Projekt okładki i stron tytułowych: Barbara Ćwik

Ilustracja na okładce: Autorzy

Wydawca: Adam Filutowski

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Małgorzata Kopczyńska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład i łamanie: Fixpoint Krzysztof Rudnik

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2022r., (wyd. 1)

Warszawa 2022

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

ISBN 978-83-01-22250-5

DOI: https://doi.org/10.53271/2022.019

Wydawnictwo Naukowe PWN SA
02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2
tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288
infolinia 801 33 33 88
e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl
www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN SA: mobisfera.pl

Wstęp

Fundamentalnym pojęciem nie tylko matematyki, lecz każdej nauki ścisłej, jest aproksymacja czyli przybliżanie. W praktyce rzadko bowiem zdarza się sytuacja, w której badany obiekt można opisać z idealną dokładnością. To z reguły stwarza konieczność założenia, że należy on do pewnej prostszej i lepiej poznanej klasy obiektów. Mówiąc krótko, nasz obiekt zainteresowań aproksymujemy prostszym. Za to płacimy pewną cenę, gdyż to, co naprawdę nas interesuje, zastępujemy pewnym substytutem. Jak wysoka jest to cena i jak znaleźć optymalny substytut – to problemy, którymi zajmuje się teoria aproksymacji.

Aproksymować w matematyce można każdy obiekt, a przybliżaniem dokładnych rozwiązań wybranych równań kwadratowych zajmowali się już Babilończycy. Ze względów historycznych nazwa „teoria aproksymacji” odnosi się jednak zazwyczaj do procesu przybliżania funkcji. Dlatego formuła Newtona wielomianu interpolacyjnego i wzór Taylora, pochodzące z początku XVIII wieku, są pierwszymi powszechnie znanymi imiennymi rezultatami tego działu matematyki. Innym klasycznym wynikiem, choć znacznie późniejszym, jest twierdzenie Weierstrassa z 1885 roku, które głosi, że każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym o wartościach rzeczywistych można przybliżać wielomianami z dowolnie dobrą dokładnością. Teorią aproksymacji zajmowało się także wielu innych wybitnych matematyków. Kluczowe role odegrali między innymi: S.N. Bernstein, P.L. Czebyszew, J.B. Fourier, C.F. Gauss, A. Haar, D. Jackson, A. Kołmogorow, J.L. Lagrange, J. Marcinkiewicz, A.A. i W.A. Markow oraz Ch. J. de la Vallée Poussin.

Wraz z rozwojem analizy funkcjonalnej, okazało się, że wiele problemów rozważanych dotychczas w odniesieniu do aproksymacji funkcji ma swoje odpowiedniki w znacznie szerszym kontekście przestrzeni unormowanych. Dlatego rezultaty teorii aproksymacji uzyskane w przestrzeniach unormowanych można traktować jako teoretyczny fundament całej dziedziny. Silne relacje wiążą teorię aproksymacji nie tylko z analizą funkcjonalną, ale także z analizą rzeczywistą, zespoloną, teorią mnogości, algebrą liniową i topologią. Przed podjęciem zmagań z jej problemami, warto więc dysponować podstawową wiedzą z tych działów matematyki.

Celem niniejszej książki jest zaprezentowanie Czytelnikowi zestawu ciekawych zadań związanych z aproksymacją, różnorodnych pod względem tematyki, poziomu trudności oraz metod rozwiązywania. Poświęciliśmy dużo uwagi temu, aby zadania były precyzyjnie sformułowane, a zaprezentowane rozwiązania zawierały kompletne rozumowania ze szczegółowym wyjaśnieniem wszystkich kroków. Pragnęliśmy stworzyć dla Czytelnika odpowiednie warunki do samodzielnego rozwijania umiejętności myślenia matematycznego przy jednoczesnym poznawaniu teorii aproksymacji. Zadania dobieraliśmy w sposób metodyczny, biorąc pod uwagę zarówno progresję tematyczną, jak i złożoność problemów. Wydaje się, że brakuje podobnej pozycji na polskim rynku wydawniczym, a nawet wśród literatury anglojęzycznej. Warto jednak zaznaczyć, że zbiór zadań, który oddajemy w ręce Czytelnika, nie zawiera przeglądu głównych twierdzeń teorii aproksymacji, a dotyczy jedynie wybranych zagadnień. Aby ten brak zrekompensować, w ostatnim rozdziale wskazaliśmy listę wybranych pozycji bibliograficznych, które osobom zainteresowanym pomogą pogłębić znajomość teorii aproksymacji.

Zadania podzieliliśmy tematycznie na rozdziały, umieszczając w każdym z nich około 10-15 zadań. Łącznie dało to około 300 zadań. Są one bardzo zróżnicowane pod względem charakteru i poziomu trudności. Przedstawiliśmy zarówno zadania obliczeniowe, jak i takie, które wymagają wyobraźni i myślenia geometrycznego. Wiele z nich wymaga niebanalnego pomysłu. Kluczem do wielu zadań jest umiejętność kojarzenia i dopasowywania wcześniej poznanych faktów. Z tego powodu warto czasami sięgnąć po klasyczny podręcznik teorii aproksymacji (np. jeden z wymienionych w ostatnim rozdziale), aby zyskać inną perspektywę na omawiane przez nas problemy

W pierwszym rozdziale przedstawiliśmy informacje potrzebne do rozpoczęcia pracy nad zadaniami. Dokonaliśmy tutaj krótkiego przeglądu wiedzy wymaganej od Czytelnika. Przyda się zwłaszcza znajomość podstaw analizy matematycznej, zespolonej, funkcjonalnej i topologii. Pierwszy rozdział pomoże usystematyzować potrzebne informacje, gdyż zamieszczamy w nim również podstawowe definicje i oznaczenia, z których będziemy korzystać wielokrotnie w tej książce. Dodatkowo podajemy też kilka twierdzeń, które można wykorzystać, rozwiązując zadania. Zainteresowany Czytelnik bez problemu odnajdzie ich dowody w literaturze. Nie ma potrzeby studiowania tych twierdzeń przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań, gdyż we wstępie do każdego rozdziału będziemy wymieniać twierdzenia, które mogą okazać się przydatne. Dla wygody Czytelnika, na początku każdego rozdziału zamieściliśmy również krótki wstęp teoretyczny, w którym przedstawiamy definicje i pojęcia potrzebne w danym rozdziale. Przypominamy też o zadaniach z rozdziałów wcześniejszych, które mogą okazać się użyteczne. Staramy się więc w przejrzysty i zwięzły sposób podać wszystko to, co jest potrzebne do rozwiązywania zadań danego rozdziału.

Zachęcamy Czytelnika do uważnego czytania treści zadań i podejmowania próby ich rozwiązania. W razie wątpliwości pomocne będą rozwiązania. Prezentowane zadania często kryją ważne koncepcje, opowiadając w ten sposób pewną historię. Ułożenie zadań w rozdziale nie jest przypadkowe; wcześniejsze zadania można często wykorzystać w zadaniach po nich następujących. Zadania są więc ułożone raczej w ciągu przyczynowo-skutkowym, niż według poziomu trudności. Zadania bardzo trudne oznaczyliśmy gwiazdką. W przypadku tych zadań warto uzbroić się w cierpliwość, nie zniechęcać się łatwo, a na koniec przeczytać uważnie ich rozwiązania.

Tematy kolejnych rozdziałów dobieraliśmy zgodnie z zasadą: od zagadnień ogólnych do szczegółowych. W rozdziale drugim zaczynamy więc od bardzo uniwersalnych przestrzeni metrycznych. W rozdziale trzecim przechodzimy do sytuacji przestrzeni unormowanych. Te dwa rozdziały mają charakter wstępny i mają służyć lepszemu poznaniu przez Czytelnika kluczowych pojęć teorii aproksymacji. Bardzo dużo uwagi poświęciliśmy fundamentom teorii aproksymacji związanym z analizą funkcjonalną. Okazuje się, że istnieją głębokie i zaskakujące relacje pomiędzy własnościami aproksymacyjnymi, a geometrią danej przestrzeni unormowanej. Odkrywaniu tych związków poświęcone są rozdziały 3 do 11. W rozdziale 14 przechodzimy do zagadnień związanych z aproksymacją w przestrzeniach funkcyjnych, która pozostaje w ścisłej relacji z tematyką rozdziałów wcześniejszych. W rozdziałach od 15 do 17 zajmujemy się coraz bardziej specyficznymi przestrzeniami, by w rozdziale 18 przejść wreszcie do zagadnień związanych bezpośrednio z wielomianami algebraicznymi i trygonometrycznymi. Rozdziały od 18 do 22 skupiają się więc na problemach aproksymacji wielomianowej.

Jak wcześniej wspomnieliśmy, chociaż celem tej książki nie jest przedstawienie systematycznego przeglądu rezultatów teorii aproksymacji, to jednak wiele słynnych twierdzeń znalazło swoje miejsce w tym zbiorze. Zadania dotyczące tych twierdzeń podzieliliśmy na serię mniejszych i bardziej przystępnych kroków. W ten sposób Czytelnik może sam odkryć i udowodnić fundamentalne rezultaty teorii aproksymacji. Spośród twierdzeń, które można odnaleźć w zadaniach, wymieniamy poniżej tylko niektóre.

1. Twierdzenie Kadeca o lokalnie jednostajnie wypukłej normie równoważnej (zadanie 7.12).

2. Twierdzenie o jednostajnej wypukłości przestrzeni Lp(μ) (zadanie 7.14).

3. Twierdzenie Motzkina o wypukłości zbiorów Czebyszewa w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta (zadanie 8.8).

4. Twierdzenia charakteryzujące element najlepszej aproksymacji w przestrzeniach Lp (zadania 10.8 i 10.9).

5. Twierdzenie Hobby’ego–Rice’a (zadanie 10.14).

6. Twierdzenie Philipsa o nieistnieniu projekcji liniowej i ciągłej z ℓ∞ na c₀ (zadanie 12.12).

7. Kryterium Kołmogorowa o aproksymacji w przestrzeni funkcji ciągłych (zadanie 14.2).

8. Twierdzenie Haara o równoważności warunków Haara i Czebyszewa (zadanie 14.6).

9. Twierdzenie de la Vallée Poussina (zadanie 14.15).

10. Twierdzenie o alternansie (zadanie 14.16).

11. Szczególny przypadek twierdzenia Bernsteina o letargu (zadanie 17.15).

12. Twierdzenie o oszacowaniu błędu interpolacji (zadanie 18.7).

13. Twierdzenie Korowkina o zbieżności operatorów dodatnich (zadanie 19.5).

14. Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami (zadanie 19.10).

15. Twierdzenie Łozińskiego o minimalności projekcji Fouriera (zadanie 20.14).

16. Twierdzenia Jacksona (zadania 21.8 i 21.10) o szybkości aproksymacji wielomianami.

17. Nierówność Szegő (zadanie 22.1).

18. Nierówność Bernsteina dla wielomianów trygonometrycznych (zadanie 22.3).

19. Nierówność Markowa (zadanie 22.6).

20. Twierdzenie Cauchy’ego o położeniu pierwiastków wielomianu (zadanie 23.2)

Z całą pewnością istnieje jeszcze wiele ciekawych tematów związanych z aproksymacją, które nie zostały poruszone w tym zbiorze. Mamy jednak nadzieję, że przedstawiliśmy w postaci zadań szeroki zakres pomysłów i koncepcji z różnych gałęzi teorii aproksymacji. Czytelnika zainteresowanego dalszym poznawaniem tej tematyki, zachęcamy do rozdziału poświęconego literaturze, w którym podajemy szereg pozycji, dzięki którym można dalej zgłębiać swoją wiedzę. Wierzymy, że po ukończeniu pracy z zaprezentowanymi tu zadaniami, Czytelnik będzie gruntownie przygotowany do kontynuacji swojej przygody z problemami tej dziedziny.

Życzymy miłych chwil spędzonych z teorią aproksymacji!

Autorzy

1. Informacje podstawowe

Pierwszy rozdział poświęcony jest wprowadzeniu kluczowych pojęć teorii aproksymacji, które będą wielokrotnie pojawiać się w zadaniach tego zbioru i których znajomość jest konieczna do zrozumienia dalszej części. Podamy również pewną niewielką liczbę niezbędnych oznaczeń, które będą obowiązywać w kolejnych rozdziałach tej książki. Inne potrzebne pojęcia i oznaczenia będą wprowadzane w tych rozdziałach, w których będą obowiązywać. Teoria aproksymacji jest dziedziną, która jest ściśle związana z innymi działami matematyki i dlatego będą nam potrzebne również pewne podstawowe informacje z analizy matematycznej, funkcjonalnej i zespolonej. W celu usystematyzowania potrzebnej wiedzy, podajemy w tym rozdziale kilka twierdzeń z tych dziedzin. Nie będziemy ich dowodzić, ale dowody można bez problemu znaleźć w klasycznej literaturze. Nie ma potrzeby dogłębnego ich studiowania przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań, gdyż na początku każdego rozdziału podajemy informacje o tym, które twierdzenia mogą okazać się użyteczne. Oprócz tego, pewne dodatkowe twierdzenia podajemy już w konkretnych rozdziałach.

Zbiór liczb naturalnych, rozumiany w tym wypadku jako zbiór liczb całkowitych dodatnich będziemy oznaczać przez . Zbiór liczb całkowitych nieujemnych będziemy oznaczać jako ₀. Symbol oznacza natomiast zbiór wszystkich liczb całkowitych.

Przestrzenie metryczne

Aby mówić o aproksymowaniu, czyli przybliżaniu pewnych obiektów, musimy mieć możliwość mierzenia odległości. Pojęcia teorii aproksymacji mają więc sens tylko w sytuacji, gdy dysponujemy co najmniej metryką, czyli w tak zwanych przestrzeniach metrycznych. Jeżeli X jest niepustym zbiorem, to funkcję d : X×X → nazywamy metryką w (lub na) X, gdy spełnione są warunki:

(a) d(x,y) ≥ 0 dla dowolnych x,y ∈ X, a równość d(x,y) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.

(b) d(x,y) = d(y,x) dla dowolnych x,y ∈ X.

(c) d(x,y) ≤ d(y,z) + d(z,x) dla dowolnych x,y,z ∈ X.

W takiej sytuacji parę (X,d) będziemy nazywać przestrzenią metryczną. Na szczególną uwagę zasługuje ostatni warunek, który nosi nazwę nierówności trójkąta. Jak okaże się w kolejnych rozdziałach, będzie to jedno z fundamentalnych narzędzi potrzebnych do rozwiązywania zadań z tego zbioru.

Kluczowe pojęcia teorii aproksymacji

Załóżmy teraz, że (X,d) jest przestrzenią metryczną, a V niepustym podzbiorem X. Mając już możliwość mierzenia odległości pomiędzy elementami X, możemy bez trudu zdefiniować odległość elementu od zbioru. Jeżeli x ∈ X, to definiujemy odległość x od zbioru V , w skrócie dist(x,V ), jako

Tę odległość nazywamy też czasem błędem aproksymacji. Zbiór elementów realizujących powyższe infimum oznaczany jest jako PV (x), czyli

Jak wiadomo, infimum nie musi być realizowane przez jakiś konkretny element, więc PV (x) może być zbiorem pustym. Element v₀ ∈ PV (x) nazywamy elementem najlepszej aproksymacji (lub elementem optymalnym) dla x w zbiorze V . Jasne jest, że PV (x) = {x} dla x ∈ V.

Jeżeli dla dowolnego x ∈ X zbiór PV (x) jest niepusty, to V nazywamy zbiorem proksyminalnym w X. Ponadto, jeżeli dla dowolnego x ∈ X zbiór PV (x) zawiera dokładnie jeden element, to V nazywamy zbiorem Czebyszewa w X. Przyjmujemy następującą konwencję: jeżeli w danej sytuacji będzie jasne, że V jest zbiorem Czebyszewa, to w celu uproszczenia notacji, zapisem PV (x) będziemy często oznaczać jedyny element w tym zbiorze (chociaż formalnie jest to zbiór). Odległość elementu od zbioru, zbiór elementów najlepszej aproksymacji, zbiory proksyminalne i Czebyszewa to podstawowe pojęcia niniejszego zbioru zadań. Zdecydowana większość z tych zadań dotyczy bezpośrednio przynajmniej jednego z tych pojęć. Pozostałe zadania, nawet jeżeli nie dotyczą ich bezpośrednio, to wiążą się z nimi w inny, mniej oczywisty sposób.

Przestrzenie unormowane

Kluczowe pojęcia teorii aproksymacji mają sens w każdej przestrzeni metrycznej, ale kontekst ogólnej przestrzeni metrycznej jest generalnie niewystarczający, żeby zbudować bogatą teorię opartą na tych pojęciach. Z tego względu zdecydowana większość zadań w tym zbiorze poświęcona jest teorii aproksymacji w przestrzeniach unormowanych (lub jeszcze bardziej specyficznych). Przestrzeń unormowana różni się od metrycznej tym, że jej elementy tworzą przestrzeń wektorową nad pewnym ciałem, a metryka pochodząca od normy jest kompatybilna ze strukturą przestrzeni wektorowej. To daje dużo więcej możliwości badania kluczowych pojęć teorii aproksymacji. Wszystkie przestrzenie liniowe w tym zbiorze zadań będą rozpatrywane nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, czyli = lub = . Ponadto, przyjmujemy taką konwencję, że jeżeli w treści zadania nie jest sprecyzowane, o którym ciele jest mowa, to dotyczy ono obydwu tych ciał (chociaż przypadek rzeczywisty i zespolony mogą różnić się od siebie i wymagać osobnych rozumowań). W zadaniach dotyczących konkretnych ciał, zawsze jest to dokładnie sprecyzowane. Załóżmy więc, że X jest przestrzenią wektorową (liniową) nad ciałem . Norma na przestrzeni X to odwzorowanie ||⋅|| : X → , które spełnia następujące warunki:

||x||≥ 0 dla dowolnego x ∈ X, a równość ||x|| = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.

||ax|| = |a|||x|| dla dowolnego wektora x ∈ X oraz skalara a ∈ .

||x + y||≤||x|| + ||y|| dla dowolnych x,y ∈ X.

Parę (X,||⋅||) nazywamy przestrzenią unormowaną. Łatwo sprawdzić, że każda norma generuje metrykę na X, która dla x,y ∈ X dana jest jako ||x − y||. Ze względu na związek ze strukturą liniową X, norma niesie jednak znacznie więcej informacji. Warto również zaznaczyć, że także i w tym przypadku, nierówność dana w ostatnim warunku nazywana jest nierównością trójkąta. Kula w przestrzeni X o środku w punkcie x i promieniu r > 0, jest zbiorem

Symbol BX = B(0,1) będzie oznaczał kulę jednostkową w przestrzeni X o środku w zerze i promieniu 1. Sfera jednostkowa, czyli brzeg tej kuli, oznaczana jest jako SX. Centralnym obiektem zainteresowań analizy funkcjonalnej jest pewna rodzina przestrzeni unormowanych, nazywanych przestrzeniami Banacha. Przestrzeń unormowana (X,||⋅||) jest przestrzenią Banacha, jeżeli X jest przestrzenią zupełną, czyli gdy każdy ciąg Cauchy’ego elementów X jest ciągiem zbieżnym w X. Jeżeli X jest przestrzenią wektorową, a V niepustym podzbiorem X, to przez linV oznaczamy najmniejszą (w sensie inkluzji) podprzestrzeń liniową X, która zawiera V . Normy ||⋅||₁ oraz ||⋅||₂ na przestrzeni wektorowej X nazwiemy równoważnymi, gdy istnieją stałe A,B > 0 takie, że dla dowolnego x ∈ X spełniony jest warunek A||x||₁ ≤||x||₂ ≤ B||x||₁.

Z punktu widzenia teorii aproksymacji szczególnie ważną rolę odgrywa tak zwana przestrzeń dualna do danej przestrzeni unormowanej. Jeżeli (X,||⋅||) jest przestrzenią unormowaną nad ciałem , to przestrzeń dualna (X∗,||⋅||∗) jest również przestrzenią unormowaną nad ciałem , która jest zdefiniowana następująco:

oraz ||f||∗ = supx∈BX|f(x)|. Odwzorowanie f ∈ X∗ nazywa się funkcjonałem. Przestrzeń dualna pozwala wprowadzić w przestrzeni X alternatywną topologię do topologii wyznaczonej przez normę. Topologia słaba w X to topologia dana przez bazę otoczeń zera postaci

gdzie ε > 0, n ∈ oraz f₁,f₂,…,fn ∈ X∗. W przestrzeni dualnej X∗ możemy wprowadzić jeszcze inną topologię. Topologia *-słaba w X∗ jest topologią daną przez bazę otoczeń zera postaci

Jeżeli (xn)n=1∞ jest ciągiem wektorów przestrzeni X oraz x ∈ X jest dowolnym wektorem, to zbieżność xn → x w topologii słabej jest równoważna temu, że dla dowolnego funkcjonału f ∈ X∗ zachodzi zbieżność f(xn) → f(x). Podobnie, jeśli (fn)n=1∞ jest ciągiem funkcjonałów z X∗, a f ∈ X∗ jest dowolnym funkcjonałem, to zbieżność fn → f w topologii ∗-słabej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy fn(x) → f(x) dla dowolnego wektora x ∈ X. Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to kanoniczne zanurzenie j : X → X∗∗ dane jest wzorem j(x)(f) = f(x) dla x ∈ X oraz f ∈ X∗. Nietrudno sprawdzić, że jest to izometria liniowa. Jeżeli jest ona surjektywna, to przestrzeń X nazywamy refleksywną. W tym przypadku topologia słaba w X∗ pokrywa się z topologią ∗-słabą. Wiadomo, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana jest refleksywna. Dla dowolnego operatora liniowego T : X → Y , gdzie (X,||⋅||X),(Y,||⋅||Y ) są przestrzeniami unormowanymi, jego normę definiuje się podobnie jak w przypadku funkcjonałów, czyli ||T|| = supx∈BX||T(x)||Y . Przestrzeń unormowaną X nazywamy ośrodkową, gdy istnieje przeliczalny zbiór gęsty w X.

Przestrzenie unitarne

Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem , gdzie = lub = . Iloczynem skalarnym na X nazywamy funkcję ⟨⋅,⋅⟩ : X ×X → , która posiada następujące własności:

⟨x,x⟩≥ 0 dla x ∈ X i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.

⟨x + y,z⟩ = ⟨x,z⟩ + ⟨y,z⟩ dla x,y,z ∈ X.

⟨ax,y⟩ = a⟨x,y⟩ dla dowolnych wektorów x,y ∈ X oraz skalara a ∈ .

⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩ dla x,y ∈ X.

Można udowodnić, że jeżeli ⟨⋅,⋅⟩ jest iloczynem skalarnym na X, to ||x|| = jest normą na przestrzeni X. W takiej sytuacji mówimy, że ||⋅|| jest normą indukowaną przez iloczyn skalarny ⟨x,x⟩, natomiast parę (X,⟨⋅,⋅⟩) nazywamy przestrzenią unitarną. Tego pojęcia używamy również dla pary (X,||⋅||), kiedy wiadomo, że ||⋅|| jest normą indukowaną przez pewien iloczyn skalarny. Jeżeli dodatkowo X jest przestrzenią zupełną z topologią wyznaczoną przez normę, to przestrzeń (X,⟨⋅,⋅⟩) lub (X,||⋅||) nazywamy przestrzenią Hilberta. Jeżeli (X,⟨⋅,⋅⟩) jest przestrzenią unitarną, to wektory x,y ∈ X nazywamy prostopadłymi, gdy zachodzi równość ⟨x,y⟩ = 0.

Wypukłość

Jeżeli X jest przestrzenią wektorową nad ciałem , to zbiór V ⊆ X nazywamy wypukłym, gdy dla dowolnych a,b ∈ V oraz dowolnej liczby rzeczywistej t ∈ [0,1] spełniony jest warunek ta + (1 − t)b ∈ V . Innymi słowy, odcinek o końcach a i b jest w całości zawarty w V . Przez conv V oznaczamy najmniejszy zbiór wypukły zawierający V i nazywamy otoczką wypukłą zbioru V. Klasycznym faktem znanym z algebry liniowej jest możliwość przedstawienia otoczki wypukłej jako zbioru kombinacji wypukłych, czyli

Punkt x ∈ V nazywamy punktem ekstremalnym zbioru V , gdy nie istnieją punkty y,z ∈ V takie, że y≠z oraz x = ty + (1 − t)z dla pewnego t ∈ (0,1).

Klasyczne przestrzenie

Podstawowym problemem teorii aproksymacji jest przybliżanie pewnych elementów bardziej specyficznymi, a w szczególności przybliżanie ogólnych funkcji wielomianami. Przestrzeń wielomianów odgrywa w tym zbiorze zadań istotną rolę. Jeżeli n ∈ ₀, to przez n() oznaczamy przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej n o współczynnikach w ciele , gdzie = lub = . Jest to oczywiście przestrzeń liniowa nad ciałem . Będziemy pisać skrótowo n, jeżeli ciało jest dowolne. W przypadku przestrzeni wielomianów dowolnego stopnia będziemy pomijać indeks i pisać () (lub po prostu ).

Wprowadzimy teraz szereg klasycznych przestrzeni unormowanych, do których będziemy wielokrotnie odwoływać się w zadaniach. Dla 1 ≤ p < ∞ definiujemy przestrzeń unormowaną (ℓp,||⋅||p) jako przestrzeń ciągów (xk)k=1∞ o wyrazach w ciele , które spełniają warunek

Struktura przestrzeni wektorowej jest wprowadzona w sposób naturalny, czyli dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar odbywa się po współrzędnych. Norma w tej przestrzeni jest zdefiniowana dla x = (xk)k=1∞ jako

Powyższa definicja rozszerza się również w naturalny sposób na przypadek p = ∞. W tym przypadku, ℓ∞ jest przestrzenią ciągów x = (xk)k=1∞, które spełniają warunek supk≥1|xk| < ∞, a norma dana jest jako ||x||∞ = supk≥1|xk|. Można wykazać, że wszystkie przestrzenie ℓp (dla 1 ≤ p ≤∞) są przestrzeniami Banacha.

Na szczególną uwagę zasługuje przypadek p = 2, czyli przestrzeń ℓ₂. Jest to przestrzeń Hilberta z iloczynem skalarnym danym dla x = (xk)k=1∞ i y = (yk)k=1∞ jako

Można udowodnić, że jeżeli p≠2, to przestrzeń ℓp nie jest przestrzenią unitarną.

Normy ℓp można rozważać również w niektórych innych przestrzeniach ciągowych. Dla przykładu, można je rozpatrywać w skończenie wymiarowej przestrzeni n dla dowolnego n ∈ (wówczas mamy oczywiście do czynienia ze skończonymi sumami). Taką n-wymiarową przestrzeń z normą ℓp będziemy oznaczać jako ℓpn. Normę ℓ₂ w przestrzeni n-wymiarowej nazywamy normą euklidesową. Jest to przestrzeń Hilberta, a indukowaną przez nią metryka jest tą, która jest najbardziej intuicyjna dla przestrzeni n-wymiarowej. W każdej sytuacji, w której będziemy mówili o normie ℓp, ale mając inną przestrzeń bazową niż ta standardowa, będziemy mieli na myśli normę zdefiniowaną jak powyżej.

Oprócz powyżej zdefiniowanych przestrzeni ℓp, do klasycznych przestrzeni ciągowych należą również przestrzenie c, c₀ i c₀₀. Elementami przestrzeni c są ciągi zbieżne, czyli takie ciągi (xk)k=1∞, że istnieje skończona granica limk→∞xk. Elementami przestrzeni c₀ są ciągi zbieżne do 0, czyli takie ciągi (xk)k=1∞, że limk→∞xk = 0. Elementami przestrzeni c₀₀ są ciągi, które od pewnego miejsca są stale równe 0, czyli ciągi (xk)k=1∞, dla których istnieje N ∈ takie, że xk = 0 dla k ≥ N. W przestrzeniach c, c₀ i c₀₀ rozważa się standardowo normę ℓ∞, czyli supremum z modułu współrzędnych. Wprost z definicji jasne jest, że zachodzą inkluzje c₀₀ ⊆ c₀ ⊆ c ⊆ ℓ∞. Można udowodnić, że przestrzenie c₀ i c są przestrzeniami Banacha, a przestrzeń c₀₀ nią nie jest.

Kolejną klasą przestrzeni unormowanych, która odgrywa bardzo istotną rolę w teorii aproksymacji, są przestrzenie funkcyjne. Przestrzenie ciągowe ℓp mają swoje szerokie uogólnienie w tej klasie. Niech bowiem (Ω,Σ,μ) będzie przestrzenią z miarą. Dla 1 ≤ p < ∞ definiujemy przestrzeń Banacha Lp(Ω,Σ,μ) (oznaczaną też w skrócie Lp(Ω,μ), jeżeli nie ma potrzeby wyróżniania σ-algebry) jako przestrzeń złożoną z klas abstrakcji funkcji mierzalnych f : Ω → , które spełniają warunek

przy czym dwie funkcje f,g uznajemy za równoważne, jeżeli równość f(t) = g(t) zachodzi dla prawie wszystkich t ∈ Ω. Bez trudu można sprawdzić, że jest to przestrzeń wektorowa z działaniem dodawania funkcji i mnożenia przez skalar zdefiniowanych w naturalny sposób. Norma w tej przestrzeni zdefiniowana jest następująco

Formalnie rzecz biorąc, elementami przestrzeni Lp(Ω,μ) są klasy abstrakcji funkcji, a nie same funkcje, ale w praktyce łatwiej jest działać na samych funkcjach, pamiętając o tym, że dwie funkcje są ze sobą utożsamiane, gdy są równe prawie wszędzie. Podobnie jak wcześniej osobnego traktowania wymaga przypadek p = ∞. W tej sytuacji rozważamy funkcje f : Ω → , które spełniają warunek: istnieje C > 0 takie, że |f(t)|≤ C dla prawie wszystkich t ∈ Ω. Infimum z takich liczb C > 0, które mają tę własność, jest normą funkcji f i oznaczamy ją jako ||f||∞. Dla wszystkich 1 ≤ p ≤∞ przestrzeń Lp(Ω,μ) jest przestrzenią Banacha. Jest to przestrzeń Hilberta wyłącznie dla p = 2 i wówczas iloczyn skalarny funkcji f,g ∈ L₂(Ω,μ) dany jest jako

Ciągowe przestrzenie ℓp można traktować jako przypadek szczególny przestrzeni funkcyjnych Lp(Ω,μ), biorąc Ω = z miarą liczącą.

Jeżeli K jest zwartą przestrzenią Hausdorffa, to przez C(K) oznaczamy zbiór funkcji ciągłych f : K → . W tym zbiorze wprowadzamy normę supremum ||⋅||∞, czyli ||f||∞ = supt∈K|f(t)|. Skoro funkcja ciągła osiąga swoje kresy na zbiorze zwartym, to owe supremum jest równe maksimum. W przeciwieństwie do przypadku funkcji Lp, tym razem operujemy więc funkcjami, a nie ich klasami abstrakcji. Szczególnie często w tym zbiorze, przestrzeń C(K) pojawia się w sytuacji, w której K = [a,b] jest pewnym odcinkiem na osi rzeczywistej dla liczb a < b. Pisząc C[a,b], zawsze będziemy mieć na myśli właśnie taką przestrzeń. Kiedy będziemy mówić o funkcjach klasy Cn na przedziale [a,b], wówczas w krańcach przedziału rozważamy pochodne jednostronne (podobnie dla funkcji klasy C∞). W przypadkach, w których istotne jest wyróżnienie zbioru K, normę supremum będziemy oznaczać również jako ||⋅||K.

Wszystkie powyżej wprowadzone przestrzenie można rozpatrywać zarówno w przypadku rzeczywistym, jak i zespolonym. Jeżeli w zadaniu nie jest to sprecyzowane, to należy rozumieć, że obowiązuje ono w obu przypadkach. Jeżeli norma w danej przestrzeni nie będzie sprecyzowana, to zakładamy, że chodzi o standardową normę w danej przestrzeni (tak jak powyżej). Dla uproszczenia zapisu, będziemy często normę oznaczać po prostu jako ||⋅||, gdy będzie jasne, o której normie jest mowa. Dotyczy to również sytuacji normy operatorowej. Oznacza to w szczególności, że w jednym zadaniu lub rozwiązaniu symbolem ||⋅|| może być oznaczona zarówno norma wektorów z danej przestrzeni, jak i funkcjonałów na niej działających.

Ostatnią klasyczną przestrzenią, do której będziemy się często odwoływać w kolejnych rozdziałach książki, jest przestrzeń rzeczywistych, okresowych funkcji ciągłych o okresie 2π. Będziemy ją oznaczać jako C₀() i rozważamy w niej normę supremum, czyli jeżeli f ∈ C₀(), to ||f||∞ = supx∈|f(x)|. Ze względu na ciągłość i okresowość funkcji, to supremum jest osiągane. Przestrzeń (C₀(),||⋅||∞) jest rzeczywistą przestrzenią Banacha.

Inne oznaczenia

Dla x ∈ przez sgn(x) oznaczamy znak liczby x, czyli

Dla liczby zespolonej z, przez ℜ(z) oznaczamy jej część rzeczywistą. Symbolem D(a,r) oznaczamy koło otwarte o środku w punkcie a ∈ i promieniu r > 0 na płaszczyźnie zespolonej. Przez (a,r) oznaczamy analogiczne koło domknięte, a przez C(a,r) brzeg tego koła, czyli okrąg. Zbiór T = C(0,1) jest okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej, a D =(0,1) kołem jednostkowym. Czasem przez T będziemy również rozumieć okrąg jednostkowy na płaszczyźnie ².

Lista przydatnych twierdzeń

Poniżej zamieszczamy kilka twierdzeń, które mogą przydać się do rozwiązywania zadań z tego zbioru. Ich kolejność niekoniecznie odpowiada kolejności zadań i rozdziałów, w których będą wykorzystywane. Dowody poniższych twierdzeń można znaleźć w klasycznych podręcznikach z analizy matematycznej, funkcjonalnej lub zespolonej.

Twierdzenie 1 (Hahna–Banacha). Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a Y jej podprzestrzenią. Załóżmy, że f : Y → jest funkcjonałem liniowym i ciągłym. Wówczas istnieje funkcjonał liniowy i ciągły f₀ : X → taki, że f₀|Y = f oraz ||f₀|| = ||f||.

Twierdzenie 2 (O wydobywaniu normy). Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a x ∈ X dowolnym wektorem. Wówczas istnieje funkcjonał f ∈ X∗ taki, że ||f|| = 1 oraz f(x) = ||x||.

Twierdzenie 3 (Jamesa). Przestrzeń Banacha X jest przestrzenią refleksywną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego funkcjonału f ∈ X∗ istnieje wektor jednostkowy x ∈ X taki, że f(x) = ||f||.

Twierdzenie 4 (Banacha–Alaouglu). Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to kula jednostkowa BX∗ w przestrzeni dualnej jest zbiorem zwartym w ∗-słabej topologii.

Twierdzenie 5 (O przestrzeni dualnej do Lp(Ω,Σ,μ)). Niech (Ω,Σ,μ) będzie przestrzenią z miarą oraz 1 < p < ∞. Niech q ∈ (1,∞) będzie takie, że + = 1. Wtedy dla dowolnego funkcjonału φ ∈ Lp∗(Ω,Σ,μ) istnieje dokładnie jedna funkcja g ∈ Lq(Ω,Σ,μ) taka, że dla dowolnego f ∈ Lp(Ω,Σ,μ) zachodzi równość

Dodatkowo, w tej sytuacji spełniony jest warunek ||φ||∗ = ||g||q. Również odwrotnie, jeżeli g ∈ Lq(Ω,Σ,μ), to funkcjonał φg, zdefiniowany analogicznie jak powyżej, jest elementem przestrzeni Lp∗(Ω,Σ,μ) i zachodzi równość ||φg||∗ = ||g||q.

Jeżeli p = 1, to stwierdzenie analogiczne do powyższego zachodzi dla q = ∞, przy dodatkowym założeniu, że miara μ jest σ-skończona.

Powyższe twierdzenie nie musi zachodzić dla p = ∞. Przykładowo, nie zachodzi równość ℓ∞∗ = ℓ₁ (prawdziwe jest jedynie zawieranie ℓ₁ ⊆ ℓ∞∗).

Twierdzenie 6 (Tietzego). Niech K będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa, zaś A ⊆ K niepustym i domkniętym podzbiorem. Załóżmy, że f : A → jest odwzorowaniem ciągłym. Wówczas istnieje odwzorowanie ciągłe f₀ : K → takie, że f₀(x) = f(x) dla dowolnego x ∈ A oraz sup{|f(a)| :  a ∈ A} = sup{|f₀(x)| :  x ∈ K}.

Twierdzenie 7 (O oddzielaniu zbiorów wypukłych). Niech X będzie skończenie wymiarową przestrzenią unormowaną. Załóżmy, że A,B ⊆ X są rozłącznymi zbiorami wypukłymi, z których przynajmniej jeden jest zbiorem zwartym. Wówczas istnieje funkcjonał f ∈ X∗ oraz liczby rzeczywiste c₁ < c₂, takie, że dla dowolnych wektorów a ∈ A, b ∈ B zachodzą nierówności ℜ(f(a)) < c₁ < c₂ < ℜ(f(b)).

Twierdzenie 8 (Zasada maksimum dla funkcji holomorficznych). Niech U ⊆ będzie ograniczonym, niepustym i spójnym zbiorem otwartym, a f : → funkcją ciągłą, która jest holomorficzna na U. Wówczas istnieje taki punkt u₀ ∈ \ U, że |f(u₀)| = max{|f(u)| :  z ∈ }. Dodatkowo, jeżeli istnieje punkt u₁ ∈ U taki, że |f(u₁)| = max{|f(u)| :  z ∈ }, to f jest funkcją stałą na . Analogiczne twierdzenie pozostaje prawdziwe, gdy w każdym miejscu moduł liczby zespolonej zostanie zastąpiony przez część rzeczywistą.

Twierdzenie 9 (Rungego). Niech K ⊆ będzie zwartym i niepustym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, którego dopełnienie jest spójne. Załóżmy, że U ⊆ jest zbiorem otwartym takim, że K ⊆ U, a f : U → funkcją holomorficzną. Wówczas istnieje ciąg wielomianów (pn)n=1∞ ⊆ (), który jest zbieżny do f jednostajnie na zbiorze K.

2. Aproksymacja w przestrzeniach metrycznych

W tym rozdziale zajmiemy się badaniem podstawowych własności kluczowych pojęć teorii aproksymacji. Będziemy tu zakładać istnienie jedynie metryki. Przedstawione tu własności odegrają ważne role w kolejnych rozdziałach i dlatego warto je zapamiętać. Pojawią się tu między innymi następujące fakty:

Funkcja dist spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1 (zadanie 2.1).

Każdy zbiór proksyminalny jest domknięty (zadanie 2.7).

Każdy zbiór zwarty jest proksyminalny (zadanie 2.8).

Odwzorowanie przypisujące element najlepszej aproksymacji jest ciągłe dla zwartych zbiorów Czebyszewa (zadanie 2.9).

Zamieściliśmy tutaj także wiele elementarnych przykładów, których różnorodność pozwoli Czytelnikowi lepiej zapoznać się z głównymi pojęciami teorii aproksymacji. Formalnie rzecz biorąc, niektóre z tych zadań dotyczą również przestrzeni unormowanych, ale wszystkie je można rozwiązać, korzystając tylko z nierówności trójkąta i elementarnej wiedzy matematycznej.

W treści zadania 2.12 pojawia się pojęcie funkcji jednostajnie ciągłej, dlatego przypominamy jej definicję: jeżeli (X₁,d₁),(X₂,d₂) są przestrzeniami metrycznymi, to funkcję f : X₁ → X₂ nazywamy jednostajnie ciągłą, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że warunek d₁(x,y) < δ implikuje d₂(f(x),f(y)) < ε dla wszystkich x,y ∈ X₁.

Zadanie 2.1. Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d, a V ⊆ X niepustym zbiorem. Wykazać, że dla dowolnych x,y ∈ X zachodzi nierówność

Zadanie 2.2. Wskazać przykłady przestrzeni metrycznej (X,d), zbioru V ⊆ X i punktu x ∈ X takich, że

(a) PV (x) = ∅,

(b) PV (x) jest zbiorem jednoelementowym,

(c) PV (x) ma dokładnie k elementów, gdzie k jest zadaną liczbą naturalną,

(d) PV (x) ma nieskończoną, ale przeliczalną liczbę elementów,

(e) PV (x) jest nieprzeliczalny.

Zadanie 2.3. Niech V będzie domkniętym kołem jednostkowym w przestrzeni ² rozważanej z normą maksimum. Wyznaczyć zbiory PV ((1,2)) oraz PV ((2,2)).

Zadanie 2.4. Scharakteryzować wszystkie proste na płaszczyźnie ² rozważanej z normą maksimum, które są zbiorami Czebyszewa w tej przestrzeni.

Zadanie 2.5. Niech V = {(t,t) : t ∈ } będzie prostą w przestrzeni ² rozważanej z normą ℓ₁. Wyznaczyć zbiór PV (x) oraz odległość dist(x,V ) dla ustalonego wektora x = (x₁,x₂) takiego, że x₁ < x₂.

Zadanie 2.6. Niech V będzie podzbiorem płaszczyzny ² rozważanej z normą euklidesową, który jest zdefiniowany jako

gdzie b ≤−1 jest liczbą rzeczywistą. Wyznaczyć zbiór PV (0).

Zadanie 2.7. Dowieść, że w dowolnej przestrzeni metrycznej, wszystkie zbiory proksyminalne są domknięte.

Zadanie 2.8. Wykazać, że każdy niepusty podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest w niej proksyminalny.

Zadanie 2.9. Niech V będzie podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej X. Wykazać, że jeśli V jest zbiorem Czebyszewa, to odwzorowanie X ∋ xPV (x) ∈ V jest ciągłe.

Zadanie 2.10. Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d, a V ⊆ X niepustym zbiorem. Wykazać, że wówczas

(a) Funkcja d₁ : X × X → ₊ dana wzorem d₁(x,y) = jest metryką w X.

(b) V jest zbiorem proksyminalnym w metryce d wtedy i tylko wtedy, gdy V jest proksyminalny w metryce d₁.

(c) V jest zbiorem Czebyszewa w metryce d wtedy i tylko wtedy, gdy V jest zbiorem Czebyszewa w metryce d₁.

Zadanie 2.11. (*) Niech ||⋅|| będzie normą euklidesową w ². Wykazać, że funkcja d : ² × ² → określona dla x,y ∈ ² jako

jest metryką ². Rozstrzygnąć, czy prosta × {0} jest zbiorem proksyminalnym w przestrzeni (²,d).

Zadanie 2.12. Funkcja d : ² × ² → dana jest wzorem

Definiujemy również d₁ : ²×² → jako d₁(x,y) = d(x,y)+|x₁−y₁|.

(a) Wykazać, że obie funkcje d i d₁ są metrykami w ².

(b) Dowieść, że

jest zbiorem Czebyszewa w metryce d. Dla ustalonego x ∈ ² wyznaczyć distd(x,V ) oraz zbiór PV (x). Dowieść, że funkcja

jest jednostajnie ciągła.

(c) Udowodnić, że

jest zbiorem Czebyszewa w metryce d₁. Dla ustalonego x ∈ ² wyznaczyć distd₁(x,V ) oraz zbiór PV (x) w metryce d₁. Dowieść, że funkcja

nie jest funkcją ciągłą. Rozstrzygnąć, czy V jest zbiorem Czebyszewa w metryce d.

Zadanie 2.13. Niech (Xn,dn)n=1∞ będzie ciągiem przestrzeni metrycznych i niech

Określamy funkcję d : X × X → wzorem

Dla danego ciągu podzbiorów (V n)n=1∞, gdzie V n ⊆ Xn dla n ∈ definiujemy zbiór V jako

(a) Wykazać, że d jest metryką na X.

(b) Udowodnić, że V jest zbiorem proksyminalnym w X wtedy i tylko wtedy, gdy V n jest zbiorem proksyminalnym w Xn dla dowolnego n ∈ . Udowodnić, że V jest zbiorem Czebyszewa w X wtedy i tylko wtedy, gdy V n jest zbiorem Czebyszewa w Xn dla dowolnego n ≥ 1.

(c) Dowieść, że jeżeli V jest zbiorem Czebyszewa w X, to odwzorowanie X ∋ x → PV (x) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie Xn ∋ zPV n(z) jest ciągłe dla dowolnego n ∈ .

Zadanie 2.14. Niech C∞[−1,1] oznacza przestrzeń rzeczywistych funkcji klasy C∞ określonych na przedziale [−1,1]. Funkcja d : C∞[−1,1] × C∞[−1,1] → określona jest dla f,g ∈ C∞[−1,1] jako

gdzie f(n) jest n-tą pochodną funkcji f oraz ||f||∞ = supx∈[−1,1]|f(x)|

(a) Wykazać, że d jest metryką na C∞[−1,1].

(b) Niech V ⊆ C∞[−1,1] będzie podprzestrzenią funkcji stałych. Dla danej funkcji f ∈ C∞[−1,1] wyznaczyć dist(f,V ) oraz zbiór PV (f). Rozstrzygnąć, czy V jest zbiorem Czebyszewa.

(c) Niech V ⊆ C∞[−1,1] będzie podprzestrzenią wszystkich funkcji liniowych g : [−1,1] → takich, że g(0) = 0. Dla funkcji f₀(x) = x² − 1 wyznaczyć dist(f₀,V ) oraz zbiór PV (f₀).

3. Aproksymacja w przestrzeniach unormowanych

W tym zbiorze zadań będziemy najczęściej zajmowali się aproksymacją w różnorodnych przestrzeniach unormowanych. Struktura przestrzeni liniowej, wraz z mierzeniem odległości z użyciem normy, daje nam znacznie szersze możliwości eksploracji podstawowych pojęć teorii aproksymacji. Okazuje się, że istnieją głębokie związki pomiędzy własnościami aproksymacyjnymi danej przestrzeni unormowanej a geometrią tej przestrzeni. Badaniom tych relacji poświęciliśmy znaczną część zbioru zadań. W tym rozdziale zajmiemy się własnościami aproksymacyjnymi, które można udowodnić w każdej przestrzeni unormowanej. Własności opisane w zadaniach 3.1–3.4 będą niejednokrotnie przydatne w kolejnych rozdziałach. Przedstawiony jest również szereg przykładów w różnych przestrzeniach, zarówno ciągowych jak i funkcyjnych. Na uwagę zasługuje zadanie 3.8, które dotyczy aproksymacji dowolnej funkcji ciągłej na odcinku [a,b] funkcjami stałymi. W tym zadaniu wykonujemy pierwszy krok w stronę teorii przestrzeni Haara, która zostanie rozwinięta w dalszych rozdziałach. Zanim to jednak nastąpi, będziemy często odwoływać się do tego właśnie zadania. Warto jeszcze wspomnieć, że zadanie 3.15 daje oszacowanie na tak zwane d-sieci w kuli jednostkowej przestrzeni unormowanej, czyli odpowiada w przybliżeniu na pytanie o wielkość zbiorów, które zawierają element w odległości nie większej niż d od dowolnego wektora kuli jednostkowej.

Do rozwiązania zadań z tego rozdziału wystarczą jedynie podstawowe informacje dotyczące przestrzeni unormowanych, przede wszystkim nierówność trójkąta.

Zadanie 3.1. Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią unormowaną, a V ⊆ X niepustym zbiorem wypukłym i domkniętym. Wykazać, że dla dowolnego x ∈ X zbiór PV (x) jest wypukły.

Zadanie 3.2. Niech (X,|| ⋅ ||) będzie przestrzenią unormowaną, a V niepustym podzbiorem X. Niech x ∈ X \V oraz v ∈ PV (x). Wykazać, że jeżeli y ∈ X leży na odcinku o końcach x i v, to v ∈ PV (y).

Zadanie 3.3. Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią unormowaną, a V ⊆ X niepustym zbiorem domkniętym, którego rozpięcie liniowe linV ma wymiar skończony. Wykazać, że V jest zbiorem proksyminalnym w X.

Zadanie 3.4. Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią unormowaną, a V ⊆ X zbiorem Czebyszewa, którego rozpięcie liniowe linV ma wymiar skończony. Udowodnić, że funkcja xPV (x) jest ciągła.

Zadanie 3.5. Wskazać przykład takiej normy w przestrzeni ², że pewien zbiór niepusty, domknięty i niewypukły jest w niej zbiorem Czebyszewa.

Zadanie 3.6. Rozważmy podprzestrzenie

oraz wektor x = (2,2,0) ∈ ³. Wyznaczyć zbiory PV (x) oraz PW (x), gdy w przestrzeni ³ rozważamy normę ℓp dla p = 1, p = 2 lub p = ∞.

Zadanie 3.7. Niech p ∈ [1,∞) oraz u = (1,,,,…), v = (0,1,,,,…), x = (0,1,0,0,…) będą wektorami w rzeczywistej przestrzeni ℓp. Wykazać, że jeśli V = lin{u,v}⊆ ℓp, to

(a) dist(x,V ) = 1 oraz #PV (x) > 1 dla p = 1.

(b) dist(x,V ) < 1 oraz #PV (x) = 1 dla p > 1.

Zadanie 3.8. W rzeczywistej przestrzeni funkcji ciągłych C[a,b] z normą supremum, niech g ∈ C[a,b] będzie dowolną funkcją oraz V = ₀(). Przyjmijmy m = minx∈[a,b]g(x) oraz M = maxx∈[a,b]g(x).

(a) Wykazać, że dist(g,V ) = oraz PV (g) = {f}, gdzie f jest funkcją stale równą .

(b) Wyznaczyć dist(h,V ) oraz PV (h) dla a = −1,b = 2 oraz h(x) = 2x⁴ − x² − 8.

Zadanie 3.9. W przestrzeni rzeczywistych funkcji ciągłych C[−1,1] z normą supremum, niech V i = i() dla i ∈{0,1,2}. Dla funkcji g(x) = x² wyznaczyć zbiory PV i(g) (gdzie i ∈{0,1,2}).

Zadanie 3.10. W przestrzeni C[−1,1] z normą supremum, podprzestrzeń V zdefiniowana jest jako

Wyznaczyć zbiór PV (g) dla funkcji g(x) = (x + 1).

Zadanie 3.11. Dla ustalonej liczby 1 ≤ p < ∞, niech X = C[0,1] z normą daną jako

Zdefiniujmy

Udowodnić, że dla g ∈ X zbiór PV (g) jest niepusty wtedy i tylko wtedy, gdy g = 0.

Zadanie 3.12. Niech X będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią ośrodkową. Wykazać, że w X istnieje gęsty i przeliczalny zbiór wektorów, którego elementy są liniowo niezależne.

Zadanie 3.13. Niech X będzie skończenie wymiarową przestrzenią unormowaną, a Y ⊆ X jej właściwą podprzestrzenią. Wykazać, że istnieje wektor x ∈ X o normie 1, dla którego dist(x,Y ) = 1.

Zadanie 3.14. Niech X będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną. Wykazać, że istnieje niepusty, domknięty i ograniczony zbiór V ⊆ X, dla którego PV (0) = ∅.

Zadanie 3.15. (*) Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią unormowaną wymiaru n, d zaś ustaloną liczbą dodatnią.

(a) Wykazać, że istnieje N-elementowy zbiór V ⊆ BX taki, że N ≤ n oraz dla dowolnego x ∈ BX zachodzi nierówność dist(x,V ) ≤ d.

(b) Udowodnić, że jeżeli V ⊆ BX jest N-elementowym podzbiorem takim, że dla dowolnego x ∈ BX zachodzi nierówność dist(x,V ) ≤ d, to N ≥ d−n.

4. Istnienie elementu najlepszej aproksymacji i jego ciągła zależność od elementu aproksymowanego

W tym i kilku kolejnych rozdziałach będziemy analizowali ciekawą relację pomiędzy geometrią przestrzeni unormowanej X a własnościami aproksymacyjnymi tej przestrzeni. Okazuje się na przykład, że w dowolnej przestrzeni refleksywnej, każdy niepusty podzbiór domknięty i wypukły jest zbiorem proksyminalnym (zadanie 4.2). Bez założenia refleksywności, analogiczny fakt można udowodnić w przestrzeni dualnej, ale dla zbiorów ∗-słabo domkniętych (zadanie 4.3). Jeszcze lepsze własności aproksymacyjne posiadają przestrzenie Banacha, z tak zwaną własnością (H). Mówimy, że przestrzeń Banacha X ma własność (H), jeżeli dowolny ciąg wektorów jednostkowych (xn)n=1∞ ⊆ X, który jest zbieżny słabo do pewnego wektora jednostkowego x ∈ X, jest również zbieżny do x w topologii normy. Własność (H) w literaturze nazywana jest często własnością Kadeca-Klee. Nawiązują do niej zadania 4.9–4.13. Ostatnie z nich prowadzi do konkluzji, że w refleksywnych przestrzeniach z własnością (H), funkcja xPV (x) jest ciągła dla wypukłych zbiorów Czebyszewa V . Przykładem przestrzeni Banacha z własnością (H) jest dowolna przestrzeń Hilberta (zadanie 4.10). Dla odmiany, przestrzeń C[0,1] tej własności nie posiada (zadanie 4.11). Do udowodnienia tego faktu może przydać się następująca charakteryzacja słabej zbieżności w przestrzeni C[0,1]:

Twierdzenie 10 (Charakteryzacja słabej zbieżności w przestrzeni funkcji ciągłych). Ciąg funkcji (fn)n=1∞ z przestrzeni C[0,1] zbiega do funkcji f ∈ C[0,1] w topologii słabej wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego t ∈ [0,1] zachodzi zbieżność fn(t) → f(t) dla n → ∞ oraz istnieje stała C > 0 taka, że ||fn||≤ C dla dowolnego n ≥ 1.

W tym rozdziale użyteczne może okazać się także twierdzenie 4 (Banacha–Alaouglu) z rozdziału pierwszego oraz następujące rezultaty:

Twierdzenie 11 (O słabej zbieżności). Niech (X,|| ⋅ ||) będzie przestrzenią Banacha. Jeżeli ciąg (xn)n=1∞ wektorów przestrzeni X jest zbieżny w topologii słabej do x ∈ X, to ||x||≤ liminf n∈||xn||. Analogiczna własność zachodzi dla słabo zbieżnych ciągów uogólnionych.

Twierdzenie 12 (Mazura). Niech X będzie przestrzenią Banacha, a V ⊆ X domkniętym podzbiorem wypukłym. Wówczas V jest domknięty również w słabej topologii.

Twierdzenie 13 (Šmuliana). Przestrzeń Banacha X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy kula jednostkowa BX jest zwarta w słabej topologii.

Twierdzenie 14 (Eberleina). Przestrzeń Banacha X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy kula jednostkowa BX jest ciągowo zwarta w słabej topologii.

W rozdziale zamieściliśmy też szereg elementarnych przykładów, które uzupełniają zadania bardziej teoretyczne.

Zadanie 4.1. Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią unormowaną, a V ⊆ X niepustym podzbiorem. Dla x ∈ X \ V oraz n ∈ definiujemy zbiory

Wykazać, że jeśli istnieje topologia Hausdorffa τ w X taka, że dla odpowiednio dużych n zbiory V n są zwarte w tej topologii, to zbiór PV (x) jest niepusty.

Zadanie 4.2. Niech (X,|| ⋅ ||) będzie refleksywną przestrzenią Banacha, a V ⊆ X niepustym zbiorem domkniętym i wypukłym. Dowieść, że V jest zbiorem proksyminalnym w X.

Zadanie 4.3. Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią unormowaną, a  (X∗,||⋅||∗) jej przestrzenią dualną. Udowodnić, że jeżeli V ⊆ X∗ jest zbiorem domkniętym w ∗-słabej topologii, to V jest zbiorem proksyminalnym w X∗.

Zadanie 4.4. Niech 1 < p < ∞. W przestrzeni ℓp rozważanej ze standardową normą, wskazać przykład zbioru domkniętego V i wektora x ∈ ℓp, dla których PV (x) = ∅.

Zadanie 4.5. W przestrzeni c₀, rozważanej z normą supremum, definiujemy zbiór V jako

Wykazać, że V jest wypukłym i domkniętym podzbiorem c₀, który nie jest proksyminalny.

Zadanie 4.6. Podać przykład zbioru wypukłego i domkniętego V w przestrzeni ℓ₁, który nie jest proksyminalny.

Zadanie 4.7. W rzeczywistej przestrzeni ℓ∞, rozważanej z klasyczną normą, niech V będzie przestrzenią liniową wektorów postaci (v,v,v…), gdzie v ∈ . Wykazać, że V jest zbiorem Czebyszewa. Rozstrzygnąć, czy funkcja ℓ∞ ∋ xPV (x) jest funkcją ciągłą. Rozstrzygnąć ponadto, czy jest to funkcja liniowa.

Zadanie 4.8. W rzeczywistej przestrzeni L₁[0,1], rozważanej ze standardową normą, niech V będzie przestrzenią funkcji stałych. Funkcja g ∈ L₁[0,1] określona jest jako g(t) = 1 dla t ∈ [0,] oraz g(t) = 0 dla t ∈ (,1]. Wyznaczyć dist(g,V ) oraz zbiór PV (g). Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja ciągła P : L₁[0,1] → V , która dla dowolnej funkcji f ∈ L₁[0,1] spełnia warunek P(f) ∈ PV (f).

Zadanie 4.9. Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią Banacha. Wykazać, że przestrzeń X ma własność (H) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (xn)n=1∞ ⊆ X i x ∈ X zachodzi implikacja: jeżeli xn → x w słabej topologii oraz ||xn||→||x||, to xn → x w topologii normy.

Zadanie 4.10. Dowieść, że dowolna przestrzeń Hilberta posiada własność (H).

Zadanie 4.11. Wykazać, że przestrzeń C[0,1], rozważana z normą supremum, nie ma własności (H).

Zadanie 4.12. Niech (X,||⋅||) będzie przestrzenią Banacha z własnością (H), a V ⊆ X dowolnym zbiorem proksyminalnym. Załóżmy, że ciąg (xn)n=1∞ elementów z X jest zbieżny w normie do pewnego wektora x ∈ X. Niech (vn)n=1∞ będzie takim ciągiem wektorów z X, że vn ∈ PV (xn) dla n ∈ . Załóżmy, że ciąg (vn)n=1∞ jest zbieżny w słabej topologii do pewnego elementu v ∈ V . Wykazać, że v ∈ PV (x) oraz ciąg (vn)n=1∞ zbiega do v również w topologii normy.

Zadanie 4.13. Niech X będzie refleksywną przestrzenią Banacha z własnością (H), a V ⊆ X wypukłym zbiorem Czebyszewa. Dowieść, że funkcja X ∋ xPV (x) ∈ V jest ciągła.

5. Aproksymacja w hiperpłaszczyznach przestrzeni Banacha

Własności aproksymacyjne podzbiorów przestrzeni Banacha mogą być w ogólności bardzo skomplikowane, nawet jeżeli zawęzimy uwagę wyłącznie do podprzestrzeni. Jednak w pewnej sytuacji te własności są zaskakująco jednolite i łatwe do scharakteryzowania. Chodzi o przypadek hiperpłaszczyzn, czyli przestrzeni liniowych kowymiaru 1. Mowa tu o sytuacji hiperpłaszczyzny, czyli podprzestrzeni kowymiaru 1. Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to podzbiór V ⊆ X nazywamy hiperpłaszczyzną, gdy istnieje niezerowy funkcjonał f ∈ X∗ taki, że V = kerf. Okazuje się, że wśród takich zbiorów V możemy w prosty sposób scharakteryzować zbiory proksyminalne oraz zbiory Czebyszewa. W tym celu wystarczy zbadać, czy funkcjonał f osiąga swoją normę, a jeżeli tak, to w ilu punktach sfery jednostkowej (zadania 5.4 i 5.5). Ponadto, jeśli V jest hiperpłaszczyzną, to jesteśmy w stanie łatwo wyznaczyć odległość dowolnego wektora od V . Mówi o tym zadanie 5.1, które dotyczy nawet bardziej ogólnych zbiorów, czyli hiperpłaszczyzn afinicznych. Co więcej, jeżeli dla chociaż jednego wektora x ∈ X \ V zbiór PV (x) jest niepusty (jednoelementowy), to tak samo będzie dla dowolnego wektora z tej przestrzeni. Analogiczna własność nie zachodzi dla podprzestrzeni kowymiaru 2 – kontrprzykład w przestrzeni ℓ₁ przedstawiony jest w zadaniu 5.8. Zaskakujący może być fakt, iż warunkiem wystarczającym na to, aby każdy niepusty podzbiór domknięty i wypukły był zbiorem proksyminalnym w przestrzeni Banacha X, jest proksyminalność każdej hiperpłaszczyzny (zadanie 5.9). Przed przystąpieniem do rozwiązywania tego zadania warto przypomnieć sobie twierdzenie 3 (Jamesa) z rozdziału 1 oraz początkowe zadania z poprzedniego rozdziału. Reszta zadań w tym rozdziale związana jest z zastosowaniem zadań: 5.1, 5.4, 5.5. Może przydać się również następujące twierdzenie Riesza o postaci funkcjonału na przestrzeni Hilberta:

Twierdzenie 15 (Riesza o reprezentacji). Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Jeżeli f ∈ H∗ jest funkcjonałem liniowym, to istnieje dokładnie jeden wektor y ∈ H taki, że

dla dowolnego x ∈ H. Co więcej, zachodzi równość ||f|| = ||y||. Odwrotnie, jeżeli y ∈ H jest ustalonym wektorem, to odwzorowanie postaci

jest ciągłym funkcjonałem liniowym o normie ||y||.

W zadaniach 5.10 oraz 5.13 pojawia się pojęcie wymiaru afinicznego zbioru. Wymiar afiniczny podzbioru V przestrzeni unormowanej X to najmniejszy możliwy wymiar podprzestrzeni afinicznej Y ⊆ X takiej, że V ⊆ Y . Innymi słowy, to najmniejszy możliwy wymiar podprzestrzeni liniowej Z ⊆ X, dla której istnieje wektor w ∈ X taki, że V ⊆ Z + w. Jeżeli nie istnieje taka podprzestrzeń afiniczna Y (lub podprzestrzeń liniowa Z) o wymiarze skończonym, to wówczas przyjmujemy, że wymiar afiniczny zbioru V jest nieskończony.

Zadanie 5.1. Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a f : X → niezerowym funkcjonałem liniowym i ciągłym. Dla α ∈ rozważmy hiperpłaszczyznę afiniczną

Wykazać, że dla dowolnego x ∈ X zachodzi równość

Zadanie 5.2. Dane są liczby rzeczywiste a₀,a₁,a₂,…,an, przy czym co najmniej jedna z liczb a₁,a₂,…,an jest niezerowa. Wyznaczyć odległość euklidesową punktu y ∈ n do hiperpłaszczyzny afinicznej w n, która jest zadana równaniem

Zadanie 5.3. W przestrzeni rzeczywistych funkcji ciągłych C[0,1] rozważanej z normą supremum, niech V ⊆ C[0,1] będzie zbiorem zdefiniowanym jako

Wyznaczyć dist(g,V ) dla funkcji g ∈ C[0,1] zdefiniowanej jako g(x) = x².

Zadanie 5.4. Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a V = kerf, gdzie f : X → jest niezerowym funkcjonałem liniowym i ciągłym. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:

(a) Zbiór V jest proksyminalny.

(b) Istnieje wektor x₀ ∈ X\V , dla którego zbiór PV (x₀) jest niepusty.

(c) Istnieje wektor jednostkowy x₁ ∈ X, dla którego zachodzi równość f(x₁) = ||f||.

Zadanie 5.5. Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a V = kerf, gdzie f : X → jest niezerowym funkcjonałem liniowym i ciągłym. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:

(a) Zbiór V jest zbiorem Czebyszewa.

(b) Istnieje wektor x₀ ∈ X \ V , dla którego zbiór PV (x₀) ma dokładnie jeden element.

(c) Istnieje dokładnie jeden wektor jednostkowy x₁ ∈ X, dla którego zachodzi równość f(x₁) = ||f||.

Zadanie 5.6. Rozważmy przestrzeń rzeczywistych funkcji ciągłych C[0,1] z normą supremum. Niech L : C[0,1] → będzie funkcjonałem liniowym danym jako

Rozstrzygnąć, czy zbiór V = kerL jest proksyminalny w C[0,1]. Jeśli tak, to rozstrzygnąć, czy jest zbiorem Czebyszewa.

Zadanie 5.7. Rozważmy przestrzeń c rzeczywistych ciągów zbieżnych z normą supremum. Niech f : c → będzie funkcjonałem liniowym danym jako

dla x = (x₁,x₂,…) ∈ c. Rozstrzygnąć, czy zbiór V = kerf jest proksyminalny w przestrzeni c. Jeśli tak, to rozstrzygnąć czy jest zbiorem Czebyszewa.

Zadanie 5.8. W rzeczywistej przestrzeni ℓ₁, rozważanej z klasyczną normą, niech V = kerf ∩ kerg, gdzie funkcjonały f,g : ℓ₁ → dane są jako

dla x = (x₁,x₂,…) ∈ ℓ₁. Wykazać, że istnieją wektory x,y ∈ ℓ₁ \ V takie, że PV (x)≠∅ oraz PV (y) = ∅.

Zadanie 5.9. Niech X będzie przestrzenią Banacha. Wykazać, że dowolna hiperpłaszczyzna w X jest zbiorem proksyminalnym wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny domknięty, wypukły i niepusty podzbiór X jest zbiorem proksyminalnym.

Zadanie 5.10. Niech f : ℓ₁ → będzie odwzorowaniem danym jako

dla x = (x₁,x₂,…) ∈ ℓ₁, gdzie a = (a₁,a₂,…) ∈ ℓ∞ jest dowolnym niezerowym, ustalonym wektorem. Dowieść, że f jest ciągłym funkcjonałem liniowym. Udowodnić, że V = kerf jest zbiorem proksyminalnym w ℓ₁ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ takie, że |ak| = ||a||∞. Wykazać ponadto, że jeżeli m jest mocą zbioru takich indeksów k ≥ 1, że |ak| = ||a||∞, to dla dowolnego x ∈ ℓ₁ \ V wymiar afiniczny zbioru PV (x) jest równy m − 1 (dopuszczamy m = ∞).

Zadanie 5.11. Niech f : c₀ → będzie odwzorowaniem danym jako

dla x = (x₁,x₂,…) ∈ c₀, gdzie a = (a₁,a₂,…) ∈ ℓ₁ jest dowolnym niezerowym, ustalonym wektorem. Dowieść, że f jest ciągłym funkcjonałem liniowym. Wyznaczyć warunek konieczny i wystarczający na to, żeby V = kerf było zbiorem proksyminalnym w c₀ (w zależności od a ∈ ℓ₁). Rozstrzygnąć, czy V może być zbiorem Czebyszewa.

Zadanie 5.12. Rozważmy przestrzeń rzeczywistych funkcji ciągłych C[0,1] z normą supremum. Niech L : X → będzie funkcjonałem liniowym danym jako

gdzie g ∈ C[0,1] jest ustaloną funkcją, która posiada co najwyżej skończoną liczbę miejsc zerowych. Przyjmijmy V = kerL. Dowieść, że następujące warunki są równoważne:

(a) Zbiór V jest proksyminalny w C[0,1].

(b) Zbiór V jest zbiorem Czebyszewa w C[0,1].

(c) Dla każdego t ∈ [0,1] zachodzi g(t) ≥ 0 lub dla każdego t ∈ [0,1] zachodzi g(t) ≤ 0.

Zadanie 5.13. Rozważmy przestrzeń rzeczywistych funkcji ciągłych C[0,1] z normą supremum. Niech L : X → będzie funkcjonałem liniowym danym jako

gdzie g ∈ C[0,1] jest funkcją, która spełnia warunek g⁻¹(0) = [a,b] dla pewnych 0 ≤ a < b ≤ 1. Przyjmijmy V = kerL. Udowodnić, że V jest zbiorem proksyminalnym w C[0,1] oraz dla dowolnej funkcji f ∈ C[0,1] \V wymiar afiniczny zbioru PV (f) jest nieskończony.

Zadanie 5.14. Niech (Xn,||⋅||n) będzie ciągiem przestrzeni Banacha nad ciałem . Definiujemy przestrzeń unormowaną X jako

z normą

(a) Wykazać, że (X,||⋅||) jest przestrzenią Banacha.

(b) Udowodnić, że jeżeli f ∈ X∗, to f można zapisać w postaci

dla pewnych funkcjonałów fn ∈ Xn∗. Co więcej, zachodzi równość ||f||∗ = supn≥1||fn||n∗.

(c) Dla danego funkcjonału liniowego f ∈ X∗, który jest postaci f(x) = ∑ n=1∞fn(xn) (gdzie fn ∈ Xn∗), niech

Dowieść, że V = kerf jest zbiorem proksyminalnym w X wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem niepustym. Ponadto, udowodnić, że V jest zbiorem Czebyszewa w X wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki: zbiór A jest jednoelementowy oraz jeśli A = {n₀}, to kerfn₀ jest zbiorem Czebyszewa w Xn₀.