest: trzy zęby, siedem dni, dwanaście kóz. Jednakże w odniesieniu do dużych ilości nie używamy liczb w precyzyjny sposób, lecz określamy w przybliżeniu za pomocą „okrągłych liczb” niczym słupków milowych. Kiedy mówię na przykład, że na targu była setka ludzi, nie mam wcale na myśli, że było tam dokładnie 100 osób, nie 99 ani 101. A kiedy stwierdzam, że Wszechświat ma 13,7 miliarda lat, nie chcę powiedzieć, że jest to dokładnie 13 700 000 000, bo może to równie dobrze być o kilkaset milionów lat więcej lub mniej. Wielkie liczby postrzegamy jako przybliżenia, małe jako wartości dokładne, choć obu tych obszarów nie da się ściśle rozgraniczyć. Byłoby ewidentnym nonsensem powiedzieć, że w przyszłym roku wiek Wszechświata będzie wynosił „13,7 miliarda lat i 1 rok”. Będzie on miał 13,7 miliarda lat przez resztę naszego życia.

Okrągłe liczby zazwyczaj kończą się zerem. Słowa „okrągłe” używa się dlatego, że okrągła liczba odpowiada zakończeniu pełnego cyklu liczenia, a nie dlatego, że zero jest okręgiem. W naszym systemie liczbowym mamy dziesięć cyfr, zatem każda wielokrotność cykli będzie zawsze podzielna przez dziesięć.

Jesteśmy do tego stopnia przyzwyczajeni do określania dużych ilości okrągłymi liczbami, że kiedy mamy do czynienia z wielką liczbą, która nie jest okrągła – powiedzmy 754 156 293 – coś nam się nie zgadza. Manoj Thomas, psycholog z Cornell University, twierdzi, że niepokój, jaki wywołują w nas duże nieokrągłe liczby, sprawia, iż liczby te postrzegamy jako mniejsze, niż są naprawdę. „Na ogół uważamy małe liczby za bardziej dokładne, zatem kiedy widzimy dużą liczbę, która jest dokładna, intuicyjnie wydaje się nam ona mniejsza niż w rzeczywistości”17. W konsekwencji, dodaje, jesteśmy skłonni zapłacić więcej za coś drogiego, jeśli cena nie jest okrągła. W jednym z eksperymentów Thomasa uczestnicy oglądali zdjęcia kilku domów wraz z ich cenami: były nimi losowo przypisane bądź to okrągłe liczby, takie jak 390 000 dolarów, bądź to nieco większe, lecz niezaokrąglone, takie jak 391 534 dolary. Zapytani, czy uważają podaną cenę za wysoką czy niską, średnio rzecz biorąc, badani oceniali ceny niezaokrąglone jako niższe od okrągłych, pomimo iż w istocie były one wyższe. Thomas i jego współpracownicy doszli do wniosku, że niezależnie od tego, jakiekolwiek inne przypuszczenia robili badani co do tego, dlaczego cena wyrażona jest nieokrągłą liczbą – na przykład, że sprzedający starannie ją przemyślał, a zatem jest uczciwsza – to i tak podświadomie niezaokrąglone liczby wydawały się im mniejsze. Stąd wypływa porada dla czytelników rozważających sprzedaż swojego domu: jeśli chcecie zrobić dobry interes, nie dawajcie ceny kończącej się zerem.

Wspominałem już o kulturowych konotacjach związanych z dodaniem jedynki do okrągłej liczby. Praktyka odejmowania jedynki od okrągłej liczby również ma dużą moc sugestywną.

Gdy patrzymy na jakąś liczbę, cyfra znajdująca się najbardziej na lewo oddziałuje na nas silniej niż ta najbardziej na prawo, ponieważ odczytujemy ją od lewej do prawej. Liczba 799 zdaje się nam znacznie mniejsza od 800, ponieważ tę pierwszą postrzegamy jako „7 i coś tam”, a drugą jako „8 i coś tam”, podczas 798 i 799 to praktycznie dla nas to samo. Od XIX wieku właściciele sklepów wykorzystują ten trik, stosując ceny kończące się na 9, aby sprzedawane przez nich produkty wydawały się tańsze. Badania rynkowe wykazują, że obecnie od jednej do dwóch trzecich wszystkich cen detalicznych kończy się dziewiątką.

Nawet będąc doświadczonymi klientami, wszyscy dajemy się oszukać. W 2008 roku grupa badaczy z Université de Bretagne Sud monitorowała miejscową pizzerię, w której podawano pięć rodzajów pizzy po 8 euro18. Gdy cenę jednej z pizz obniżono do 7,99 euro, jej udział w całkowitej sprzedaży wzrósł z jednej trzeciej do połowy. Okazało się, że zmiana ceny o jednego centa, nieznaczna z finansowego punktu widzenia, miała olbrzymi wpływ na wybór dokonywany przez klientów.

Jednakże nasza reakcja na ceny kończące się na 9 wynika z bardziej złożonych uwarunkowań niż zwracanie największej uwagi na cyfrę po lewej stronie. Cenę z dziewiątką na końcu odbieramy jako okazję, nawet jeżeli faktycznie nią nie jest19. Eric Anderson z University of Chicago i Duncan Simester z Massachusetts Institute of Technology (MIT) umieścili tę samą sukienkę w cenach 34, 39 i 44 dolary w trzech poza tym identycznych katalogach sprzedaż wysyłkowej. Okazało się, że sukienka sprzedawała się najlepiej za 39 dolarów, a nie za niższą cenę 34 dolarów. Podobne rezultaty otrzymano również w innych badaniach – końcowa dziewiątka w cenie traktowana jest jako oznaka, że dana rzecz została przeceniona, a zatem stanowi dobrą okazję. Z kolei skojarzenie dziewiątki z wyprzedażą może sprawić, że towar opatrzony taką ceną postrzegany jest jako tandetny, bądź też rodzić podejrzenie, iż sprzedający coś kręci. Właścicielowi luksusowej restauracji na przykład do głowy by nie przyszło wycenianie głównego dania na, powiedzmy, 22,99 funta. Nie wzbudzałby także zaufania terapeuta biorący 59,99 funta za wizytę. W takich wypadkach ceny będą zapewne wynosić odpowiednio 23 funty i 60 funtów, co jest znamieniem zarówno klasy, jak i uczciwości. Nasz stosunek do końcówki 9 wyznaczony jest przez wiele rozmaitych czynników natury kulturowej i psychologicznej. Liczby nie są czymś neutralnym i beznamiętnym, lecz niosą ładunek emocji.

Sklepikarze mają jeszcze inne powody, by używać cen kończących się dziewiątką, jak zresztą i ósemką. Testy wykazują, że ceny z końcówką 8 lub 9 są o wiele trudniejsze do przypomnienia sobie niż te z końcówką 0 lub 5, ponieważ naszemu mózgowi więcej czasu zajmuje ich wczytanie i zapamiętanie. Jeśli nie chcecie, by wasi klienci zapamiętali cenę, żeby potem porównywać ją z innymi, stosujcie końcówki 8 lub 9. I odwrotnie, jeśli właśnie chcecie, by klient pamiętał cenę, umacniając się w przekonaniu, że wasz produkt jest tańszy niż u konkurencji, napiszcie na metce £5, a nie £4,98. Sprzedający w istocie stosują całą gamę psychologicznych sztuczek z liczbami, by cena nie kłuła w oczy. Na przykład badanie przeprowadzone na Cornell University wykazało, że przez opuszczenie znaków waluty w menu – podawanie ceny dania jako 20, a nie $20 – jedna z nowojorskich restauracji zwiększyła średnią wartość rachunków płaconych przez gości o 8 procent20. Znak „$” uświadamia dolegliwość płacenia. Inną przemyślną strategią wykorzystywaną przy redagowaniu menu jest podawanie cen zaraz po nazwie dania, a nie w kolumnie po prawej stronie, ponieważ ceny ustawione jedna pod drugą łatwiej porównywać21. Chcecie przecież, by goście zamawiali to, na co mają ochotę, niezależnie od ceny, a nie widzieli od razu, które danie jest najdroższe.

Prawidłowy i nieprawidłowy układ menu.

Jednak bodaj najbardziej perfidnym zastosowaniem psychologii liczb w handlu jest wystawianie horrendalnie drogich przedmiotów, by stworzyć fałszywy punkt odniesienia. Auto za 100 000 funtów w salonie samochodowym czy też para butów za 10 000 funtów w witrynie sklepu obuwniczego zostały tam umieszczone nie dlatego, że właściciel sądzi, iż ktokolwiek je kupi, ale dla pozoru, by również bardzo drogi wóz za 50 000 funtów oraz buty za 5000 funtów wyglądały na tanie. Podobne wybiegi stosują supermarkety. Jesteśmy zaskakująco podatni na sugestie liczbowe przy podejmowaniu decyzji, nie tylko jako klienci. W ramach jednego z badań 52 niemieckim sędziom dano do przeczytania akta dziewczyny przyłapanej na kradzieży w sklepie, a następnie polecono rzucić parą kości podrasowanych tak, że każdorazowo wypadały 1 i 2 albo 3 i 622. Po wykonaniu rzutu sędziów proszono o zadeklarowanie, czy skazaliby oskarżoną na więcej, czy mniej miesięcy w więzieniu niż suma oczek, jaka im wypadła, a następnie określenie dokładnej wysokości wyroku. Sędziowie, którzy uzyskali 3, dawali jej średnio pięć miesięcy, podczas gdy ci, którzy uzyskali 9, dawali osiem miesięcy. Każdy z owych sędziów miał spore doświadczenie w orzekaniu, a pomimo to wyrzucona liczba, zupełnie bez związku z rozpatrywaną sprawą, wpłynęła na wydany przez niego wyrok.

Skoro nawet poważni niemieccy sędziowie sugerują się przypadkową liczbą, to co dopiero my wszyscy pozostali. Ilekroć postrzegamy jakąś liczbę, nastawia nas ona wewnętrznie, determinując nasze zachowanie w sposób, którego nie zawsze jesteśmy świadomi i który pozostaje poza naszą kontrolą.

Inną naszą reakcją na liczby jest umiłowanie. Gdy używamy naszych narzędzi numerycznych do liczenia, rachowania i określania ilości, często zaczynamy obdarzać je uczuciem. Na przykład Jerry Newport traktuje niektóre liczby jak przyjaciół. Jednak nie zdawałem sobie sprawy z siły naszej kolektywnej miłości do liczb, dopóki nie przeprowadziłem eksperymentu w sieci, prosząc internautów o wymienienie ulubionych liczb wraz z uzasadnieniem swojego wyboru23. Zaskoczył mnie nie tylko ogrom zainteresowania – w ciągu pierwszych kilku tygodni nadeszły odpowiedzi od ponad 30 000 osób – ale także rozmaitość i ujmujący charakter przytaczanych argumentów: 2 – ponieważ respondent ma ciało przekłute w dwóch miejscach; 6 – ponieważ szósta ścieżka na ulubionych albumach respondenta zawsze zawiera najlepszą piosenkę; 7,07 – ponieważ respondentka zazwyczaj budzi się siedem minut po siódmej, a raz jej rachunek za zakupy wyniósł 7,07 dolara u przystojnego kasjera w osiedlowym sklepie; 17 – ponieważ tyle minut zajmuje respondentowi ugotowanie ryżu; 24, ponieważ respondentka zwykła spać z lewą nogą wysuniętą na kształt czwórki, a jej chłopak śpi na boku ułożony w kształt dwójki; 73, znana fanom serialu Teoria wielkiego podrywu jako „Chuck Norris pośród liczb”, ponieważ jego główny bohater Sheldon Cooper wskazuje, że jest to dwudziesta pierwsza liczba pierwsza, podczas gdy jej lustrzane odbicie – 37 – jest dwunastą liczbą pierwszą; 83 – ponieważ doskonale nadaje się do przesadzania, na przykład: „Powtarzałem ci to chyba z 83 razy”; 101 – ponieważ jest najmniejszą symetryczną liczbą całkowitą; 120 – ponieważ jest podzielna przez 2, 3, 4, 5, 8 i 10, dzięki czemu respondent może ją przeliczać na rozmaite sposoby, aby usnąć; 159 – ponieważ tworzą ją cyfry po przekątnej na klawiaturze telefonu; 18912 – ponieważ jej rytmiczna kadencja czyni ją „najpiękniej brzmiącą liczbą na świecie”; oraz 142857 – liczba odradzająca się niczym feniks, ponieważ jej pierwszych sześć wielokrotności to uporządkowane numeryczne anagramy jej samej:

142857142857

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

142857 × 7 = 999999

„Posiadanie swojej ulubionej liczby oznacza, że czujemy dreszczyk podekscytowania za każdym razem, gdy usiądziemy akurat na miejscu nr 53 w pociągu albo zauważymy, że zegar pokazuje właśnie godzinę 9.53 – pisał jeden z respondentów. – Nie widzę żadnego powodu, by nie mieć ulubionej liczby”.

Biorąc poprawkę na to, że ankieta była dobrowolna i chętni do wzięcia udziału sami się zgłaszali – była to bardziej rozrywka aniżeli przeprowadzone z pełnym rygorem badanie naukowe – musimy przyznać, że jej wyniki dostarczyły fascynujących danych dotyczących tego, które liczby uznawane są za ulubione.

Przede wszystkim zakres liczb mających dla nas szczególne znaczenie jest doprawdy olbrzymi – ogółem przesłano 30 025 głosów na 1123 liczby. Głosowano na każdą liczbę całkowitą pomiędzy 1 i 100 oraz na 472 liczby pomiędzy 1 a 1000. Najmniejszą liczbą, na którą nie padł żaden głos, była 110. Czyżby była to najmniej lubiana liczba świata?

A oto końcowe zestawienie:

Miejsce

Liczba

Udział procentowy

1

7

9,7%

2 

3

7,5%

3 

8

6,7%

4 

4

5,6%

5

5

5,1%

6

13

5,0%

7

9

4,8%

8

6

3,4%

9

2

3,4%

10

11

2,9%

11

42

2,8%

12

17

2,7%

13

23

2,3%

14

12

2,2%

15

27

1,9%

16

22

1,5%

17

21

1,4%

18

π

1,4%

19

14

1,3%

20

24

1,2%

21

1 

1,2%

22

16

1,2%

23

10

1,2%

24

37

1,0%

25

0 

1,0%

26

19

0,9%

27

18

0,8%

28

e

0,7%

29

28

0,7%

30

69

0,6%

Najogólniej mówiąc, najbardziej lubimy liczby jednocyfrowe i im większa liczba, tym mniejszą ma szansę, by ktoś ją polubił. Tabela ta pokazuje również, że mamy zaskakująco chłodny stosunek do okrągłych liczb. Liczby od 2 do 9 wszystkie mieszczą się w pierwszej dziesiątce, lecz 10 jest dopiero na dwudziestym trzecim miejscu, 20 na pięćdziesiątym, a 30 na sześćdziesiątym dziewiątym. Dziesięć jest podstawą systemu dziesiętnego, lecz nie cieszy się naszą sympatią, być może dlatego, że tak często prostytuuje się jako przybliżenie.

Niektóre liczby wybierane są ze względu na swoje właściwości numeryczne, na przykład liczba feniks ze strony 33, podobnie jak stałe π i e, którym przyjrzymy się bliżej w dalszym ciągu tej książki. Zwykle jednak preferujemy jakąś liczbę z powodów osobistych, najczęściej dlatego, że jest to dzień miesiąca, w którym się urodziliśmy. Aczkolwiek rozróżnienie na powody numeryczne i osobiste nie jest zbyt ścisłe, ponieważ niektóre liczby rzadko są wybierane jako ulubione, nawet jeżeli ktoś się urodził w tym dniu. Jeśli, na przykład, urodziliście się dziesiątego dnia miesiąca, to jest sześć razy mniej prawdopodobne, że uznacie 10 za ulubioną liczbę, niż że wybierzecie 7, gdy urodziliście się siódmego. Jeśli urodziliście się trzydziestego, jest czterdzieści razy mniej prawdopodobne, że wybierzecie 30. Niektóre liczby ewidentnie bardziej nadają się do roli ulubionych od innych. (Jednym z powodów, dla których kwestia ulubionych liczb tak mnie zaintrygowała, jest to, że ja nie mam żadnej takiej liczby i wręcz trudno mi uwierzyć, że aż tylu ludzi traktuje je tak emocjonalnie. Teraz przynajmniej mogę tłumaczyć mój brak ulubionej liczby tym, że nie urodziłem się między drugim a dziewiątym dniem miesiąca).

Ankieta ta odzwierciedliła historycznie zaobserwowaną tendencję, że liczby nieparzyste bardziej przyciągają uwagę niż parzyste. Wśród zgłoszonych liczb z przedziału od 1 do 1000 stosunek preferowanych liczb nieparzystych do parzystych wyniósł mniej więcej 60:40. Tabela ta pokazuje też, iż żart Douglasa Adamsa, że liczba 42 jest odpowiedzią na pytanie o życie, Wszechświat i wszystko, co istnieje, wciąż jest zabawny po ponad trzech dziesięcioleciach od jego napisania (odwołuje się on do naszego kolektywnego postrzegania liczb – 42 śmieszy, ponieważ jest taka nijaka. Efekt komiczny byłby mniejszy, gdyby wybrał na przykład 41, która jest nieparzysta i pierwsza). Wystąpienie 69 pokazuje, że sztubackiego humoru nie da się wyeliminować z ankiet internetowych.

Siódemka zajęła niekwestionowane pierwsze miejsce. Wybierana była niezależnie od wieku, płci i poziomu matematycznej biegłości respondentów, co bynajmniej nie dziwi. Siedem ma największe kulturowe znaczenie od niepamiętnych czasów. Było już siedem cudów świata, siedem grzechów głównych, siedem okresów w życiu człowieka, siedem filarów mądrości, siedem narzeczonych dla siedmiu braci, siedem mórz, siedmiu samurajów i siedmiu krasnoludków. Babilońskie zigguraty miały siedem kondygnacji, Egipcjanie mówili o siedmiu bramach prowadzących do świata podziemi, wedyjski bóg słońca ma siedem rumaków, a muzułmanie podczas pielgrzymki hadż muszą obejść Al-Kabę siedmiokrotnie.

Najwcześniejszą rzeczą, jaką ludzie liczyli, był czas. Za pomocą nacięć na patykach i barwnych plam na skałach oznaczaliśmy upływające dni. Nasze pierwsze kalendarze oparte były na zjawiskach astronomicznych, takich jak nów Księżyca, co oznaczało, że liczba dni w każdym cyklu kalendarza była zmienna – w okresie od nowiu do nowiu wahała się między 29 a 30 dni, ponieważ dokładna długość cyklu księżycowego wynosi 29,53 dnia. W połowie pierwszego tysiąclecia przed naszą erą Żydzi wprowadzili nowy system, zarządzając, że szabas będzie przypadał co siedem dni, niezależnie od położenia ciał niebieskich24. Powtarzający się ad infinitum cykl siedmiodniowy był istotnym krokiem naprzód dla ludzkości, wyzwalając nas od ścisłego dopasowywania się do świata przyrody oraz wprowadzając numeryczną regularność jako podstawę praktyk religijnych i organizacji życia społecznego. Siedmiodniowy tydzień stanowi najdłuższą nieprzerwaną kalendarzową tradycję świata.

Ale dlaczego akurat siedem dni tygodnia? Siódemka miała już status najbardziej mistycznej z liczb w czasie, kiedy Żydzi zaczęli głosić, że Bóg stworzył świat w ciągu sześciu dni i kolejnego dnia odpoczywał. Wcześniejsze ludy również stosowały siedmiodniowe okresy w swoich kalendarzach, jakkolwiek nie powtarzały się one w nieskończoność. Najczęściej podawanym wyjaśnieniem wyróżnionej roli siódemki w religijnych kontekstach jest fakt, że w starożytności obserwowano siedem ciał na sferze niebieskiej: Słońce, Księżyc, Wenus, Merkurego, Marsa, Jowisza i Saturna. W istocie angielskie nazwy dni tygodnia – Saturday, Sunday i Monday – pochodzą od ciał niebieskich, jakkolwiek ich powiązanie z kolejnym dniami wywodzi się z czasów hellenistycznych, wieki całe po wprowadzeniu siedmiodniowego tygodnia. Jest swoistą ironią, że siedmiu dniom żydowskiego tygodnia – pierwszego systemu kalendarzowego uniezależniającego rachubę czasu od zjawisk na niebie – ostatecznie nadano nazwy od ciał niebieskich. Być może astrologiczne odniesienia dawały mu przewagę nad konkurencyjnymi systemami. Niektórzy historycy twierdzą, że okres siedmiu dni został wybrany dlatego, że stanowi mniej więcej czwartą część miesiąca księżycowego liczącego 29,53 dnia. Wszakże gdyby faktycznie kierowano się podzielnością, to bardziej precyzyjny byłby kalendarz, w którym miesiąc miałby pięć tygodni po sześć dni, sześć tygodni po pięć dni, a choćby i trzy tygodnie po dziesięć dni.

Egipcjanie zapisywali siedem następującym hieroglifem [ ], co nasuwa inne możliwe wytłumaczenie symbolicznej rangi tej liczby. W głowie jest siedem otworów – uszy, oczy, nozdrza i usta25. Ludzka fizjologia podsuwa jeszcze inne wyjaśnienia. Sześć dni może stanowić optymalny okres pracy, po którym potrzeba jednodniowego odpoczynku, bądź też siódemka jest wyróżniona dzięki pojemności naszej pamięci krótkotrwałej – przeciętny człowiek jest w stanie pamiętać jednocześnie o siedmiu rzeczach, plus minus dwa.

Żaden z powyższych powodów mnie nie przekonuje pomimo tych wszystkich zbieżności. Siódemka jest szczególna nie ze względu na ciała niebieskie, orbity czy otwory w głowie, lecz z powodów arytmetycznych. Wśród pierwszych dziesięciu liczb siedem jest jedyną liczbą, której nie da się pomnożyć ani podzielić w obrębie tej grupy. Po podwojeniu 1, 2, 3, 4 i 5 wynik jest równy lub mniejszy od dziesięciu. Liczby 6, 8 i 10 można podzielić na połowę, a 9 jest podzielne przez trzy. Z liczb, które możemy policzyć na palcach ręki, jedynie 7 odstaje od pozostałych – nie powstaje przez ich pomnożenie ani nie da się podzielić. Nic dziwnego zatem, że postrzegamy ją jako szczególną, bo ona faktycznie jest szczególna!

Psycholodzy od dziesiątków lat badają, na czym polega wyjątkowy charakter siódemki26. Ludzie poproszeni o podanie jakiejś cyfry z głowy najczęściej wymieniają 7, a jeśli poleci im się pomyśleć jakąś liczbę pomiędzy 1 a 20, większość wybiera 17. Podświadoma skłonność ku liczbom kończącym się na 7 jest tak silna, że dała asumpt do klasycznej sztuczki polegającej na tym, że magik prosi kogoś na ochotnika z widowni, by pomyślał sobie jakąś dwucyfrową liczbę nieparzystą o niejednakowych cyfrach nie większą niż 50 (zatem 15 jest dopuszczalne, lecz 11 nie), i prawidłowo odgaduje, że ta osoba pomyślała sobie… liczbę podaną w przypisie na tej stronie27. Spróbujcie sami powiedzieć, jaka to liczba, zanim tam zajrzycie28. Psycholodzy Michael Kubovy i Joseph Psotka twierdzą, że poproszeni o podanie losowej liczby badani wykluczają te, które wydają im się zbyt regularne – liczby parzyste, wielokrotności trzech oraz 0, 1 i 5, ponieważ wypadają na początku lub w środku cyklu. Siódemka jest najbardziej spontaniczna – jako liczba nieparzysta, nieokrągła i pierwsza.

Ulubiona liczba musi być na swój sposób wyjątkowa. Nie ma lepszego wyboru niż siedem – absolutny odmieniec.

Liczby wyrażają ilości. Jednakże w odpowiedziach na moją internetową ankietę respondenci niejednokrotnie przypisywali im jakości, zwłaszcza kolory. Liczbą, której najczęściej przypisywano posiadanie barwy, było cztery (52 głosy), przy czym najwięcej osób (17) twierdziło, że jest ona niebieska. Siedem zajęło drugie miejsce (28 głosów) – najwięcej respondentów (9) przypisało mu barwę zieloną; natomiast na trzecim miejscu było pięć (27), przez największą liczbę osób (9) uznane za czerwone. Postrzeganie barwy liczb jest przejawem synestezji, zjawiska polegającego na tym, że pewne bodźce wywołują wrażenia na pozór niemające z nimi żadnego związku; uważa się je za konsekwencję nietypowych powiązań pomiędzy obszarami mózgu.

W ramach ankiety liczby były również opisywane jako „ciepłe”, „szeleszczące”, „rozczarowujące”, „spokojne”, „nazbyt pewne siebie”, „soczyste”, „ciche” i „szorstkie”. Każdy z tych opisów z osobna jest niedorzeczny, lecz zestawione razem układają się w zaskakująco spójny obraz „osobowości” poszczególnych liczb. Poniżej przedstawiam listę liczb od 1 do 13 wraz ze słowami, jakimi określali je ankietowani:

Jeden

Niezależna, silna, uczciwa, dzielna, szczera, pionierska, samotna.

Dwa

Ostrożna, mądra, ładna, krucha, życzliwa, cicha, czysta, elastyczna.

Trzy

Dynamiczna, ciepła, przyjazna, ekstrawertyczna, obfita, zrelaksowana, pretensjonalna.

Cztery

Wyluzowana, awanturnicza, konkretna, solidna, wszechstronna, praktyczna, przystojna.

Pięć

Zrównoważona, zasadnicza, urocza, gruba, dominująca, ale nie za bardzo, szczęśliwa.

Sześć

Optymistyczna, seksowna, gibka, miękka, silna, dzielna, autentyczna, odważna, skromna.

Siedem

Magiczna, niezmienna, inteligentna, niezgrabna, nazbyt pewna siebie, męska.

Osiem

Miękka, kobieca, miła, rozsądna, gruba, solidna, zmysłowa, zachęcająca do przytulenia się, kompetentna.

Dziewięć

Cicha, dyskretna, zabójcza, bezpłciowa, profesjonalna, miękka, wyrozumiała.

Dziesięć

Praktyczna, logiczna, schludna, krzepiąca, uczciwa, nieugięta, niewinna, poważna.

Jedenaście

Obłudna, onomatopeiczna, szlachetna, mądra, przytulna, śmiała, nieugięta, wytworna.

Dwanaście

Podatna na wpływy, heroiczna, imperialna, dębowa, pobłażliwa, niekonfrontacyjna.

Trzynaście

Niezdarna, przejściowa, kreatywna, uczciwa, enigmatyczna, odmienna, czarny koń.

Nie trzeba być scenarzystą hollywoodzkich filmów, by zauważyć, że pan Jeden mógłby grać wielkiego romantycznego bohatera, a panna Dwa nadawałaby się do klasycznej głównej roli kobiecej. Lista ta, choć na pierwszy rzut oka pozbawiona sensu, ma w sobie pewną logikę. Powiązanie jedynki z cechami męskimi, a dwójki z żeńskimi jest ewidentnie głęboko wpojone.

Ponieważ ankieta na temat ulubionych liczb była dobrowolna, wzięli w niej udział przede wszystkim ci, którzy mieli już wyrobiony stosunek emocjonalny do liczba. A co z innymi?

Weźmy na przykład liczbę 44.

Lubicie ją? Nie lubicie jej? Czy też pozostaje wam ona obojętna?

Dan King i Chris Janiszewski, profesorowie, których poznaliśmy wcześniej przy okazji omawiania szamponu Zinc 24, przeprowadzili eksperyment, w którym wszyscy uczestnicy mieli określić dla każdej z liczb od 1 do 100, czy ją lubią, nie lubią, bądź jest im ona obojętna29. Następnie uszeregowano liczby od najbardziej do najmniej lubianych.

Odpowiedzi pokazały, że pytanie to nie jest bynajmniej absurdalne. W naszym stosunku do liczb uwidaczniają się wyraźne regularności, o czym świadczy przedstawiony na rysunku „rozkład temperatury uczuć”, w którym liczby od 1 do 100 reprezentowane są w postaci kratek. (Pierwszy rząd kratek od góry to liczby od 1 do 10, drugi – od 11 do 20 itd.) Liczby oznaczone czarnymi kratkami to te, które są „najbardziej lubiane” (górna dwudziestka w rankingu), białe kratki to „najmniej lubiane” (dolna dwudziestka), a kratki o różnym odcieniu szarości odpowiadają przypadkom pośrednim.

Powyższy rozkład temperatury uczuć uwidacznia wyraźne trendy. Czarne kratki skupiają się głównie w górnej części, co świadczy o tym, że małe liczby należą do najbardziej lubianych. Opadająca ciemna linia po przekątnej pokazuje też dużą atrakcyjność liczb dwucyfrowych o jednakowych cyfrach. Lubimy regularności. Jednak najbardziej zaskakujące są cztery białe kolumny wskazujące na niepopularność liczb zakończonych na 1, 3, 7 i 9. Zdaniem Kinga i Janiszewskiego, jak już wspominałem, dzieje się tak dlatego, że liczby, które często spotykamy w życiu codziennym, na przykład w rozkładach jazdy, są nam bliższe, łatwiej je rozpoznajemy i dlatego bardziej lubimy. Parzyste i te zakończone na 5 zawsze da się podzielić, natomiast liczb kończących się na 1, 3, 7 i 9 często nie.

W ramach podobnego eksperymentu Marisca Milikowski z Uniwersytetu w Amsterdamie poprosiła uczestników o uszeregowanie liczb z przedziału od 1 do 100 według trzech kryteriów: od najlepszej do najgorszej, od najcięższej do najlżejszej i od najbardziej do najmniej ekscytującej. I w tym przykładzie przypisywania liczbom niematematycznych treści odpowiedzi okazały się zaskakująco spójne30. Uzyskane w tym badaniu wyniki przedstawiłem w postaci rozkładów kratkowych.

Trendy są ewidentne. Białe kolumny w rozkładzie „dobra” świadczą o tym, że liczby zakończone na 3, 7 i 9 są najgorsze, co raczej nie zaskakuje, bo już poprzednio dowiedzieliśmy się, że je najmniej lubimy. W rozkładzie „ciężkości” czarne kratki skupiają się u dołu, co wskazuje na to, że im większa liczba, tym częściej uważana za cięższą. Trend w rozkładzie „ekscytacji” nie jest dostrzegalny na pierwszy rzut oka, lecz po bliższym przyjrzeniu się zauważamy, że kolumny kończące się liczbą nieparzystą są ciemniejsze niż kończące się liczbą parzystą. Liczby nieparzyste są ekscytujące, a parzyste banalne. Z łatwością nadajemy liczbom niematematyczne atrybuty, które powiązane są z ich właściwościami numerycznymi, głównie wielkością i podzielnością.

Rozkład u dołu po lewej to wyniki mojej opisanej wcześniej ankiety dotyczącej ulubionych liczb, z górną dwudziestką zaznaczoną na czarno i tak dalej. Rozkład u dołu po prawej obrazuje wyniki innej ogłoszonej przeze mnie ankiety internetowej, w której uczestnicy mieli wymienić pierwszą liczbę z przedziału od 1 do 100, jaka im się nasunie. Dwadzieścia najczęściej zgłaszanych liczb pokazanych jest jako czarne kratki. Co ciekawe, oba te rozkłady są do siebie podobne – poproszeni o podanie zarówno liczby, którą najbardziej lubimy, jak i takiej, która przyjdzie nam do głowy, na ogół zgłaszamy te same kandydatury. Wbrew intuicji nasze ukochane liczby zasadniczo nie pokrywają się z tymi, które najbardziej lubimy, ani z liczbami, które uważamy za najlepsze. Lubienie to zupełnie co innego niż miłość.

Gdy po raz pierwszy zobaczyłem te rozkłady, od razu pomyślałem o Jerrym Newporcie, mistrzu świata w rachowaniu w głowie i byłym taksówkarzu, którego odwiedziłem w Arizonie. Jerry powiedział mi, że kiedy tylko zobaczy cztero- lub pięciocyfrową liczbę, z miejsca „odsiewa” liczby pierwsze. Innymi słowy, najpierw sprawdza, czy daną liczbę da się podzielić przez 2, następnie przez 3, a potem przez 5, 7, 11 i tak dalej, aby rozłożyć ją jednoznacznie na czynniki pierwsze.

Jak już wiemy:

2761 = 11 × 251

2762 = 2 × 1381

2763 = 3 × 3 × 307

Pokazane rozkłady uświadomiły mi, że wszyscy odsiewamy liczby pierwsze. Na następnym rysunku widzimy te same rozkłady z zaznaczonymi na nich liczbami pierwszymi. Przecież one wyglądają jak sita! W diagramach „Lubiane” i „Dobre” liczby pierwsze występują niemal dokładnie w białych kratkach, jak gdyby wpadły przez oka drucianej siatki. I odwrotnie, większość liczb pierwszych w diagramach „Ekscytujące”, „Ukochane” i „Pomyśl jakąś liczbę” przypada w czarnych i ciemnoszarych kratkach, jak gdyby było to wychwytujące je sito. Liczby pierwsze stanowią istotne elementy naszego wewnętrznego krajobrazu liczbowego, nie tylko dla sawantów w rodzaju Jerry’ego Newporta, lecz także dla nas wszystkich. Nasze mózgi są przez cały czas nastawione na rachowanie.

Liczby narzucają się nam nieustannie przez cały dzień. Krzyczą z zegarów, telefonów, stron gazet, monitorów komputerowych, znaków drogowych, etykiet cenowych, przystanków autobusowych, adresów, tablic rejestracyjnych, billboardów i książek. Jak się przekonaliśmy w tym rozdziale, niestrudzenie dźgają nasze neurony. A kiedy przyjrzymy się im dokładniej, dostrzegamy zdumiewające rzeczy.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

Wstęp

ROZDZIAŁ PIERWSZY. Każda liczba opowiada swoją historię

ROZDZIAŁ DRUGI. Długi ogon prawa

ROZDZIAŁ TRZECI. Miłość do trzech kątów

ROZDZIAŁ CZWARTY. Rzecz o konusach

ROZDZIAŁ PIĄTY. Pójdźmy w obroty

ROZDZIAŁ SZÓSTY. Wszystko o e

ROZDZIAŁ SIÓDMY. Pozytywna moc myślenia negatywnego

ROZDZIAŁ ÓSMY. Profesor Calculus

ROZDZIAŁ DZIEWIĄTY. Tytół tego rozdziału zawiera tszy błendy

ROZDZIAŁ DZIESIĄTY. Komórkowe towarzystwo

Słowniczek

Dodatek 1

Dodatek 2

Dodatek 3

Dodatek 4

Dodatek 5

Dodatek 6

Dodatek 7

Dodatek 8

Internet

Podziękowania

1 Każdą liczbę całkowitą da się jednoznacznie wyrazić jako iloczyn liczb pierwszych. Na przykład liczbę 2763 można rozłożyć na 3 × 3 × 307 i jest to jedyny zestaw liczb pierwszych, który po pomnożeniu przez siebie daje 2763. Teza, że każdą liczbę naturalną da się rozłożyć na jednoznaczną kombinację podzielników będących liczbami pierwszymi, nazywana jest fundamentalnym twierdzeniem arytmetyki.

2 Najsłynniejszy przykład zademonstrowania zdolności rachunkowych przez sawantów (terminem tym określa się osoby z zaburzeniami psychicznymi należącymi do spektrum autyzmu, które wykazują fenomenalne zdolności w jakiejś dziedzinie) również dotyczył liczb pierwszych. W książce Człowiek, który pomylił swoją żonę z kapeluszem Oliver Sacks przytacza historię dwóch amerykańskich bliźniaków Johna i Michaela, którzy grali w grę polegającą na wymyślaniu sześciocyfrowych liczb. Pisze, że przypominali przy tym „dwóch koneserów win, którzy natrafili podczas degustacji na rzadki bukiet i napawają się nim”. Gdy Sacks sprawdził te liczby, stwierdził, że wszystkie są liczbami pierwszymi. Postanowił zatem podnieść poprzeczkę, proponując wymyślenie ośmiocyfrowej liczby pierwszej. Natchnęło to bliźniaków do przerzucania się coraz to większymi liczbami pierwszymi, by po godzinie dojść do dwudziestocyfrowych – choć badacz nie miał już możliwości zweryfikować, czy są to faktycznie liczby pierwsze (nie należy mylić Johna i Michaela z „bliźniaczymi liczbami pierwszymi” – tym terminem określa się liczby pierwsze, które, tak jak 29 i 31, różnią się o dwa).

Allan W. Snyder z Uniwersytetu Sydney jest przekonany, że wszyscy ludzie posiadają struktury mózgowe pozwalające im wykonywać skomplikowane obliczenia na wzór sawantów, jednak ze względu na specyfikę funkcjonowania naszego mózgu dostęp do nich jest utrudniony. Za pomocą eksperymentów Snyder wykazał, że wykonywanie operacji matematycznych „w pamięci” da się znacząco usprawnić dzięki oddziaływaniu na mózg ludzki słabym prądem elektrycznym (metoda ta nosi nazwę „przezczaszkowej stymulacji stałoprądowej”). Zgodnie z proponowanym przez niego wyjaśnieniem prąd elektryczny tymczasowo upośledza aktywność połączeń neuronowych, budząc sawanta w każdym z nas. Jakkolwiek badania Snydera stały się przedmiotem kontrowersji, podobne rezultaty uzyskano również na innych uniwersytetach.

3 Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, Nowy Jork 2000.

4 Vincent F. Hopper, Medieval Number Symbolism, Columbia University Press, Nowy Jork 1938.

5 Angielskie słowo odd (dziwny, nieparzysty) pochodzi od skandynawskiego oddr – włócznia. Od kształtu włóczni wzięło się również staroislandzkie oddi – trójkąt lub półwysep (Oddi to także nazwa szkoły kościelnej na południu Islandii, gdzie w XII wieku żył wielki islandzki poeta i historyk Snorri Sturluson; obecnie stanowi ona atrakcję turystyczną). Właśnie ze względu na trójkąt słowo odd zaczęło oznaczać niesparowanego członka grupy trzech ludzi, a później dowolnej grupy. (Źródło: Oxford English Dictionary, oraz Anatoly Liberman, Oxford University Press, blog.oup.com/category/language-words/oxford_etymologist/).

6 W przekładzie Leona Ulricha.

7 Yutaka Nishiyama, Odd and Even Number Cultures, „Mathematics for Scientists” 2005.

8 Yutaka Nishiyama, Why ¥2000 notes are unpopular, „Osaka Keidai Ronshu” 2012, t. 62, nr 5.

9 Lee C. Simmons, Robert M. Schindler, Cultural Superstitions and the Price Endings Used in Chinese Advertising, „Journal of International Marketing” 2003.

10 Terence M. Hines, An odd effect: Lengthened reaction times for judgements about odd digits, „Memory & Cognition” 1990.

11 James E. B. Wilkie, Galen V. Bodenhausen, Are numbers gendered?, „Journal of Experimental Psychology: General” 2012.

12 Późniejsze badania Jamesa E.B. Wilkie, jak dotąd nieopublikowane, pokazują, że kobiety są bardziej podatne na skojarzenia z liczbami niż mężczyźni.

13 Vincent F. Hopper, Medieval Number Symbolism, Columbia University Press, Nowy Jork 1938.

14 Spinal Tap – fikcyjny zespół heavymetalowy, o którym w 1984 roku nakręcono pseudodokumentalny film This is Spinal Tap, stanowiący satyrę na estradowe zachowania, wygląd i buntownicze nastawienie popularnych zespołów z nurtu heavy metal i hard rock.

15 W powieści 1984 George’a Orwella pokój 101 to sala tortur w Ministerstwie Miłości (przyp. tłum.).

16 Dan King, Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, „Journal of Marketing Research” 2011.

17 Manoj Thomas, Daniel H. Simon, Vrinda Kadiyali, The Price Precision Effect: Evidence from Laboratory and Market Data, „Marketing Science” 2010.

18 Nicolas Guéguen et al., Nine-ending prices and consumers behavior: A field study in a restaurant, „International Journal of Hospitality Management” 2009.

19 William Poundstone, Priceless, Oneworld, Oksford 2010.

20 Sybil S. Yang, Sheryl E. Kimes, Mauro M. Sessarego, $ or Dollars: Effects of Menu-price Formats on Restaurant Checks, „Cornell Hospitality Report” 2009.

21 W restauracjach najpowszechniejszym przykładem tego, jak kolumna liczb w menu sprzyja dokonywaniu wyboru na podstawie ceny, a nie jakości, jest skłonność gości do zamawiania przedostatniej pod względem ceny butelki wina. Kupienie najtańszego wina mogłoby być poczytane za skąpstwo, zwłaszcza podczas romantycznej kolacji. Dlatego wiele restauracji ustala najwyższą marżę właśnie dla tej pozycji w liście win.

22 Birte Englich, Thomas Mussweiler, Fritz Strack, Playing Dice With Criminal Sentences: The Influence of Irrelevant Anchors on Experts’ Judicial Decision Making, „Personality and Social Psychology Bulletin” 2006.

23 Moja ankieta internetowa favouritenumber.net wystartowała w 2011 roku. Na jej stronie znajdowały się krótki opis oraz dwa zdania: „Moja ulubiona liczba to…” i „Wybieram tę liczbę, ponieważ…”. Respondenci mogli odpowiedzieć słownie lub po prostu wpisać liczby. Wyniki, o których mowa w tej książce, oparte zostały na pierwszych 33 516 odpowiedziach, z których 3491 było nieprawidłowych lub pustych. W momencie oddawania tej książki do druku całkowita liczba respondentów przekroczyła 42 000.

24 Eviatar Zerubavel, The Seven Day Circle, Free Press, Nowy Jork 1985.

25 Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, Nowy Jork 2000.

26 Michael Kubovy, Joseph Psotka, The predominance of seven and the apparent spontaneity of numerical choices, „Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance” 1976.

27 Między 1 a 50 istnieje zaledwie osiem dwucyfrowych liczb nieparzystych o niejednakowych cyfrach, przy czym liczba 15 wymieniona jest w opisie zadania, zatem jest nieprawdopodobne, by została wybrana przez respondenta. Autorzy książki The Psychology of the Psychic (Prometheus Books, Buffalo 1980), David Marks i Richard Kammann, wypróbowali tę sztuczkę na studentach psychologii podczas prowadzonych przez siebie zajęć i ponad jedna trzecia z nich wybrała 37. Wyniki rozłożyły się następująco: 37 (35%), 35 (23%), 17 (10%), 39 (10%), 19 (9%), 31 (5%), 13 (5%), inne liczby (3%).

28 Najczęściej liczbą tą jest 37.

29 Dan King, Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, „Journal of Marketing Research” 2011.

30 Marisca Milikowski, Knowledge of numbers: A study of the psychological representation of the numbers 1–100, praca doktorska, Uniwersytet w Amsterdamie, 1995.