Tytuł oryginału

EASY AS PI

MATHS MADE SIMPLE

Copyright © Liz Strachan, 2017

All rights reserved

Projekt okładki

Copyright © Bekki Guyatt – LBBG

Ilustracje © Steven Appleby

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Małgorzata Denys

ISBN 978-83-8123-838-0

Warszawa 2018

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Gintrowskiego 28

www.proszynski.pl

Wstęp

Gdy po raz pierwszy zobaczyliście tytuł tej książki, być może pomyśleliście, że jest w nim jakiś błąd. Jednak tak właśnie ma być – Proste jak pi. Ale cóż to jest owo pi?

Weźmy taśmę mierniczą i jakiekolwiek okrągłe naczynie – wazon na kwiaty jest tu idealny. Dokonajmy pomiaru wzdłuż jego brzegu (matematycy nazywają to obwodem i oznaczają literą O), a następnie w poprzek w najszerszym miejscu wazonu – będzie to średnica, oznaczana jako φ. Za pomocą kieszonkowego kalkulatora lub w swojej komórce podzielcie O przez φ. Otrzymacie trójkę z mnóstwem miejsc dziesiętnych. Jeśli pierwszym miejscem dziesiętnym jest 1 lub 2, zmierzyliście dobrze. W ten sposób zetknęliście się ze szczególną liczbą, którą matematycy nazywają pi i oznaczają grecką π, aby uczynić ją nieco bardziej tajemniczą.

O pi powiemy więcej w dalszej części książki, a tymczasem przekonajmy się, że matematyka to naprawdę dobra zabawa.

Bardzo ważne nic

0, czyli zero, to bardzo ważna liczba. Używamy jej przez cały czas w naszych obliczeniach. A jednak Grecy, tworząc doskonałą geometrię, obywali się bez niej, a Rzymianom wystarczały ich M, D, C, L, X, V i I. W Europie nie znano zera aż do średniowiecza. Dotarło ono do niej po wielu wiekach i przekroczeniu licznych granic. Gdy zaś w końcu włoski matematyk Fibonacci posłużył się zerem w swojej książce Liber abaci (Księga rachunków), stanowiło to doniosły moment w historii matematyki.

Zero oczywiście jest liczbą samą w sobie, ale używane jest również jako cyfra do zapisywania innych liczb w systemie pozycyjnym, co pozwala wyraźnie odróżnić na przykład 35 od 3005.

Zdaniem niektórych zero nie jest ani parzyste, ani nieparzyste. Jednakże liczbę parzystą definiuje się jako taką, która dzieli się przez dwa bez reszty, a 0 : 2 = 0, gdyż nie może pozostać żadna reszta tam, gdzie wcześniej nic nie było. Zatem zero jest zdecydowanie parzyste.

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez zero

Teraz liźniemy odrobinę algebry. Literą x napisaną kursywą oznaczamy zmienną, czyli wielkość, której wartość może ulegać zmianie; w tym wypadku zastępuje ona „dowolną liczbę”.

(W algebrze x zawsze pisze się kursywą w celu odróżnienia od ×, znaku mnożenia. Inaczej napisane ręką ucznia działanie x × x wyglądałoby jak xxx, trzy całuski na karcie z życzeniami urodzinowymi).

x + 0 = x

x − 0 = x

x × 0 = 0

x ÷ 0 = ?

Pierwsze trzy z powyższych równości są oczywiste, ale zapewne nie wiecie, co ma być po prawej stronie ostatniej z nich, prawda? No cóż, witajcie w klubie! Nikt na całym świecie tego nie wie! Jeśli spróbujecie użyć swojego kalkulatora, będzie on krzyczał „BŁĄD!” lub po prostu wyświetli komunikat „wartość nieokreślona”. Powiada się, że czarne dziury powstały, gdy Bóg spróbował podzielić jakąś liczbę przez zero.

Z kolei puste pudełko po czekoladkach podzielone pomiędzy x przyjaciół sprawi im zerową satysfakcję, zatem 0 : x = 0, natomiast działanie 0 : 0 również jest niedopuszczalne i jego wartość jest nieokreślona.

Zero w sporcie

W terminologii sportowej funkcjonuje kilka dziwnych słów na oznaczenie zera.

Zawodnik wybijający w krykiecie może być „out for a duck”, co oznacza, że schodzi z boiska w upokorzeniu ze zwieszoną głową, bo nie udało mu się zdobyć ani jednego punktu. Ach, co za wstyd!

W tenisie i innych sportach, w które gra się rakietami, na zero zdobytych punktów mówi się love, ku smutkowi wiernych kibiców. Niektórzy sądzą, że wzięło się to od francuskiego słowa l’oeuf oznaczającego „jajko”, ze względu na jajowaty kształt zera. Jednak l’oeuf i love wymawia się odmiennie, a zresztą we Francji używa się w tym kontekście po prostu słowa zéro, a zatem owa „jajowata” etymologia jest dość naciągana.

W piłce nożnej wynik meczu można określić sformułowaniem „do koła”. Oczyma wyobraźni widzę nieprawdopodobny nagłówek w „Sports Report”: „Szkocja–Anglia trzy do koła” (cóż, pomarzyć zawsze można!)

W golfie, jeśli przysługuje nam określenie scratch, to nasza umiejętność gry jest wręcz zdumiewająca. Oznacza to, że mamy zerowy handicap, czyli gdy rozgrywamy partię przeciwko słabemu zawodnikowi o handicapie 36, naszemu przeciwnikowi przysługują dwa dodatkowe uderzenia. Jeśli wbijemy piłeczkę do pierwszego dołka w czterech uderzeniach, a on dokona tego w sześciu, wynik będzie remisowy. Fory takie stosuje się tylko w klubach golfowych, aby zapewnić w miarę wyrównaną rozgrywkę także członkom o niższych umiejętnościach.

Surowa przestroga

W matematyce 0 zawsze nazywamy zerem. Absolutnie niewłaściwe jest określanie tej ważnej liczby jako nic, nul lub nicość.

Milion to jedynka i sześć zer, a nie „jeden, o, o, o, o, o, o!”, niczym jęki delikwenta poddawanego średniowiecznym torturom.

Zastosujemy zasadę zerowej tolerancji i każdy kto złamie tę regułę, będzie musiał za karę przepisać trzy razy tabliczkę mnożenia przez 13.

A „niwecz” pozostawmy poetom:

Przemyślne plany myszy i ludzi

Wniwecz się obracają,

I miast obiecanej radości

Robert Burns

Dodawanie

Dodawanie jest przemienne. Ten termin matematyczny prawdopodobnie nie jest wam znany. Jak się przekonacie, matematycy lubią czynić uprawianą przez siebie dziedzinę bardziej tajemniczą, używając długich, niezrozumiałych słów.

Przemienność dodawania oznacza po prostu, że dodawane liczby można zamienić miejscami. Weźmy, na przykład, 7 + 28 + 13. Z pewnością wygodniej jest zapisać 7 + 13 + 28, ponieważ suma 7 i 13 jest okrągła. W ten sposób od razu jesteśmy w stanie podać wynik 48. Podobnie możemy postąpić w odniesieniu do 56 + 53 + 47. Dodajemy najpierw 53 i 47, a następnie 56 i otrzymujemy 156.

Nasz mózgowy kalkulator nie lubi sum w rodzaju 9 + 276 i woli je obliczać w inny sposób. Łatwiej nam będzie wykonać to działanie, jeśli zapiszemy je jako 276 + 10 – 1.

Dodawanie kolejnych liczb

Przyszły geniusz matematyczny Carl Friedrich Gauss przyszedł na świat w 1777 roku w niemieckim Brunszwiku jako jedyny syn biednej chłopskiej rodziny. Jego rodzice, odejmując sobie od ust, zdołali częściowo opłacić jego edukację na poziomie podstawowym i w ten sposób rozpoczęła się kariera jednego z największych matematyków wszech czasów.

Gdy Carl miał zaledwie siedem lat, wraz z innymi uczniami otrzymał na lekcji zadanie dodania do siebie wszystkich liczb od 1 do 100. Ich nauczyciel, Herr Buttner, był przekonany, że zajęta żmudnym sumowaniem klasa uciszy się i będzie miał przez dłuższy czas spokój. Tymczasem już po upływie kilku sekund Carl podniósł rękę i powiedział: „Panie profesorze, to jest 5050”.

Chłopiec zauważył, że liczby od 1 do 100 da się połączyć w pięćdziesiąt par: 1 i 100, 2 i 99, 3 i 98, 4 i 97, 5 i 96, i tak dalej. Suma każdej z par wynosiła 101, a ponieważ par było pięćdziesiąt, ostatecznym wynikiem było 50 × 101, czyli 5050. Carl zwrócił uwagę, że można było do niego dojść również w inny sposób, biorąc największą z liczb, 100, mnożąc ją przez następną, 101, i dzieląc przez 2.

Carl dodał, że gdyby Herr Buttner chciał poznać sumę jedynie nieparzystych liczb od 1 do 100, byłoby to zadanie równie łatwe. Wystarczy podzielić 100 przez 2 i podnieść do kwadratu, otrzymując 50 × 50 = 2500. Suma liczb parzystych wynosi zatem 5050 − 2500 = 2550. Przekonajcie się o tym sami.

Ile wynosi suma wszystkich liczb od 1 do 10?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

Lub metodą Gaussa:

10 × 11 : 2 = 55

Ile wynosi suma wszystkich liczb nieparzystych od 1 do 10?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Lub metodą Gaussa:

10 ÷ 2 × 5 = 25

Suma wszystkich liczba parzystych to 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30, czyli 55 – 25 = 30.

Choć owego popołudnia Herr Buttner nie był zbytnio zadowolony z posiadania w klasie tak zdolnego ucznia, niemniej jednak, rozpoznawszy geniusz chłopca, znalazł potem sponsorów, którzy sfinansowali całą jego dalszą edukację.

Carl został później jednym z najwybitniejszych matematyków na świecie. Był tak genialny, że po śmierci wyjęto z czaszki jego mózg, by sprawdzić, czy jest on pod jakimkolwiek względem inny niż u liczbowo niekumatych czy nawet przeciętnie uzdolnionych ludzi – żadnych różnic jednak nie stwierdzono.

Wartość przeciętna

Są trzy odmienne metody wyliczania wartości przeciętnej, które noszą nazwy średniej, mediany i dominanty. Do danych celów zwykle wybiera się jedną, bardziej odpowiednią od pozostałych dwóch.

Średnia

Czerwiec ubiegłego roku w północno-wschodniej Szkocji był nadzwyczaj chłodny. Na polu golfowym nie widać było żadnego gracza w szortach i nikt nie potrzebował kremu do opalania z filtrem 50. W ciągu owego miesiąca temperatura zmierzona codziennie w południe wynosiła w stopniach Celsjusza:

12 13 15 14 13 15 14 16 16 16 13 14 13 12 16

15 17 17 17 14 16 16 15 14 13 15 17 16 18 18

Aby obliczyć średnią, dodajemy do siebie te trzydzieści liczb i sumę dzielimy przez 30. Dodawanie tylu liczb grozi nabawieniem się zeza. Można użyć kalkulatora, lecz wtedy dobrze poprosić przyjaciela, aby podawał nam kolejne liczby, w miarę jak wciskamy klawisze.

Niemniej jednak ponieważ liczby te są bliskie sobie, da się to obliczyć prościej. Poszukajmy najmniejszej z nich i odejmijmy ją od każdego wyniku pomiaru. Otrzymamy wówczas:

0 1 3 2 1 3 2 4 4 4 1 2 1 0 4

3 5 5 5 2 4 4 3 2 1 3 5 4 6 6

Te liczby znacznie łatwiej dodać do siebie. Suma górnego rzędu to 32, a dolnego 58, co razem daje 90. Średnia wychodzi 90 : 30 = 3, ale musimy jeszcze pamiętać o dodaniu 12, które odjęliśmy wcześniej. Średnia temperatura czerwca wyniosła zatem 15ºC. Jak to mówią tutaj, „zimno jak na czerwiec”.

Poniższe dwa rodzaje wartości przeciętnej nie wymagają dodawania, ale trzeba o nich wspomnieć w tym miejscu.

Mediana

Gdyby uczniowie w klasie stanowili grupę jednorodną, to przeciętną liczbę punktów uzyskaną z zaliczenia na koniec semestru obliczymy przypuszczalnie jako średnią z wyników otrzymanych w pokazany wyżej sposób.

Jednak jeden z uczniów jest XXI-wiecznym odpowiednikiem Carla Friedricha Gaussa i wszystkie sprawdziany zalicza na 100 procent. W grupie jest również dwóch nowych, którzy powinni być w niższej klasie i oblali zaliczenie, oraz leniwy Larry, który przez cały semestr nie kiwnął nawet palcem.

Procentowe wyniki z zaliczenia dla dwudziestu uczniów w klasie wyglądają następująco:

86 67 71 100 74 68 85 66 15 18 73 66 75

30 69 81 77 82 68 74

Uwzględnienie 100 procent młodego geniusza Briana jest w pełni słuszne. Podnosi ono średnią i wywrze wrażenie na dyrektorze szkoły, lecz trzy fatalne wyniki niepotrzebnie zaniżają średnią całej klasy.

Zatem w tym wypadku najlepiej wyznaczyć medianę, czyli wartość środkową.

Po uporządkowaniu wyników rosnąco mamy:

15 18 30 66 66 67 68 68 69 71 : 73 74

74 75 77 81 82 85 86 100

Wartość środkowa leży między 71 i 73, czyli wynosi 72.

Inne zastosowanie mediany

Najlepszym sposobem znalezienia przeciętnej wysokości, na przykład zawodników drużyny rugby, jest ustawienie ich kolejno, od najniższego do najwyższego, i zapytanie tego, który odpowiada medianie – czyli ósmego w środku – jakiego jest wzrostu.

Dominanta

Jedna z gazet doniosła ostatnio, że przeciętnym rozmiarem damskich sukienek jest obecnie 16[1]. Nie potrzeba było tutaj wykonywać żadnych obliczeń, ale jedynie wiedzieć, który rozmiar sprzedaje się najlepiej, w tym wypadku 16. Wartość ta nosi nazwę dominanty. Dominanta może być dwuwartościowa, jeśli dwa rozmiary są jednakowo popularne.

Pierwszy z kilkunastu nieśmiesznych żartów matematycznych

W dziejach matematyki nie było ani jednego żartu matematycznego, który wywołałby śmiech, a choćby uśmiech, u normalnego człowieka. Natomiast matematycy, zwłaszcza ci co bardziej uzdolnieni, śmieją się z nich do rozpuku. Ale uważajcie! Jeżeli którykolwiek z żartów, na jakie natraficie, czytając tę książkę, będzie dla was choć odrobinę śmieszny, macie zadatki na prawdziwego jajogłowego matematyka.

A oto żart: Matematyk utonął, gdy usiłował przejść w bród przez rzekę, o której wiadomo było, że ma średnio metr głębokości.

Osiem ósemek

Teraz, gdy zmęczyliśmy się sumowaniem, pora na chwilę wytchnienia. Ile to będzie osiem ósemek? 64? Nie tym razem. Pamiętajcie, że cały czas mowa o dodawaniu!

888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000

Jeszcze o dodawaniu

Macie okazję pokazać, jak znakomicie potraficie dodawać. W istocie będziecie w stanie dodać do siebie cztery liczby, nie wiedząc nawet, jakie one są!

Zrobicie tak jak żyjący w I wieku n.e. matematyk Nikomachos z Gerazy (obecnie jordańskie miasto Dżarasz), który zaczepiał ludzi na ulicy i proponował im wspólne wykonanie pewnych obliczeń. Wszakże aby uniknąć aresztowania, lepiej będzie, jeśli swoje ofiary wybierzecie z kręgu rodziny.

Narysujcie poniższą tabelkę i napiszcie liczbę 34 na kartce papieru, złóżcie ją i polećcie swojemu „ochotnikowi”, by schował ją do kieszeni.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Poproście go, by wybrał sobie jakąś liczbę – powiedzmy 7 – a potem zacieniował pozostałe kratki w tym samym wierszu i kolumnie.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Następnie poproście go o wybranie jeszcze dwóch liczb – niech będą to 2 i 13 – oraz ponowne zacieniowanie pozostałych kratek w tych samych wierszach i kolumnach.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

W końcu zobaczy on, że jedyną niezacieniowaną kratką pozostaje 12; musi to zatem być ostatnia z wybranych liczb.

Poproście go, aby zsumował wybrane liczby 13 + 2 + 7 + 12 (= 34). Ku jego zdumieniu będzie to ta sama liczba, którą ma w kieszeni. Jeśli będzie chciał powtórzyć tę sztuczkę, nie zgadzajcie się na to! Jak się możecie przekonać, dla tabelki 4 × 4 zawsze wychodzi 34, co może wzbudzić podejrzenia.

Każcie mu narysować większą tabelkę, 5 × 5, 6 × 6, a nawet jeszcze większą, i postępować analogicznie jak poprzednio. Na przykład dla tabelki 5 × 5 niech wybierze pięć liczb. Tym razem suma wyniesie 65, a dla tabelki 6 × 6 będzie to 111.

Skąd taki magiczny wynik dodawania? Zsumujcie liczby po przekątnej i będziecie znali odpowiedź.

Więcej błyskawicznego dodawania

Oto kolejna sztuczka z dodawaniem, którą możemy zadziwić innych. Pierwsza z wybranych liczb może mieć trzy, cztery, pięć lub więcej cyfr, ale na początek niech to będą trzy. Wygląda to tak, że wy (W) prosicie przyjaciela (P) o zapisanie trzycyfrowej liczby. Wymyślcie jakiś pretekst, dla którego nie powinno to być 999; możecie za to wielkodusznie pozwolić mu na wybranie aż dwu liczb. Niech to będą:

427

635

Zapamiętajcie 427.

Teraz wasza kolej, zatem wybierzcie 364. Musi to być 364, ponieważ celowo dopełniamy drugą z liczb do 999. P wybiera teraz czwartą liczbę, powiedzmy, 128, a my znów dopełniamy ją do 999, czyli zapisujemy 871.

Mamy zatem pięć liczb:

427

635

364

128

871

Poproście P o ich zsumowanie.

Podczas gdy on żmudnie je do siebie dodaje, popatrzcie mimochodem, jak to robi, i powiedzcie, że obliczyliście już sumę w głowie i wynosi ona 2425. P będzie pod wrażeniem i uzna was za geniusza. A tymczasem cały trik polegał na tym, by do zapamiętanej liczby 427 dopisać z przodu dwójkę i zmniejszyć ostatnią cyfrę o 2, co dało 2425.

Spróbujcie jeszcze raz z pięciocyfrową liczbą:

(P) 69 033 (zapamiętajcie tę liczbę)

(P) 15 627

(W) 84 372

zauważcie, że liczby w drugim i trzecim wierszu sumują się do 99 999

(P) 18 044

(W) 81 955

i w tym wypadku zwróćcie uwagę

na magiczne 99 999

Teraz postąpcie tak jak poprzednio. Dopiszcie 2 z przodu i odejmijcie 2 od ostatniej cyfry, co daje 269 031. P sprawdza, że tak jest rzeczywiście, i dziwi się waszym nowo odkrytym talentom matematycznym.

Dodawanie a kalendarz

Zaznaczcie kwadratowy blok dat 3 × 3 z dowolnego miesiąca i roku w kalendarzu, na przykład z lipca 2016 roku:

8   15  22

9   16  23

10 17  24

Suma tych liczb będzie zawsze dziewięciokrotnością liczby znajdującej się w środku kwadratu. W tym wypadku:

16 × 9 = 144

Teraz zaznaczcie dowolny prostokątny blok 5 na 4:

2   3   4   5    6

9  10 11 12  13

16  17 18 19  20

23  24 25 26  27

Aby łatwo wyznaczyć sumę wszystkich tych liczb, dodajcie do siebie najmniejszą i największą i pomnóżcie przez 10. W tym przykładzie:

2 + 27 = 29 × 10 = 290

1 W Europie kontynentalnej stanowi to odpowiednik rozmiaru 42 (przyp. red.).

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

Wstęp

Bardzo ważne nic

Dodawanie

Odejmowanie

Mnożenie

1 + 1 = 10

Podnoszenie do kwadratu

Tabele imperialnych i metrycznych jednostek długości

Metryczne jednostki wagi

Kąty

Pitagoras

Sześciany

Liczby niewymierne

Zamiana mianownika na liczbę wymierną

Złota proporcja (zwana również boską)

Ciąg Fibonacciego

Ułamki

Silnia!

Jeszcze trochę o pi

Te straszne ułamki dziesiętne

Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych

Algebra

Objętość pojemników

Waluty obce

Temperatura

Co maniacy matematyczni robią dla rozrywki

Nierówności

Procenty %

Liczby pierwsze

Wielokąty

Wielkie twierdzenie Fermata

Układy równań

Czytanie w umyśle – sztuczka matematyczna

Odwrotności liczb pierwszych

Liczby doskonałe

Dania i delfin – sztuczka matematyczna

Proporcje

Trójkąty podobne

Gradient

Ciągi liczbowe

Ta straszna ∑

Jeszcze o geometrii

Raz, dwa, trzy

Szczypta trygonometrii

Matematyka a rozcinanie naleśników

Trójkąt Pascala

Postscriptum: pochwała matematyki

Podziękowania

Spis treści

Wstęp

Bardzo ważne nic

Dodawanie