Copyright © for the Polish edition by Dom Wydawniczy PWN Sp. z o.o., Warszawa 2014

Grupa Wydawnicza PWN

ul. Gottlieba Daimlera 2

02-460 Warszawa

tel. 22 695 45 55

www.dwpwn.pl

Dyrektor wydawniczy: Monika Kalinowska

Redaktor prowadzący: Marcin Kicki

Tłumaczenie: Wiktor Bartol

Redakcja: Magdalena Kędzierska-Zaporowska

Korekta: Łukasz Mackiewicz/eKorekta24.pl, Agnieszka Więckowska

Ilustracje: Margaret Nelson

Projekt okładki: Maciej Szymanowicz

Zdjęcia na okładce: Shutterstock/Inga Nielsen, Shutterstock/ra2studio

Pozostałe zdjęcia: ABC Photo Archives/ABC via Getty Images, Mark H. Abinder, Alchemy/Alamy, AF Archive/Alamy, Andreas Arnez, Konrad Polthier, Martin Steffens, Christian Teitzel. Images from DVD Touching Soap Films, Springer, 1995, BIG (Bjarke Ingels Group), L. Paul Bourke, Clarke/Corbis, Corbis, J.R. Eyerman/Getty Images, George W. Hurt, Vi Hart, Garry Jenkins, Manny Millan/Getty Images, M.E.J. Newman, Photodisc/Getty Images, Christian Rudder/OkCupid, Sesame Workshop, 2011. All rights reserved, Simon Tatham, Study for Alhambra Stars (2000)/Mike Field, WET, 2011. All rights reserved

Przygotowanie publikacji elektronicznej: Ewa Modlińska

Tytuł oryginału: The Joy of X. A Guided Tour of Math, from One to Infinity

Copyright: © Steven Strogatz, 2012

All rights reserved.

ISBN 978-83-7705-531-1 (ePub)

ISBN 978-83-7705-559-5 (Mobi)

Wszelkie prawa zastrzeżone. Niniejsza publikacja ani jej żadna część nie może być kopiowana, zwielokrotniana i rozpowszechniana w jakikolwiek sposób bez pisemnej zgody wydawcy. Wydawca niniejszej publikacji dołożył wszelkich starań, aby jej treść była zgodna z rzeczywistością, nie może jednak wziąć żadnej odpowiedzialności za jakiekolwiek skutki wynikłe z wykorzystania zawartych w niej materiałów i informacji.

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Skład wersji elektronicznej:

Virtualo Sp. z o.o.

CZĘŚĆ TRZECIA
KSZTAŁTY

14
STOŻKOWA
KONSPIRACJA

Galeria szeptów to zadziwiająca przestrzeń akustyczna, na jaką można trafić pod kopułą, sklepieniem lub zakrzywionym sufitem. Słynna galeria tego typu mieści się przy restauracji Oyster Bar na Grand Central Station w Nowym Jorku. To zabawne miejsce na randkę – można tu sobie szeptać czułe słówka, nawet gdy zakochanych dzieli kilkanaście metrów, a między nimi przewijają się tłumy ludzi. Rozmówcy usłyszą wszystko bardzo wyraźnie, podczas gdy do żadnego z przechodniów nie dotrze ani jedno słowo z całej rozmowy.

Aby uzyskać taki efekt, uczestnicy rozmowy muszą stanąć w przeciwległych rogach takiej przestrzeni, twarzą do ściany. W ten sposób oboje znajdą się blisko ogniska, szczególnego punktu, w którym skupia się głos, odbity przez zakrzywione ściany i sufit. Zazwyczaj fale dźwiękowe wędrują we wszystkich kierunkach i odbijają się od ścian w przeróżnych momentach i miejscach, mieszając się tak, że gdy docierają do uszu słuchacza oddalonego o kilkanaście metrów, są już niesłyszalne (i dlatego przechodnie nie słyszą rozmowy). Jeśli jednak szepnie się coś w punkcie, gdzie jest ognisko, odbite fale dotrą wszystkie w tym samym czasie do drugiego ogniska, wzmacniając się nawzajem, dzięki czemu słowa będą doskonale słyszalne.

Elipsy wykazują podobny talent do skupiania się w ognisku, choć w znacznie prostszej postaci. Jeśli wyobrazimy sobie reflektor w kształcie elipsy, dwa punkty wewnątrz elipsy (oznaczone na rysunku niżej symbolami F₁ i F₂) będą działać jak ogniska w następujący sposób: wszystkie promienie wychodzące ze źródła światła umieszczonego w jednym z tych punktów zostaną odbite tak, że przejdą przez drugi z nich.

Pozwolę sobie opowiedzieć o tym zjawisku nieco inaczej, by w ten sposób pokazać, jak zadziwiający to fakt.

Przypuśćmy, że Daniel i Łukasz bawią się w laserowego berka w eliptycznym pomieszczeniu z lustrzanymi ścianami. Umówili się, że nie wolno celować laserem bezpośrednio w przeciwnika – trafić go można tylko światłem odbitym. Daniel, niezbyt biegły w geometrii czy optyce, proponuje, żeby każdy z graczy stanął w ognisku. „Doskonale – odpowiada Łukasz – pod warunkiem, że ja będę strzelał pierwszy”. Cóż, gra będzie dość krótka, gdyż Łukasz nie może spudłować! Jakkolwiek ustawi swój laser, zawsze trafi w Daniela. Każdy strzał daje zwycięstwo.

Jeśli waszą ulubioną grą jest bilard, wyobraźcie sobie eliptyczny stół z łuzą w jednym z ognisk. Ustawiając bilę w   d r u g i m  ognisku, zapewniacie sobie mistrzowskie uderzenie z gwarancją trafienia. Wszystko jedno, jak uderzycie bilę, wszystko jedno, gdzie odbije się ona od bandy – zawsze trafi do łuzy.

Paraboliczne krzywe i powierzchnie mają własną imponującą moc skupiania. Każda może przyjąć strumień równoległych promieni i skupić je wszystkie w  j e d n y m  punkcie. Ta ich cecha jest bardzo użyteczna w sytuacjach, gdy trzeba wzmocnić fale świetlne lub dźwiękowe, albo też inne sygnały. Na przykład paraboliczne mikrofony mogą posłużyć do podsłuchiwania rozmów odbywanych szeptem i dlatego interesują się nimi szpiedzy lub instytucje prawa dbające o nasze bezpieczeństwo. Przydatne są również do nagrywania śpiewu ptaków czy odgłosów zwierząt, a także przy transmisjach sportowych, jeśli chce się przechwycić słowa trenera, gdy złorzeczy sędziemu. Anteny paraboliczne w podobny sposób wzmacniają fale radiowe i dlatego właśnie talerze do odbioru telewizji satelitarnej i ogromne teleskopy radiowe mają tak charakterystycznie wygięty kształt.

Ta zdolność skupiania promieni okazuje się również przydatna w sytuacji odwrotnej. Załóżmy, że chcemy skierować strumień światła w jedną stronę, na przykład w latarce lub światłach samochodowych. Normalna żarówka, nawet o dużej mocy, nie spełni naszych oczekiwań, ponieważ zbyt wiele światła rozproszy się we wszystkie strony. Gdy jednak umieścimy żarówkę w ognisku parabolicznego reflektora, osiągniemy zamierzony efekt. Parabola automatycznie skieruje całe światło w jedną stronę – zgarniając wszystkie promienie wychodzące z żarówki, odbije je w srebrnej powierzchni reflektora i utworzy z nich równoległy, jednokierunkowy strumień.

Gdy już zachwycimy się skupiającymi zdolnościami parabol i elips[55], trudno jest nam powstrzymać się od pytania, czy nie ma w tym czegoś głębszego. Czy te krzywe są jakoś powiązane w bardziej zasadniczy sposób?

Matematycy i zwolennicy teorii spiskowych mają tę wspólną cechę, że są bardzo podejrzliwi wobec przypadków, zwłaszcza sprzyjających. Nic się nie dzieje bez powodu, za wszystkim stoi jakaś przyczyna. O ile takie podejście może być w życiu codziennym symptomem lekkiej paranoi, o tyle w matematyce jest to bardzo zdrowy sposób myślenia. W idealnym świecie liczb i figur dziwne przypadki zazwyczaj pozwalają mniemać, że czegoś nie zauważyliśmy, że w tle działają jakieś ukryte siły.

Przyjrzyjmy się zatem nieco dokładniej możliwym związkom między parabolą i elipsą. Na pierwszy rzut oka to niezbyt dobrana para. Parabole mają kształt łukowaty, rozciągają się w nieskończoność na obu końcach. Z kolei elipsy są owalne, jak ściśnięte koła, zamknięte i zwarte.

Jeśli jednak oderwiemy się od wyglądu tych krzywych i zbadamy ich anatomię, zaczniemy dostrzegać podobieństwa. Obie należą do królewskiej rodziny krzywych. Z łatwością dostrzeżemy ich pokrewieństwo, jeśli tylko wiemy, gdzie szukać podobieństw.

Aby wyjaśnić, co je łączy, musimy przypomnieć, czym dokładnie są te krzywe.

Parabolę definiuje się zwykle jako zbiór wszystkich punktów równoodległych od pewnego ustalonego punktu, zwanego ogniskiem, i od pewnej ustalonej prostej, do której ten punkt nie należy. To dość długa definicja, ale w rzeczywistości można ją łatwo zrozumieć, gdy przetłumaczymy ją za pomocą rysunku. Niech F oznacza ustalony punkt, czyli ognisko, prosta niech się nazywa L.

Zgodnie z definicją parabola składa się z punktów równoodległych od F i od L. Na przykład punkt P, leżący pod ogniskiem F w połowie drogi do prostej L, z pewnością taki warunek spełnia:

Spełnia go też nieskończenie wiele punktów P₁, P₂,…, leżących po różnych stronach, tak jak na rysunku:

Punkt P₁ leży w tej samej odległości d₁ zarówno od prostej, jak i od ogniska. Podobnie jest z punktem P₂, choć teraz owa jednakowa odległość może wyrażać się inną liczbą, d₂. Wszystkie punkty o tej cesze tworzą razem parabolę.

Powód, dla którego punkt F nazywany jest ogniskiem, staje się zrozumiały, gdy pomyślimy o paraboli jako zakrzywionym lustrze. Okazuje się (choć nie będę przeprowadzał dowodu), że jeśli prosto na paraboliczne lustro[56] skierujemy strumień światła, wszystkie promienie odbite przetną się jednocześnie w punkcie F, tworząc w ten sposób punkt silnie skupionego światła.

To działa mniej więcej tak jak opalające lustra słoneczne, które w czasach, gdy nikt jeszcze nie martwił się o raka skóry, zbrązowiły niejedną twarz.

Przejdźmy teraz do opowieści o elipsie. Elipsę definiuje się jako zbiór punktów, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stała. Mówiąc w bardziej ludzkim języku, taka definicja kryje w sobie przepis na narysowanie elipsy. Należy wziąć ołówek, kartkę, korkową tabliczkę, dwie pinezki i kawałek cienkiego sznurka. Papier kładziemy na korku, końce sznurka przypinamy przez papier pinezkami; sznurek powinien leżeć luźno na papierze. Teraz naciągamy sznurek ołówkiem, tworząc kąt, tak jak na rysunku niżej. Zaczynamy rysować, utrzymując sznurek w napięciu. Gdy ołówek przejdzie już całą drogę wokół obu pinezek i powróci do punktu wyjścia, na papierze zostanie ślad w postaci elipsy.

Zauważmy, jak dokładnie ten przepis oddaje istotę definicji, słowo po słowie. Pinezki odgrywają tu rolę ustalonych punktów, a suma odległości od tych punktów do dowolnego punktu na krzywej pozostaje stała, niezależnie od położenia ołówka, gdyż owe dwie odległości zawsze sumują się do długości sznurka.

A gdzie w tej konstrukcji są ogniska elipsy? Tam, gdzie pinezki. Nie udowodnię tego tutaj, ale to są właśnie te punkty, które pozwalają Łukaszowi i Danielowi zawsze trafiać laserem i dzięki którym można w bilardzie bezbłędnie celować.

Parabole i elipsy… Dlaczego to właśnie one – i tylko one – mają tak fantastyczną zdolność skupiania? Jaki sekret je łączy?

Obie krzywe są przekrojami powierzchni stożka.

Stożka? Jeśli macie wrażenie, że wyskoczył on nagle i znikąd, to świetnie – o to nam chodziło. Jak dotąd rolę stożka pozostawialiśmy bowiem w ukryciu.

Wyobraźcie sobie, że kroicie stożek ostrym nożem do mięsa, tak jakbyście kroili salami pod coraz ostrzejszym kątem. Gdy cięcie jest poziome, krzywą przecięcia jest okrąg.

Jeśli z kolei lekko przechylicie nóż, otrzymana krzywa będzie elipsą.

Im bardziej stromo tniemy nożem, tym dłuższa i węższa staje się elipsa. W pewnym momencie, gdy nachylenie noża będzie takie jak nachylenie bocznej ściany stożka, elipsa zamieni się w parabolę.

I oto cały sekret: w pewnym sensie parabola jest elipsą w przebraniu. Nic dziwnego, że dzieli z elipsą tę cudowną zdolność skupiania, dziedziczy ją genetycznie.

W rzeczywistości okręgi, elipsy i parabole są członkami większej, połączonej mocnymi więzami rodziny. Obdarzono je wspólną nazwą krzywych stożkowych – krzywych, które powstają w wyniku przekroju stożka płaszczyzną. Jest jeszcze jeden dodatkowy członek rodziny: jeśli przekroimy stożek pionowym cięciem, z nachyleniem większym od nachylenia bocznej ściany stożka, otrzymamy w przekroju krzywą zwaną hiperbolą. W odróżnieniu od pozostałych krzywych ta składa się nie z jednej, ale z dwóch części.

Jeśli spojrzymy na cztery rodzaje krzywych z innej matematycznej perspektywy, okaże się, że związki między nimi są jeszcze ściślejsze. W algebrze pojawiają się jako wykresy równań drugiego stopnia:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

przy czym współczynniki A, B, C, … decydują o tym, czy wykresem będzie okrąg, elipsa, parabola czy hiperbola. W rachunku różniczkowym te krzywe pojawiają się jako trajektorie obiektów poddanych działaniu siły grawitacji.

Nie jest więc przypadkiem, że planety krążą po orbitach eliptycznych ze Słońcem w jednym z ognisk ani to, że komety przemierzają Układ Słoneczny po trajektoriach eliptycznych, parabolicznych lub hiperbolicznych, tak jak nie jest przypadkiem, że piłka rzucona przez dziecko do rodzica leci po parabolicznym łuku. Te wszystkie zjawiska są przejawami stożkowego spisku.

Skupcie się na tym, gdy znów zechcecie w coś zagrać.

PRZYPISY

[55] O przekrojach stożkowych i bogatej literaturze przedmiotu można przeczytać na stronach http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html oraz http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section. Czytelnikom z pewnym matematycznym przygotowaniem polecam ogromny zasób ciekawych i niezwykłych informacji zebranych przez Jamesa B. Calverta na jego stronie; warto zobaczyć Ellipse (http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/ellipse.htm), Parabola (http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/parabola.htm) oraz Hyperbola (http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/hyperb.htm).