Spis treści

- Od autora

- 1. Czym jest logika?

- 2. Język formalny – zdania

- 3. Tautologie

- 4. Reductio ad absurdum

- 5. Wynikanie logiczne

- 6. Dedukcja naturalna

- 7. Język formalny – kwantyfikatory

- 8. Negowanie trudnych wyrażeń

- 9. Tradycyjna logika nazw

- 10. Sylogizmy kategoryczne

- 11. Logiki nieklasyczne

- 12. Pułapki językowe

- 13. Definicje

- 14. Problem prawdy

- 15. Twierdzenie Gödla

- 16. Rozwiązania i odpowiedzi

Wszystkie rozdziały dostępne w pełnej wersji książki.

Okładka, karty tytułowe

URSZULA KACZYŃSKA

Redakcja i korekta

ZESPÓŁ

Redaktor techniczny

ANDRZEJ MIREK

© Copyright by Wydawnictwo WIEDZA POWSZECHNA Warszawa 2014

Wszelkie prawa zastrzeżone. Każda reprodukcja lub adaptacja całości bądź części niniejszej publikacji, niezależnie od zastosowanej techniki reprodukcji (drukarskiej, fotograficznej, komputerowej i in.), wymaga pisemnej zgodyWydawcy.

Wydawnictwo WIEDZA POWSZECHNA

Al. Bohaterów Września 9 02-389 Warszawa

Tel. 22 720 06 10

Email: kontakt@wiedza.pl

Księgarnia wysyłkowa

Tel. 22 720 06 10

Email: sklep@wiedza.pl

www.wiedza.pl

ISBN 978-83-63556-57-0

Skład wersji elektronicznej:

Virtualo Sp. z o.o.

Od autora

Książka przeznaczona jest dla osób, które z logiką spotykają się po raz pierwszy. Do zrozumienia jej treści nie jest wymagana żadna wiedza wstępna. Zawarty w niej materiał obejmuje tematykę poruszaną w trakcie typowych zajęć na różnych kierunkach studiów, w różnych typach uczelni. Wybrane zagadnienia mogą również zainteresować uczniów szkół średnich. Stawiając sobie za cel przede wszystkim szybkie wprowadzenie w logikę formalną, przedstawiam jej najważniejsze pojęcia i ich podstawowe własności. Nie wszystkie z tych pojęć są proste. W ich właściwym zrozumieniu pomocne będzie rozwiązywanie zadań zamieszczonych w poszczególnych rozdziałach. Jeśli książka obudzi w Czytelniku zainteresowanie logiką jako dyscypliną naukową, to zachęcam do lektury pozycji bardziej zaawansowanych, których tytuły można znaleźć na końcu większości rozdziałów.

1. Czym jest logika?

[…] logik potrafi wyjaśnić ludziom, dlaczego rozumują błędnie albo poprawnie, a to nie jest błahe. Natomiast oczywiście logik nie mówi, co jest dobre albo złe, co jest sprawiedliwe albo niesprawiedliwe, czy jest Bóg, czy Go nie ma, czy anioły istnieją, czy też nie.

Leszek Kołakowski

Logika formalna jest nauką, która zajmuje się analizą poprawności rozumowań. Rozumowaniami szczególnie dla nas interesującymi będą wnioskowania. Przez wnioskowanie rozumiemy uznawanie pewnych sądów (wniosków) na postawie innych uznanych sądów (przesłanek). Zadaniem logika jest zatem udzielanie odpowiedzi na pytanie, czy wnioski wyciągane są z przesłanek w sposób poprawny czy nie. Warunki owej poprawności są ściśle określone.

Nasze rozważania zacznijmy od przykładu, bez którego nie może się obejść żaden dobry podręcznik logiki.

Wszyscy ludzie są śmiertelnikami.

Sokrates był człowiekiem.

(a zatem) Sokrates był śmiertelnikiem.

W tym przykładzie przesłankami są pierwsze dwa zdania, a wnioskiem jest trzecie. Czy wniosek wynika z przesłanek? Oczywiście, tak. Pierwsza przesłanka przypisuje pewną cechę każdemu człowiekowi. Wnioskujemy więc, że Sokrates również musi mieć tę cechę, bo na mocy drugiej przesłanki, jest jednym z tych, którym ta cecha jest przypisana. Rozważmy inny przykład.

Wszystkie bogate państwa mają duże armie.

Polska jest bogatym państwem.

(a zatem) Polska ma dużą armię.

Przykład ten może budzić pewne wątpliwości. Czy to prawda, że bogate państwa mają duże armie? (A co ze Szwajcarią, Norwegią?) Czy Polska jest bogatym państwem? Czy ma dużą armię? W pierwszym przykładzie prawdziwość przesłanek i wniosku była oczywista. Jeśli chodzi zaś o przykład drugi, intuicja podpowiada nam, aby zgodzić się z tak otrzymanym wnioskiem. Porównując ten przykład z poprzednim, dostrzegamy daleko idącą analogię. Okazuje się, że możemy przeprowadzić podobne uzasadnienie jak poprzednio i powinno ono nas usatysfakcjonować również w tym przypadku. Z formalnego punktu widzenia oba przykłady ilustrują ten sam sposób rozumowania.

Podstawowe kryterium poprawności wnioskowań dotyczy zależności prawdziwości wniosku od prawdziwości przesłanek. Nie jest więc ważna prawdziwość przesłanek i wniosku w ogóle, lecz kwestia, czy założenie prawdziwości przesłanek prowadzi do prawdziwości wniosku. W powyższym przykładzie nie jest istotne to, czy Polska jest bogatym państwem i czy bogate państwa mają duże armie, lecz fakt, że jeśli uznamy te założenia za prawdziwe, to również za prawdziwy musimy uznać wniosek, że Polska ma dużą armię. Ten rodzaj zależności jednego zdania od innych decyduje o związku logicznego wynikania. Osoba posiadająca umiejętność logicznego myślenia zawsze oceni powyższe rozumowanie jako poprawne, nawet jeśli nic nie będzie wiedzieć o Polsce, bogatych państwach i ich uzbrojeniu.

W miejsce Polski w powyższym przykładzie można zatem wstawić Lailonię i przed wyciągnięciem wniosku, że państwo to ma dużą armię, nie powstrzyma nas fakt, że nie wiemy, czy Lailonia w ogóle istnieje. Rację ma więc Leszek Kołakowski twierdząc, że logika nie interesują prawdy absolutne. Logik stawia pytanie, co wystarczy uznać za prawdę, aby otrzymać jako wniosek rozpatrywaną wypowiedź, oraz co z przyjętej za prawdę wypowiedzi w sposób niezawodny wynika.

Silną stroną logicznej analizy rozumowań jest jej ogólność. Przykłady wnioskowań dotyczące Sokratesa oraz bogatych państw podpadają pod ten sam ogólny (choć nie „zbyt” ogólny) schemat rozumowania. Można sobie wyobrazić tysiące innych wnioskowań, dotyczących rozmaitych dziedzin życia, które również podpadają pod ten schemat. Za każdym razem wniosek będzie wynikał z przesłanek z tego samego powodu. Powodem tym jest formalna poprawność ogólnego schematu, to jest fakt, że schemat ów zawsze prowadzi od prawdziwych przesłanek do prawdziwego wniosku. W dalszych rozdziałach poznamy wiele różnych schematów wnioskowań i naszym zadaniem będzie rozstrzyganie, czy są one poprawne, czy nie.

Człowieka rozumującego logicznie, choć niekoniecznie świadomego stosowanych schematów, prawdziwe przesłanki zawsze doprowadzą do prawdziwych wniosków. A zatem, gdy ktoś otrzymuje wniosek ewidentnie fałszywy, oznacza to, że albo ów ktoś rozumuje w oparciu o niepoprawny schemat, albo przynajmniej jedna z przesłanek jest fałszywa. W pierwszym przypadku popełnia błąd formalny (rozumuje nielogicznie), w drugim – błąd materialny. Unikania pierwszego powinna uczyć nas logika, drugiego – doświadczenie i wiedza o świecie.

Zaskakującym może się wydać fakt, że z przesłanek fałszywych można logicznie otrzymać wniosek prawdziwy. Świadczy o tym następujący przykład.

Kopernik był Francuzem.

Wszyscy Francuzi są Europejczykami.

(a zatem) Kopernik był Europejczykiem.

Takie wnioskowania nie są jednak ciekawe. Nauka polega na odkrywaniu pewnych prawd na podstawie innych prawd. Fałsz jako punkt wyjścia nie interesuje więc naukowców, ponieważ oprócz tego, że daje nietrafny opis świata, można z niego wywnioskować za dużo – zarówno fałsz, jak i prawdę.

Metoda oceny poprawności wnioskowań za pomocą pojęć prawdy i fałszu nazywana jest metodą semantyczną. Będzie ona głównym tematem rozdziału „Wynikanie logiczne”.

Oprócz metody semantycznej istnieje inny sposób badania poprawności formalnej, polegający na sprawdzaniu, czy kształt wypowiedzi, która jest wnioskiem, daje się otrzymać poprzez zmiany kształtu przesłanek. Zmiany te możliwe są jedynie przy użyciu ściśle określonych reguł „gramatycznych”. Taka metoda nosi nazwę syntaktycznej i bardziej szczegółowo poznamy ją w rozdziale „Dedukcja naturalna”.

Namiastką metody syntaktycznej jest pewna zabawa językowa, która polega na przekształcaniu jednych słów w inne za pomocą dwóch reguł. Pierwsza z nich pozwala za każdym razem zmienić tylko jedną literę. Druga nakazuj e, aby za każdym razem otrzymać słowo w języku polskim (w dowolnej formie gramatycznej).

Dla przykładu, przekształćmy zgodnie z tymi regułami słowo „worek” w słowo „banan” oraz słowo „słowo” w słowo „ikona”.

WOREK

SŁOWO

BOREK

SŁONO

BAREK

SŁONA

BARAK

SKONA

BARAN

IKONA

BANAN

Dwa przedstawione szkicowo podejścia do tego samego problemu ilustrują z grubsza przedmiot logiki formalnej. Możemy zatem stwierdzić, że jednym z jej głównych zadań jest dostarczanie różnorodnych środków technicznych służących analizie poprawności wnioskowań. Opowiemy o niektórych z nich, choć nie wyczerpiemy nawet części tematu.

Logika formalna to dziś potężna gałąź nauki. Jej początki sięgają starożytności (Arystoteles, stoicy), ale prawdziwy jej rozkwit zapoczątkował działający dopiero na przełomie XIX i XX w. niemiecki matematyk i filozof Gottlob Frege. Warto podkreślić, że szczególne zasługi dla rozwoju logiki mieli Polacy. W okresie międzywojennym jej fundamenty tworzyli: Jan Łukasiewicz, Alfred Tarski i Adolf Lindenbaum. Po wojnie logicy Andrzej Mostowski, Jerzy Łoś, Roman Suszko i Andrzej

Grzegorczyk kontynuowali dzieło, czyniąc z logiki iście polską specjalność.

Zadania

1. Za pomocą dwóch podanych wyżej reguł przekształć następujące słowa:

ZIMA w LATO

MEWA w KOSA

LAWA w POLE

LECZO w MORZE

ŻYCIE w GACEK

RYBKA w PALTO

WODA w WINO

2. Znajdź inne przykłady możliwie długich słów i przekształć je tak, aby zmienić każdą z występujących w nich liter.