Projekt okładki: Ireneusz Gawliński

Ilustracja na okładce: 123rf/frenta

Wydawca: Karol Zawadzki

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Jakub Szczepaniak

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN: Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2022r. (Wydanie I)

Warszawa 2022

Wydanie I, Warszawa 2008

ISBN wydanie II: 978-83-01-22051-8

https://doi.org/10.53271/2021.029

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288; infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Bezpłatny fragment

Przedmowa

1. Pochodna

1.1. Pojęcie pochodnej

1.2. Definicja pochodnej

1.3. Interpretacja geometryczna pochodnej

1.4. Numeryczne obliczanie pochodnej w punkcie x₀

1.5. Sieczna symetryczna

1.6. Funkcja pochodna

1.7. Numeryczne obliczanie funkcji pochodnej

1.8. Pochodne funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych

1.9. Pochodna pierwiastka

1.10. Pochodne funkcji trygonometrycznych sin(x) i cos(x)

1.11. Pochodna funkcji wykładniczej, podstawa logarytmu naturalnego

1.12. Pochodne funkcji parzystych i nieparzystych

1.13. Zadania

1.14. Rozwiązania

2. Reguły różniczkowania

2.1. Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą

2.2. Pochodna sumy i różnicy

2.3. Pochodna iloczynu

2.4. Pochodna ilorazu

2.5. Pochodna funkcji złożonej

2.6. Stała pod znakiem funkcji

2.7. Pochodna funkcji odwrotnej

2.8. Zadania

2.9. Rozwiązania

3. Pochodne wyższych rzędów

3.1. Pochodne wyższych rzędów

3.2. Przykłady pochodnych wyższych rzędów

3.3. Dygresja. Numeryczne obliczanie drugiej pochodnej

3.4. Badanie przebiegów funkcji

3.5. Zadania

3.6. Rozwiązania

4. Zastosowania rachunku różniczkowego

4.1. Optymalizacja

4.2. Badanie ekstremów funkcji

4.3. Szukamy maksimum

4.4. Szukamy minimum

4.5. Zadania

4.6. Rozwiązania

5. Całka nieoznaczona

5.1. Całkowanie

5.2. Całki z funkcji potęgowych

5.3. Całki z funkcji trygonometrycznych sin(x) i cos(x)

5.4. Całka z funkcji wykładniczej ex

5.5. Reguły całkowania: całka z sumy i różnicy

5.6. Reguły całkowania: funkcja pomnożona przez stałą

5.7. Całkowanie przez części

5.8. Stała pod znakiem funkcji

5.9. Odwrócenie różniczkowania funkcji złożonej

5.10. Zastosowania

5.11. Zadania

5.12. Rozwiązania

6. Całka oznaczona

6.1. Całka oznaczona

6.2. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

6.3. Zastosowanie 1: położenie i przesunięcie

6.4. Zastosowanie 2: praca

6.5. Zastosowanie 3: objętość brył obrotowych

6.6. Numeryczne obliczanie całek

6.7. Zadania

6.8. Rozwiązania

7. Szeregi potęgowe

7.1. Przybliżanie funkcji przez wielomiany

7.2. Przykłady szeregów Maclaurina

7.3. Suma i różnica szeregów

7.4. Różniczkowanie szeregów Maclaurina

7.5. Całkowanie szeregów Maclaurina

7.6. Funkcje, których nie można rozwinąć w szereg Maclaurina

7.7. Funkcje o skończonym promieniu zbieżności

7.8. Zastosowanie rozkładu funkcji na szereg Maclaurina

7.9. Szereg Taylora

7.10. Przykłady zastosowania wzoru Taylora

7.11. Logarytm naturalny, szereg nie-potęgowy

7.12. Formalne uzasadnienie wzorów numerycznego obliczania pochodnych

7.13. Zadania

7.14. Rozwiązania

A. Potęgi dwumianu

B. Funkcje potęgowe

C. Łukowa miara kąta

D. Funkcje trygonometryczne

E. Tożsamości trygonometryczne

F. Funkcje wykładnicze

G. Logarytmy

H. Funkcje logarytmiczne

I. Obliczanie logarytmu dziesiętnego

J. Funkcje parzyste i nieparzyste

K. Funkcje odwrotne

L. Ciągi i szeregi nieskończone

M. Tablice

N. Obliczenia numeryczne

P. Prezentacje

Literatura

Przypisy

Przedmowa

Książka ta jest przeznaczona dla osób, które chciałyby poznać podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego i całkowego, a nie uczyły się ich w szkole średniej (rachunku całkowego w obecnym liceum po prostu nie ma). A także dla tych, które przez wiele lat tych pojęć nie używały. Nie jest ona podręcznikiem analizy matematycznej. Ma jedynie poglądowo i „obrazkowo” pokazać, o co w tym rachunku różniczkowym chodzi. Mam nadzieję, że przynajmniej część Czytelników sięgnie w przyszłości do prawdziwych podręczników analizy matematycznej, na przykład do starego, świetnego i stale wznawianego Fichtenholtza [3].

Książka składa się z dwóch części:

1. W pierwszej wprowadza się pojęcia pochodnej i całki, a także omawia podstawowe zasady różniczkowania i całkowania. Wspomina się także o typowych zastosowaniach rachunku różniczkowego.

2. W drugiej – przypomniane są różne wiadomości z matematyki ze szkoły średniej, które są niezbędne do rozumienia części pierwszej.

Przy okazji są także omawiane proste pojęciowo sposoby obliczania ważnych stałych, jak π czy e, a także znajdowania wartości typowych funkcji, jak sin(x), ex czy lg(x).

Pomysł napisania tej książki ma długą historię, związaną z prowadzonymi przeze mnie zajęciami na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Wszytko zaczęło się przeszło pięćdziesiąt lat temu, kiedy rozpoczynałem swój pierwszy wykład – dla studentów biologii, geografii i geologii. Doszedłem wtedy do wniosku, że nie będę mógł efektywnie go prowadzić, nie posługując się pojęciem pochodnej i całki. Moi słuchacze tych pojęć nie znali, bo nie nauczono ich wtedy ani w szkole średniej, ani na uczelni. Problem powrócił po kilkudziesięciu latach, kiedy zacząłem prowadzić zajęcia na Kursie Podyplomowym z Fizyki dla nauczycieli. Część uczestników – nie fizyków i nie matematyków – podstaw matematyki nie pamiętała, bo w czasie ich pracy w szkole nie były im one potrzebne. Wynikła stąd konieczność uzupełnienia tego materiału.

Od wspomnianych wyżej zamierzchłych czasów nastąpiła zmiana niezmiernie istotna z dydaktycznego punktu widzenia: komputery stały się sprzętem codziennego użytku. Ich standardowe oprogramowanie stanowią między innymi programy obliczeniowe, jak Excel. Za ich pomocą można prowadzić złożone obliczenia czy wykonywać wykresy funkcji. Zostało to wykorzystane w wielu rozumowaniach w treści tej książki.

Pierwszą wersję tej pozycji wydrukowały w roku 2008 nieistniejące już Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Obecna jest nieco zmieniona.

Mam nadzieję, moi drodzy, że po przeczytaniu tej książki nie będziecie się bać ani pochodnych, ani całek!

Jerzy Ginter

1
Pochodna

1.1. Pojęcie pochodnej

Nie jest przypadkiem, że Izaak Newton – który położył podwaliny nowożytnej fizyki – stworzył równocześnie rachunek różniczkowy i całkowy. Po prostu ten dział matematyki stanowi podstawowy język zarówno nauk przyrodniczych jak techniki.

Zacznijmy od kilku prostych przykładów.

Prędkość średnia i prędkość chwilowa

Jeżeli ciało się porusza po linii prostej, współrzędna jego położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t (rys. 1.1). Przypuśćmy, że w pewnym skończonym przedziale czasu Δt położenie zmieniło się o Δx, od x do x + Δx. Powiemy, że w przedziale czasu Δt ciało miało prędkość średnią:

.

(1.1)

Rys. 1.1. Ciało porusza się wzdłuż osi x jednowymiarowego układu współrzędnych

Na przykład: samochód w ciągu minuty, czyli Δt = 60 s przejechał odcinek o długości 1,2 km, czyli Δx = 1200 m. Jego prędkość średnia wynosiła więc (czyli 72). Jednak w ciągu tej minuty mógł zwalniać i przyspieszać. Można zapytać: jaka była prędkość chwilowa na początku omawianego przedziału czasu? Aby na to pytanie odpowiedzieć, należałoby zmierzyć zmianę położenia samochodu w krótszym przedziale czasu. Większą dokładność uzyskalibyśmy, dokonując pomiaru dla Δt = 1 s (samochód przejechałby w tym czasie około 20 m). Jeszcze większą – dokonując pomiaru w czasie 0,01 s (samochód przejechałby w tym czasie około 20 cm), itp. Interesuje nas więc granica:

.

(1.2)

Symbol oznacza granicę dla Δt dążącego do zera[1].

Taką granicę nazywamy pochodną położenia x względem czasu t.

Siła elektromotoryczna indukcji

Z podobną sytuacją mamy do czynienia w zjawisku indukcji elektromagnetycznej. Siła elektromotoryczna E indukowana w zwojnicy jest proporcjonalna do zmian w czasie strumienia indukcji magnetycznej B, czyli ΦB:

Rys. 1.2. Na skutek zmian strumienia indukcji magnetycznej w zwojnicy powstaje siła elektromotoryczna

(1.3)

Siła elektromotoryczna indukcji jest równa – z przeciwnym znakiem – pochodnej strumienia indukcji magnetycznej względem czasu.

Ciepło właściwe

Analogicznie: ciepłem właściwym c nazywamy ilość ciepła ΔQ, która trzeba dostarczyć, aby podnieść temperaturę T jednostkowej masy ciała o jednostkową wartość ΔT.

Rys. 1.3. Przepływ ciepła powoduje wzrost temperatury ciała

Jeżeli jednak ciepło właściwe nie jest stałe[2], a zależy od temperatury, musimy wtedy brać nie jednostkowe, ale bardzo małe przyrosty temperatury. Prowadzi to więc do definicji:

(1.4)

Podobne przykłady można by dowolnie mnożyć.

1.2. Definicja pochodnej

Pochodna funkcji w punkcie x₀

Spójrzmy na zagadnienie nieco ogólniej. Przypuśćmy, że określona jest funkcja f (x), przyporządkowująca wielkości x (zmiennej niezależnej) pewną inną wielkość y (zmienną zależną).

y = f (x).

(1.5)

Pochodną funkcji f (x)względem x w punkcie x₀ będziemy nazywać wielkość:

(1.6)

Mówimy o tym, że pochodna jest granicą ilorazu różnicowego dla Δx dążącego do zera. Znajdowanie pochodnej funkcji nazywamy różniczkowaniem.

Będziemy równolegle używać na oznaczenie pochodnej dwóch symboli:

– f ′(x), bardziej „abstrakcyjnego” – pochodzącego od Lagrange’a[3];

– , pochodzącego od Leibniza[4], który oznaczał iloraz różnicowy dla „nieskończenie małego” przyrostu wielkości x, czyli dx.

1.3. Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodna prawostronna

Rozpatrzmy funkcję y = f (x), którą przedstawia linia krzywa na rysunku 1.4.

Rys. 1.4. Kąt nachylenia siecznej α (a) dla Δx > 0 i kąt nachylenia stycznej α₀ (b). Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej α₀

Przyjmijmy na początku, że Δx > 0. Oznacza to, że rozpatrywać będziemy punkty x > x₀, czyli znajdujące się na wykresie funkcji y = f (x) ma prawo od punktu x₀. Widać na rysunku 1.4a, że wartość ilorazu różnicowego jest równa tangensowi kąta α, określającego nachylenie siecznej, czyli linii przecinającej krzywą y = f (x) w punktach o współrzędnych x₀, f (x₀) oraz x₀ + Δx, f (x₀ + Δx). Kiedy Δx dąży do zera, sieczna dąży do stycznej do krzywej w punkcie o współrzędnych x₀, f (x₀). A zatem pochodna w punkcie x₀ równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej y = f (x). Kąt ten oznaczymy α₀ (rys1.4b). Widać, że w naszym przykładzie kiedy Δx → 0, tg(α) jest dodatni i rośnie.

Tangens → D. Funkcje trygonometryczne

Rys. 1.5. Kąt nachylenia siecznej α dla Δx < 0

Pochodna lewostronna

W podobny sposób można by było obliczać ilorazy różnicowe funkcji y = f (x) dla Δx ujemnych (rys. 1.5). Oznacza to, że rozpatrywać będziemy punkty x < x₀, czyli znajdujące się na wykresie funkcji y = f (x) ma lewo od punktu x₀. Widać, że w tym przykładzie kiedy Δx → 0, tg(α) jest dodatni, ale maleje.

1.4. Numeryczne obliczanie pochodnej w punkcie x₀

Rozpatrzmy teraz proste przykłady numeryczne. Rozważmy funkcję, przedstawioną na rysunkach 1.4 i 1.5, czyli:

y = f (x) = 1 – (x – 1)² = – x² + 2x.

(1.7)

Pochodna prawostronna

Wybierzmy punkt x₀ = 0,5 i malejące przyrosty Wynik obliczeń ilorazów różnicowych przedstawia tabela 1.1 i rysunek 1.6.

W naszym przykładzie: kiedy Δx maleje, iloraz różnicowy jest dodatni i rośnie – o czym mówiliśmy już wyżej. Z rysunku 1.6 wynika też, że dla Δx → 0 wielkość Δyn /Δxn dąży do jedności. Oznacza to, że pochodna w punkcie x₀

f ′(x₀) = 1.

(1.8)

Tabela 1.1

n

Δxn

Δyn

Δyn /Δxn

1

0,5

0,25

0,5

2

0,25

0,1875

0,75

3

0,125

0,109375

0,875

4

0,0625

0,058594

0,9375

5

0,03125

0,030273

0,96875

6

0,015625

0,015381

0,984375

Rys. 1.6 Obliczanie pochodnej prawostronnej

Pochodna lewostronna

Wybierzmy ponownie punkt x₀ = 0,5, ale ujemne przyrosty o malejącej wartości bezwzględnej Wynik takich obliczeń ilorazów różnicowych przedstawia tabela 1.2 i rysunek 1.7.

Tabela 1.2

n

Δxn

Δyn /Δxn

1

– 0,5

1,5

2

– 0,25

1,25

3

– 0,125

1,125

4

– 0,0625

1,0625

5

– 0,03125

1,03125

6

–0,015625

1,015625

Teraz: kiedy wartość bezwzględna Δx maleje, iloraz różnicowy jest dodatni i maleje – o czym mówiliśmy już wyżej. Z rysunku 1.7 wynika też, że dla Δx → 0 wielkość Δyn /Δxn dąży do jedności (ale od góry, a nie od dołu). Pochodna lewostronna jest równa pochodnej prawostronnej.

Rys. 1.7 Obliczanie pochodnej lewostronnej

1.5. Sieczna symetryczna

Wyżej opisany sposób numerycznego obliczania pochodnych jest raczej żmudny. Zupełnie dobre wyniki można jednak osiągnąć, stosując inny i znacznie prostszy sposób. Wybrać pewną wartość Δx > 0 i dwa punkty o współrzędnych x₀ + Δx, f (x₀ + Δx), oraz x₀ – Δx, f (x₀ –Δx) (rys. 1.8). Przez te punkty można przeprowadzić sieczną „symetryczną” (gruba linia ukośna), której kąt nachylenia αs będzie bliski kąta nachylenia stycznej α0 (por. rys.1.4). A więc tg(αs) będzie bliski pochodnej f ′(x₀).

Rys. 1.8. Sieczna symetryczna

Napiszmy to wprost:

(1.9)

Wzór ten ma prostą interpretację. Iloraz różnicowy w 1.9 można zapisać następująco (odjęliśmy i dodaliśmy w liczniku f (x₀)):

(1.10)

Widać, że jest to średnia arytmetyczna ilorazu różnicowego przy obliczaniu pochodnej prawostronnej (rys. 1.4 i górna cienka linia na rysunku 1.8) i ilorazu różnicowego przy obliczaniu pochodnej lewostronnej (rys. 1.5 i dolna cienka linia na rysunku 1.8). W granicy Δx → 0 oba człony w nawiasie kwadratowym dążą do tej samej granicy, równej f ′(x). Zatem: jeżeli Δx będzie dążyć do zera, sieczna symetryczna będzie dążyć do stycznej. Tak więc dla dostatecznie „porządnych” funkcji będzie obowiązywał wzór:

(1.11)

Przykład 1

Zastosujmy wzór 1.9 do naszej funkcji (wzór 1.7):

f (x) = – x² + 2x.

(1.12)

Mamy więc:

f (x₀ + Δx) = – (x₀ + Δx)² + 2(x₀ + Δx) = – x₀² – 2x₀Δx – Δx² + 2x₀ + 2Δx;

(1.13)

f (x₀ – Δx) = – (x₀ – Δx)² + 2(x₀ – Δx) = – x₀² + 2₀xΔx – Δx² + 2x₀ – 2Δx;

(1.14)

f (x₀ + Δx) – f (x₀ – Δx) = – 4x₀Δx + 4Δx = (– 4x₀ + 4)Δx;

(1.15)

(1.16)

Dla x₀ = 0,5 pochodna f ′(x₀) = 1, zgodnie z poprzednimi rezultatami.

Zwróćmy uwagę: w naszych obliczeniach uzyskaliśmy rezultat niezależny od wyboru wielkości Δx. Jest to wynik ścisły, do czego wrócimy w paragrafie 1.8.

Przykład 2

Wzór 1.12 przedstawia funkcje potęgową drugiego stopnia. Nasuwa się więc pytanie: czy wzór 1.9 daje wynik ścisły na pochodną dla dowolnej funkcji drugiego stopnia o postaci

f (x) = ax² + bx + c;

(1.17)

gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi? Sprawdźmy to!

f (x₀ + Δx) = a(x₀ + Δx)² + b(x₀ + Δx) + c =

(1.18)

= ax₀² + 2ax₀Δx + aΔx² + bx₀ + bΔx + c;

f (x₀ – Δx) = a(x₀ – Δx)² + b(x₀ – Δx) + c =

(1.19)

= ax₀² – 2ax₀Δx + aΔx² + bx₀ – bΔx + c;

f (x₀ + Δx) – f (x₀ – Δx) = 4ax₀Δx + 2bΔx;

(1.20)

(1.21)

Teraz także uzyskaliśmy wynik niezależny od wyboru wielkości Δx. Jest to wynik ścisły, do czego wrócimy w paragrafie 3.3.

Podsumowując: możemy oczekiwać, że przybliżony wzór na pochodną 1.9 będzie dawał dobre wyniki w sytuacji, kiedy lokalnie funkcja f (x) może być przybliżona przez funkcję drugiego stopnia – czyli jej wykres da się przybliżyć wycinkiem paraboli. Do problemu wrócimy jeszcze przy omawianiu szeregów potęgowych (rozdział 7).

1.6. Funkcja pochodna

Jeżeli funkcja y(x) jest dostatecznie „przyzwoita”[5] – a z takimi zwykle mamy do czynienia w fizyce czy technice – możemy w zasadzie dla każdej wartości x obliczyć pochodną . Utworzymy w ten sposób nową funkcję zmiennej x, którą nazywamy funkcją pochodną funkcji f (x), a w skrócie – pochodną f (x).

Z taką sytuacją mamy do czynienia w pierwszym wspomnianym na początku przykładzie. Położenie ciała (samochodu) x zależy od czasu t i opisane jest funkcją x(t). Prędkość ciała v określona jest oczywiście w każdej chwili t, a jej wartość wskazuje szybkościomierz samochodu. Opisana jest funkcją v(t), która jest funkcją pochodną funkcji opisującej położenie.

W dalszym ciągu tego rozdziału będziemy zajmowali się obliczaniem pochodnych różnych funkcji.

1.7. Numeryczne obliczanie funkcji pochodnej

Nim przystąpimy do poważnych rozważań, proponuję Czytelnikowi wspólną zabawę numeryczną. Obliczanie funkcji pochodnej za pomocą wzoru 1.6 byłoby niezmiernie uciążliwe. Łatwo natomiast to zrobić za pomocą przybliżonego wzoru 1.9.

Aby sporządzić wykres, powinniśmy obliczyć pochodne dla całej siatki równoodległych o d punktów na osi x: … , xN–₁, xN, xN+₁, … (rys. 1.9). Następnie wybieramy sobie Δx istotnie mniejsze od d i stosujemy wzór 1.9, obliczając pochodne we wszystkich wybranych uprzednio punktach siatki.

Rys. 1.9. Ilustracja numerycznego obliczania pochodnej

Przykład

Wybierzmy sobie jakąś konkretną funkcję, na przykład (rys. 1.10, krzywa górna):

.

(1.22)

Przybliżone wartości pochodnej w punktach xN obliczymy stosując wzór, analogiczny do 1.9:

(1.23)

Wyniki tych obliczeń przedstawia krzywa dolna na rysunku 1.10. Przyjęte zostały wartości: d = 0,1 oraz Δx = 0,001.

Rys. 1.10. Krzywa górna: wykres funkcji w przedziale [–2,2]. Krzywa dolna: jej numerycznie obliczona pochodna

Analityczne wyrażenie na omawianą funkcję pochodną podamy w paragrafie 2.4.

Przeanalizujmy przebieg funkcji f ′(x):

1. Dla x > 0 funkcja f (x) jest funkcja rosnącą. Pochodna f ′(x) jest dodatnia.

a. Kąt nachylenia stycznej jest największy w okolicy punktu x ≈ 0,6 i tam wartość pochodnej jest największa.

b. Dla x → ∞ kąt nachylenia stycznej dąży do zera (przebieg funkcji jest „coraz bardziej poziomy”, bo wartość funkcji dąży do jedności), pochodna f ′(x) dąży do zera.

2. Dla x < 0 funkcja f (x) jest funkcją malejącą. Pochodna f ′(x) jest ujemna.

a. Wartość bezwzględna pochodnej jest największa w okolicy punktu x ≈ –0,6.

b. Dla x → – ∞ kąt nachylenia stycznej dąży do zera (przebieg funkcji jest „coraz bardziej poziomy”), pochodna f ′(x) dąży do zera.

3. W punkcie x = 0 styczna jest pozioma, wartość pochodnej f ′(0) = 0.

Możemy dodatkowo zauważyć, że funkcja f (x) spełnia relację (bo (–x)² = x²):

f (–x) = f (x),

(1.24)

czyli jest funkcją parzystą.

Natomiast funkcja f ′(x) spełnia relację

f ′(–x) = –f ′(–x),

(1.25)

czyli jest funkcją nieparzystą. Do sprawy wrócimy jeszcze w paragrafach 1.12 i 2.4.

→ J. Funkcje parzyste, funkcje nieparzyste

1.8. Pochodne funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych

W dalszym ciągu tego rozdziału będziemy obliczać pochodne prostych funkcji. Zacznijmy od funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych nieujemnych, czyli mających postać

y = f (x) = xn.

(1.26)

→ B. Funkcje potęgowe

„Galerię” takich funkcji dla n = 1, 2, 3, 4 przedstawia rysunek 1.11:

– krzywe z punktami ♦ przedstawiają same funkcje,

– krzywe z punktami ☐ – ich funkcje pochodne.

Nim przejdziemy do rozumowań formalnych, przyjrzyjmy się tym wykresom.

1. Wszystkie omawiane funkcje przyjmują wartość równą zeru dla x = 0 (bo 0n = 0) i wartość równą jedności dla x = 1 (bo 1n = 1).

2. Tylko dla n = 1 kąt nachylenia stycznej w zerze jest różny od zera, a więc pochodna jest różna od zera. Dla n = 2, 3, 4 pochodna w zerze jest równa zeru.

3. Dla n = 2 i 4 (parzystych) w punkcie x = 0 funkcja ma minimum.

4. Dla n = 3 (nieparzystego) w punkcie x = 0 funkcja ma punkt przegięcia. Funkcja jest rosnąca, pochodna dla x ≠ 0 jest dodatnia.

5. Kiedy n rośnie, nachylenie stycznej w punkcie x = 1 jest coraz większe, a więc wartość pochodnej jest coraz większa.

Rys. 1.11. Wykresy wybranych funkcji potęgowych f (x) = xn o wykładnikach całkowitych i ich pochodnych

Opiszmy teraz nasze obserwacje w sposób formalny.

Funkcja stała, n = 0

Rozważmy najpierw przypadek najprostszy (nie przedstawiony na rysunku 1.11), czyli funkcję stałą: f (x) = 1 (czyli f (x) = x⁰). Na początku „weźmy sprawę na chłopski rozum”. Wykres funkcji jest prostą poziomą. Styczna do niej jest tą samą prosta poziomą. Kąt nachylenia stycznej i tangens tego kąta są wszędzie równe zeru. Pochodna wszędzie jest równa zeru.

Bardziej formalnie powiemy: licznik ilorazu różnicowego we wzorze 1.6 jest równy zeru dla dowolnego Δx:

Δy = f (x + Δx) – f (x) = 1 – 1 = 0.

(1.27)

Zero podzielone przez dowolną skończoną wartość Δx też jest równe zeru. A zatem pochodna funkcji stałej jest równa zeru.

Funkcja liniowa, n = 1

Rozważmy teraz przypadek f (x) = x (czyli f (x) = x¹). Wykres funkcji f (x) = x jest prostą, nachyloną pod kątem α = 45° = do poziomu (rys. 1.11a). Styczna do tej prostej jest tą samą prostą. Pochodna – czyli tangens nachylenia kąta α – jest równa jedności, bo tg () = 1. Jest więc funkcją stałą, nie zależy od x.

→ C. Łukowa miara kąta

Bardziej formalnie powiemy: dla naszej funkcji licznik ilorazu różnicowego jest równy:

Δy = f (x + Δx) – f (x) = (x + Δx) – x = Δx.

(1.28)

Stąd iloraz różnicowy

(1.29)

Funkcja kwadratowa, n = 2

Dla funkcji f (x) = x² rozumowanie jest trochę bardziej skomplikowane. Wykres funkcji jest parabolą. Kąt nachylenia stycznej α i tangens tego kata tg(α) rosną ze wzrostem x (rys. 1.11b). Możemy do tego przypadku zastosować program numeryczny, z algorytmem określonym wzorem 1.9 (Pochodna x^a). Widzimy, że pochodna funkcji kwadratowej jest funkcją liniową (rys. 1.9), zauważamy przy tym, że f ′(x) = 2x. Dla x < 0 funkcja maleje, pochodna jest mniejsza od zera. Dla x > 0 funkcja rośnie, pochodna jest większa od zera.

Rys. 1.12. Dla funkcji kwadratowej kąt nachylenia stycznej α i tangens tego kata tg α rosną ze wzrostem x

N3 Pochodna x^a.

A teraz rozumowanie formalne (wzór 1.6). Licznik ilorazu różnicowego dla funkcji f (x) = x² jest równy:

Δy = f (x + Δx) – f (x) = (x + Δx)² – x² = x² + 2xΔx + Δx² – x² = 2xΔx + Δx².

(1.30)

Stąd iloraz różnicowy

(1.31)

Pochodna jest granicą tego ilorazu dla Δx dążącego do zera przy ustalonym x. Pierwszy człon od Δx nie zależy, drugi dąży do zera, kiedy Δx → 0. Stąd ostatecznie:

f ′(x) =

(1.32)

Mogliśmy tego oczekiwać, bo wynika to też ze wzoru 1.21 dla a = 1 oraz b = c = 0.

Funkcja trzeciego stopnia

Podobnie przebiega rozumowanie dla funkcji f (x) = x³. Numerycznie można obliczyć pochodną za pomocą programu Num.3, zmieniając wartość wykładnika. Wynik przedstawia rysunek 1.11c, funkcja pochodna jest parabolą.

A formalnie: licznik ilorazu różnicowego jest równy

Δy = f (x + Δx) – f (x) = (x + Δx)³ – x³ = x³ + 3x²Δx + 3xΔx² + Δx³ – x³ = 3x²Δx + 3xΔx² + Δx².

(1.33)

→ A. Potęgi dwumianu

Iloraz różnicowy jest więc równy:

(1.34)

Pochodna jest granicą tego ilorazu dla Δx dążącego do zera przy ustalonym x. Pierwszy człon od Δx nie zależy, a drugi i trzeci dążą do zera, kiedy Δx → 0. Stąd ostatecznie:

(1.35)

Funkcja potęgowa dowolnego stopnia

Podsumowując nasze dotychczasowe wyniki możemy się domyślić, że dla funkcji f (x) = xn, gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią, pochodna jest równa

f ′(x) = nxn–¹.

(1.36)

Wzór ten jest słuszny także dla n ujemnych (patrz niżej) i ułamkowych (patrz §1.9 i §2.3).

Pochodne prostych funkcji zebrane zostały w tabeli w rozdziale M.

Funkcja stopnia –1

Sprawdźmy jeszcze, że wzór 1.23 jest słuszny dla funkcji (ten wynik jest w fizyce ważny dla pola grawitacyjnego i elektrostatycznego). Dla n = –1 oczekujemy wyniku:

f ′(x) = nxn–¹ = (–1) x –1–1 = –x –2 = .

(1.37)

Wykażmy to. Obliczmy najpierw licznik ilorazu różnicowego:

(1.38)

Iloraz różnicowy jest więc równy:

(1.39)

Dla Δx → 0 wyrażenie w nawiasie w mianowniku dąży do x. A więc całość dąży do:

;

(1.40)

czego oczekiwaliśmy.

Spójrzmy jeszcze na rysunek 1.13. Funkcja jest dodatnia, ale maleje. Jej pochodna jest więc ujemna. Kąt nachylenia stycznej jest ujemny, a jego wartość bezwzględna maleje do zera dla x → ∞. Zatem i pochodna funkcji jest ujemna, a jej wartość bezwzględna maleje ze wzrostem x.

Rys. 1.13. Krzywa górna: funkcja ; krzywa dolna: jej pochodna.

1.9. Pochodna pierwiastka

Obliczmy jeszcze pochodną funkcji (rys. 1.14,”leżąca” parabola):

(1.41)

Rys. 1.14. Funkcja i jej pochodna

Funkcja f (x) jest dodatnia i rosnąca. Jej pochodna jest więc dodatnia. Widać z wykresu także, że dla x → 0 kąt nachylenia stycznej dąży do 90° = . Natomiast maleje ze wzrostem x. Oczekujemy, że dla x → 0 pochodna naszej funkcji będzie rosnąć do nieskończoności. Będzie natomiast maleć ze wzrostem x.

Opiszmy to bardziej formalnie. Licznik ilorazu różnicowego ma postać:

(1.42)

Użyliśmy tu triku formalnego: licznik ilorazu różnicowego pomnożyliśmy i podzieliliśmy przez , a następnie wykorzystaliśmy wzór (a – b)(a + b) = a² – b².

Napiszmy teraz iloraz różnicowy:

(1.43)

Dla Δx → 0 pierwiastek dąży do , mianownik wyrażenia 1.43 dąży do . Zatem

(1.44)

Dotychczasowe przykłady pozwalają przypuszczać, że spełniony jest wzór trochę ogólniejszy od 1.36, o postaci

f ′(x) = αxα–¹,

(1.45)

w którym α jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Do pochodnych funkcji potęgowych o dowolnych wykładnikach wymiernych powrócimy jeszcze w paragrafie 2.3.

1.10. Pochodne funkcji trygonometrycznych sin(x) i cos(x)

W paragrafie tym omówimy pochodne funkcji trygonometrycznych sin(x) i cos(x). Wykresy tych funkcji przedstawia rysunek 1.15. Wartości zmiennej x wyrażone są na nim w mierze łukowej, co jest ogólnie przyjęte i w matematyce i w fizyce.

Sinus i cosinus są funkcjami okresowymi. Mają wiele (nieskończenie wiele) maksimów, odległych o 2π, a także wiele minimów, odległych także o 2π.

Przy okazji wprowadźmy nazwę, której będziemy używać wielokrotnie w przyszłości: minima i maksima funkcji określa się wspólną nazwą ekstremum[6]. Ekstrema funkcji sinus i cosinus odległe są oczywiście o π.

Rys. 1.15. Funkcje sinus i cosinus

→ C. Łukowa miara kąta. D. Funkcje trygonometryczne

Sinus

Nim przystąpimy do formalnych rozważań, przyjrzyjmy się funkcji sinus.

a. Styczna do tej funkcji jest pozioma w maksimach i minimach, czyli w punktach x = … –, –,, , , … ( ≈ 1,57). W tych punktach pochodna funkcji sinus znika. Zauważamy: w tych samych punktach zeruje się cosinus.

b. Dla x = 0, 2π, 4π, … kąt nachylenia stycznej jest równy = 45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa 1. W tych punktach wartość 1 przyjmuje cosinus.

c. Dla x = π, 3π, 5π, … kąt nachylenia stycznej jest równy – = –45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa –1. W tych punktach wartość –1 przyjmuje cosinus.

Można na tej podstawie przypuszczać, że pochodną funkcji sinus jest funkcja cosinus. Potwierdzają to obliczenia numeryczne, oparte o algorytm 1.9 (Tabela 1.3, Pochodna sinusa obliczona numerycznie to kolumna 3, cosinus to kolumna czwarta; program Pochodne sinusa i cosinusa). Przyjęte wartości d = 0,2 oraz Δx = 0,001.

Opiszmy teraz problem formalnie. Dla funkcji f (x) = sin(x) licznik ilorazu różnicowego (wzór 1.6) jest równy:

(1.46)

Tabela 1.3. Pochodna sinusa

x

f = sin(x)

f ′(x)

cos(x)

0,0

0

1

1

0,2

0,198669

0,980066

0,980067

0,4

0,389418

0,921061

0,921061

0,6

0,564642

0,825335

0,825336

0,8

0,717356

0,696707

0,696707

1,0

0,841471

0,540302

0,540302

1,2

0,932039

0,362358

0,362358

1,4

0,98545

0,169967

0,169967

1,6

0,999574

–0,0292

–0,0292

1,8

0,973848

–0,2272

–0,2272

Pochodne sinusa i cosinusa. N.Numeryczne. Num.4

Zastosowaliśmy tu ogólny wzór:

(1.47)

→ E. Tożsamości trygonometryczne

Iloraz różnicowy jest więc równy:

(1.48)

Interesuje nas granica ilorazu różnicowego dla Δx → 0. Iloraz różnicowy ma postać iloczynu dwóch funkcji. Człon w argumencie funkcji cosinus dąży do zera, pierwszy czynnik dąży więc do cos(x). Wyrażenie dla Δx → 0 dąży do jedności, bo dla małych Δx funkcja sin(Δx/2) ≈ Δx/2.

Granica sin(x)/x dla x dążącego do 0 → D. Funkcje trygonometryczne

(1.49)

Cosinus

Mamy teraz znaleźć pochodną f (x) = cos(x). Przyjrzyjmy się tej funkcji (rys. 1.15).

a. Styczna do wykresu funkcji jest pozioma w maksimach i minimach, czyli w punktach x = 0, π, 2π, 3π, … . W tych punktach pochodna funkcji cosinus znika. Zauważamy: w tych samych punktach zeruje się sinus.

b. Dla x = , , … kąt nachylenia stycznej jest równy – = –45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa –1. W tych punktach funkcja sinus przyjmuje wartość 1.

c. Dla x = , ,… kąt nachylenia stycznej jest równy = 45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa 1. W tych punktach funkcja sinus przyjmuje wartość –1.

Można na tej podstawie przypuszczać, że pochodną funkcji cos(x) jest funkcja – sin(x). Potwierdzają to obliczenia numeryczne, oparte o algorytm 1.9.

Pochodne sinusa i cosinusa N. Numeryczne. Num. 4

A bardziej formalnie: licznik ilorazu różnicowego jest równy

(1.50)

bo:

(1.51)

→ E. Tożsamości trygonometryczne

Stąd

(1.52)

Dla Δx → 0 pierwszy czynnik wyrażenia dąży do sin(x), a drugi do jedności. Zatem

(1.53)

Pochodną funkcji tg(x) zajmiemy się w następnym rozdziale.

Przypisy

[1] Symbol pochodzi od łacińskiego słowa limes – granica.

[2] Do zależności ciepła właściwego od temperatury wrócimy jeszcze w rozdziale 5, paragraf 5.10.

[3] Lagrange Joseph Luis (1736–1813) uczony francuski, zajmował się matematyką i mechaniką teoretyczną..

[4] Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) niemiecki filozof i matematyk, jeden z twórców rachunku różniczkowego i całkowego.

[5] W tej książeczce będziemy omijać wszystkie subtelności matematyczne, które można znaleźć w dowolnym podręczniku analizy matematycznej.

[6] Nazwa pochodzi z łaciny: extremus – najdalszy, ostatni. W języku potocznym mówimy o „ekstremalnych zjawiskach pogodowych”. Może to dotyczyć wyjątkowo wysokich temperatur (skrajnych upałów), ale i wyjątkowo niskich temperatur (rzadko spotykanych mrozów).