Tytuł oryginału

THE GREAT MATHEMATICAL PROBLEMS

Marvels and Mysteries of Mathematics

Copyright © Joat Enterprises, 2013

First published in Great Britain in 2013 by Profile Books Ltd

All rights reserved

Projekt okładki

© boldandnoble.com

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Anna Kaniewska

ISBN 978-83-7961-777-7

Warszawa 2014

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Musimy wiedzieć. Będziemy wiedzieć.

David Hilbert

w wystąpieniu poświęconym zagadnieniom matematycznym, które wygłosił w 1930 roku na uroczystości nadania mu honorowego obywatelstwa Królewca1

1 Te słynne słowa, w oryginale: „Wir müssen wissen. Wir werden wissen”, są częścią przemówienia, które Hilbert zarejestrował dla jednej z rozgłośni radiowych. Zob. Constance Reid, Hilbert, Springer, Berlin 1970, s. 196.

Przedmowa

Matematyka jest obszerną dziedziną, która bezustannie powiększa się i zmienia. Wśród niezliczonych pytań, jakie stawiają sobie matematycy, są również takie, które szczególnie się wyróżniają – są niczym szczyty górujące nad otaczającymi je pagórkami. Są to pytania tak wielkie, tak trudne i wymagające, że każdy matematyk bez wahania dałby sobie uciąć prawą rękę, gdyby mógł dzięki temu znaleźć na nie odpowiedź. Niektóre pozostawały tajemnicą przez dziesięciolecia, inne przez stulecia, a nieliczne – przez całe tysiąclecia. Niektórych wciąż nie udało się rozwikłać. Wielkie twierdzenie Fermata pozostawało zagadką przez 350 lat i dopiero Andrew Wiles zdołał się z nim uporać po siedmiu latach żmudnej pracy. Hipotezy Poincarégo nikt nie potrafił udowodnić przez ponad sto lat – dokonał tego ekscentryczny geniusz Grigorij Perelman, który odmówił jednak przyjęcia naukowych wyróżnień i nagrody w wysokości miliona dolarów. Hipoteza Riemanna wciąż nie przestaje intrygować matematyków i po 150 latach pozostaje tak samo zagadkowa jak w chwili, gdy ją sformułowano.

Książka Wielkie problemy matematyczne zawiera wybór naprawdę wielkich pytań, które sprawiły, że matematyka zaczęła się rozwijać w zupełnie nowych kierunkach. Dowiemy się z niej, w jaki sposób matematycy doszli do tych zagadnień i dlaczego są one tak ważne, poznamy też ich matematyczny i naukowy kontekst. Książka zawiera problemy już rozwiązane i te, z którymi wciąż nie udało się nam uporać. Takie zagadnienia formułowano w różnych okresach w ciągu dwóch tysięcy lat historii rozwoju matematyki, jednak w tej książce skupimy się na problemach, które wciąż pozostają bez odpowiedzi lub zostały rozwiązane w minionym półwieczu.

Podstawowym celem matematyki jest odkrywanie prostoty leżącej u podstaw pozornie skomplikowanych problemów. Jednak nie zawsze jest to od razu widoczne, ponieważ w matematycznym ujęciu pojęcie „prostoty” bazuje na wielu specjalistycznych i skomplikowanych zagadnieniach. Dużą zaletą tej książki jest to, że podkreśla ową głęboką prostotę, unikając wszelkich złożoności – a przynajmniej wyjaśnia je za pomocą zrozumiałych pojęć.

Matematyka jest bardziej nowatorska i różnorodna, niż się zwykle sądzi. Z grubsza rzecz biorąc, można przyjąć, że obecnie na całym świecie badania prowadzi około stu tysięcy matematyków, którzy każdego roku publikują ponad dwa miliony stron artykułów naukowych poświęconych tej dziedzinie. Nie chodzi tu o jakieś „nowe liczby”, bo matematyka wcale nie tym się zajmuje. Nie są to też „nowe obliczenia”, przypominające jakieś wykonane już wcześniej, tylko nieco większe – choć należy przyznać, że w naszej pracy często musimy przeprowadzać całkiem pokaźne rachunki. Niedawno zespół około 25 matematyków przeprowadził badania z dziedziny algebry, które wymagały wykonania „obliczeń dorównujących rozmiarem Manhattanowi”. Nie jest to do końca prawdą, ale błąd polega w tym wypadku raczej na zbyt ostrożnym opisie złożoności problemu. W istocie należałoby powiedzieć, że to odpowiedź miała rozmiar Manhattanu – same obliczenia były znacznie większe. To robi wrażenie, ale tak naprawdę liczy się jakość, a nie ilość. Wspomniane obliczenia o rozmiarze Manhattanu są jednak również ważne ze względu na swoją zawartość, ponieważ dostarczają cennych podstawowych informacji na temat grup symetrii, które odgrywają istotną rolę w fizyce kwantowej i matematyce. Genialne odkrycie matematyczne może zmieścić się w jednej linii lub wypełnić całą encyklopedię – wszystko zależy od tego, czego wymaga dane zagadnienie.

Gdy myślimy o matematyce, zwykle wyobrażamy sobie grube księgi wypełnione gęsto symbolami i wzorami. Jednak wspomniane dwa miliony stron zawierają więcej słów niż symboli. Słowa są potrzebne, by wyjaśnić kontekst zagadnienia, omówić przebieg argumentacji, znaczenie obliczeń i wyjaśnić, jak to wszystko wpasowuje się w nieustannie rozrastającą się strukturę matematyki. Wielki Carl Friedrich Gauss zauważył około roku 1800, że istotą matematyki są „pojęcia, a nie równania”. Idee, a nie symbole. To prawda, ale faktem jest, że matematyczne idee wyraża się najczęściej za pomocą symboli. Wiele artykułów naukowych zawiera więcej symboli niż słów. Wzory pozwalają na uzyskanie takiej dokładności wyrażania myśli, jaką trudno byłoby osiągnąć za pomocą słów.

Nierzadko można jednak wyjaśnić matematyczne idee bez użycia wielu symboli. Książka Wielkie problemy matematyczne jest przykładem właśnie takiego podejścia. Objaśnia, czym zajmują się matematycy, w jaki sposób rozumują i dlaczego ich dziedzina jest ciekawa i ważna. Co istotne, pokazuje też, w jaki sposób dzisiejsi matematycy stawiają czoło wyzwaniom rzuconym przez poprzednie pokolenia uczonych i wykorzystując dostępne obecnie potężne techniki obliczeniowe, rozwiązują po kolei wielkie zagadki przeszłości – zmieniając przy okazji samą matematykę i nauki ścisłe. Matematyka jest jednym z największych osiągnięć ludzkości i jej wielkie problemy, rozwiązane i nierozwiązane, już od tysiącleci są siłą napędową leżącą u podstaw jej zdumiewającej mocy – i bez wątpienia będą pobudzały jej rozwój jeszcze przez kolejne tysiąclecia.

Coventry, czerwiec 2012 roku

Autorzy ilustracji

Ryc. 31 – http://random.mostlymaths.net

Ryc. 33 – Carles Simó. Ilustracja pochodzi z książki European Congress of Mathematics, Budapest 1996 (Europejski kongres matematyczny, Budapeszt 1996), „Progress in Mathematics” tom 168, Birkhäuser, Bazylea.

Ryc. 43 – Pablo Mininni.

Ryc. 46 – University College, Cork, Irlandia.

Ryc. 50 – Wolfram MathWorld.

1. Wielkie wyzwania

Na antenach stacji telewizyjnych dość rzadko goszczą programy poświęcone matematyce, a dobre audycje tego typu są już zupełną rzadkością. Jedną z najlepszych, jeśli chodzi o wywołanie zainteresowania widzów, a także zawartość merytoryczną, była audycja poświęcona wielkiemu twierdzeniu Fermata. Przygotował ją John Lynch na zamówienie telewizji BBC i została ona wyemitowana w 1996 roku jako jeden z odcinków doskonałej serii programów popularnonaukowych zatytułowanej Horizon (Horyzont). Simon Singh, który również brał udział w realizacji programu, napisał później na podstawie tej opowieści wspaniałą książkę2. Na jednej ze stron internetowych wyznał, że zdumiewający sukces tego programu był dla niego zaskoczeniem:

Przez 50 minut matematycy mówili o matematyce, trudno więc było się spodziewać, że będzie to hit telewizyjny, ale powstał program, który wzbudził zainteresowanie widzów i zyskał wysokie oceny krytyków. Audycja zdobyła nagrodę BAFTA w kategorii programów dokumentalnych, Prix Italia oraz inne międzynarodowe nagrody, a także była nominowana do nagród Emmy – wszystko to dowodzi, że matematyka może wzbudzać takie same emocje i być równie pasjonująca jak każda inna dziedzina nauki rozwijana na naszej planecie.

Moim zdaniem jest kilka przyczyn sukcesu tego programu telewizyjnego i opartej na nim książki, i wszystkie one są ważne ze względu na historie, które będziemy tu omawiać. Aby zbytnio nie zagmatwać wywodu, skupmy się na analizie samego programu telewizyjnego.

Wielkie twierdzenie Fermata jest jednym z naprawdę wielkich matematycznych problemów, którego źródłem była pozornie niewinna uwaga pozostawiona przez jednego z czołowych matematyków XVII stulecia na marginesie klasycznego podręcznika. O problemie tym zrobiło się głośno, ponieważ nikt nie potrafił dowieść tego, co Pierre de Fermat stwierdził w swojej notatce, i taki stan rzeczy utrzymywał się przez ponad trzysta lat, mimo że wielu niezwykle utalentowanych uczonych nie szczędziło wysiłków, by uporać się z tym wyzwaniem. Nic więc dziwnego, że gdy w 1995 roku brytyjski matematyk Andrew Wiles przedstawił w końcu dowód tego twierdzenia, nikt nie miał wątpliwości, że jest to niezwykłe dokonanie. Nie trzeba było nawet wiedzieć, na czym polega ów problem, nie mówiąc już o zrozumieniu jego rozwiązania. Był to matematyczny odpowiednik zdobycia Mount Everestu.

Oprócz jego niewątpliwego znaczenia dla matematyki osiągnięcie Wilesa jest również niezwykle interesujące z czysto ludzkiego punktu widzenia. W wieku dziesięciu lat Wiles tak się zainteresował wielkim twierdzeniem Fermata, że postanowił zostać matematykiem i znaleźć jego dowód. Zrealizował pierwszą część swojego planu i został specjalistą od teorii liczb, czyli szerokiej dziedziny matematyki, do której należy twierdzenie Fermata. Jednak w miarę jak coraz lepiej poznawał prawdziwą matematykę, cel, jaki przed sobą postawił, zaczął mu się wydawać coraz bardziej nieosiągalny. Wielkie twierdzenie Fermata było dziwną ciekawostką, niezwiązanym z niczym stwierdzeniem, które praktycznie każdy teoretyk liczb mógłby wymyślić na poczekaniu, pod warunkiem że nie wymagałoby się od niego przedstawienia jakiegokolwiek przekonującego dowodu. W żaden sposób nie pasowało do istniejącego arsenału technik obliczeniowych. W liście do Heinricha Olbersa wielki Gauss odrzucił je z miejsca, stwierdzając, że problem ten wydaje mu się „niezbyt interesujący, ponieważ bez trudu można sformułować wiele podobnych propozycji, których nie sposób ani udowodnić, ani obalić”3. Wiles doszedł do wniosku, że jego marzenie z dzieciństwa jest niemożliwe do spełnienia, i postanowił odłożyć na razie twierdzenie Fermata na bok. Wtedy jednak, zupełnie niespodziewanie, inni matematycy dokonali przełomu, który połączył twierdzenie Fermata z głównym nurtem teorii liczb, i tak się akurat złożyło, że Wiles był już ekspertem w tej konkretnej dziedzinie. Gauss, co do niego zupełnie niepodobne, nie docenił znaczenia tego problemu i nie dostrzegł, że można go połączyć z ważnym, choć pozornie odległym obszarem matematyki.

Po odkryciu tego związku Wiles mógł zająć się próbą rozwiązania zagadki Fermata i jednocześnie prowadzić ważne badania z zakresu współczesnej teorii liczb. Była to komfortowa sytuacja: gdyby prace nad twierdzeniem Fermata spełzły na niczym, to i tak wszystko, co odkryłby, próbując je udowodnić, nadawałoby się do publikacji. Wiles powrócił więc do problemu Fermata i zajął się nim z ogromnym zapałem. Po siedmiu latach niestrudzonych badań, które prowadził sam, w tajemnicy przed innymi – w matematyce to dość niezwykłe środki ostrożności – doszedł do przekonania, że w końcu znalazł rozwiązanie. Na prestiżowych konferencjach poświęconych teorii liczb wygłosił serię wykładów pod niejasnym tytułem, który jednak nikogo nie zmylił4. W środkach masowego przekazu i w środowisku naukowym gruchnęła sensacyjna wiadomość: wielkie twierdzenie Fermata zostało udowodnione.

Dowód był imponujący i elegancki, pełen wspaniałych pomysłów. Niestety, specjaliści szybko wykryli w nim poważną lukę. W historii zmagań z wielkimi nierozwiązanymi problemami matematycznymi taki rozwój wypadków jest na nasze nieszczęście dosyć częsty i na ogół kończy się fatalnie. Tym razem jednak los okazał się łaskawy. Z pomocą swojego byłego studenta Richarda Taylora Wilesowi udało się zapełnić wykrytą lukę, poprawić dowód i przedstawić pełne rozwiązanie. Wiązały się z tym olbrzymie emocje, co bez trudu można było dostrzec w programie telewizyjnym: był to chyba jedyny przypadek w historii, gdy matematyk rozpłakał się przed kamerą, wspominając traumatyczne wydarzenia i ostateczny tryumf.

Być może zauważyliście, że wciąż jeszcze nie powiedzieliśmy, jak brzmi owo wielkie twierdzenie Fermata? To świadomy zabieg – zajmiemy się tym w odpowiednim czasie. Nie ma to większego znaczenia dla analizy źródeł sukcesu wspomnianego programu telewizyjnego. W istocie nawet sami matematycy nie interesowali się nigdy zbytnio tym, czy twierdzenie, które Fermat zanotował na marginesie czytanej książki, jest prawdziwe, czy nie, ponieważ nie zależy od niego żadne ważne zagadnienie matematyczne. Skąd więc całe to zamieszanie? Ponieważ niezwykle istotne w tym wszystkim było to, że społeczność matematyków nie potrafi znaleźć rozwiązania. Nie chodzi tu tylko o ujmę na honorze – taki fakt oznacza, że istniejące teorie mają jakieś braki o niebagatelnym znaczeniu. Poza tym sformułowanie tego twierdzenia jest bardzo łatwe, co jeszcze bardziej potęguje wrażenie tajemniczości. Jak to możliwe, że coś z pozoru tak prostego okazało się tak skomplikowane?

Chociaż udowodnienie tego twierdzenia nie miało dla matematyków większego znaczenia, to bardzo ich niepokoiło, że nie potrafią tego dokonać. Jeszcze bardziej zależało im na znalezieniu metody na udowodnienie twierdzenia Fermata, ponieważ musiałaby ona rzucić nowe światło nie tylko na problem postawiony przez Fermata, ale i na wiele innych zagadnień. Z taką sytuacją mamy bardzo często do czynienia w wypadku wielkich problemów matematycznych: to metody ich rozwiązania, a nie same rozwiązania, okazują się najważniejsze. Oczywiście czasami same rozwiązania również są ważne – wszystko zależy od tego, jakie wynikają z nich konsekwencje.

Dowód Wilesa najeżony jest trudnymi pojęciami i zbyt skomplikowany, by nadawał się do telewizji. Prawdę mówiąc, szczegóły jego wywodu mogą zrozumieć tylko specjaliści5. Z dowodem tym wiąże się interesująca matematyczna opowieść, o czym przekonamy się w swoim czasie, ale wszelkie próby wyjaśnienia tego w telewizji byłyby z góry skazane na porażkę. Zamiast tego twórcy programu słusznie skupili uwagę na bardziej ludzkim aspekcie tych wydarzeń: jak to jest, gdy człowiek zmaga się z trudnym problemem matematycznym, za którym ciągnie się olbrzymi bagaż historii? Widzowie dowiedzieli się, że istnieje niewielka, ale niezwykle oddana sprawie grupka matematyków rozsianych po całym świecie, którym bardzo zależy na rozwoju ich obszaru badań. Uczeni ci kontaktują się ze sobą, z uwagą czytają prace kolegów i znaczną część swojego życia poświęcają rozwojowi wiedzy matematycznej. W programie świetnie pokazano, ile uczucia wkładają w swoją pracę i jak silne wytwarzają się między nimi więzi społeczne. Wcale nie są inteligentnymi automatami, ale prawdziwymi ludźmi, którzy z oddaniem rozwijają swoją dziedzinę. Taki przekaz popłynął z ekranu.

Oto te trzy ważne przyczyny, dzięki którym program odniósł tak duży sukces: istotny problem, główny bohater ze wspaniałą, ludzką historią i drugoplanowi bohaterowie oddani swojej pracy. Podejrzewam jednak, że znaczenie miał tutaj jeszcze czwarty, mniej krzepiący czynnik. Większość ludzi niezwiązanych z matematyką bardzo rzadko dowiaduje się o najnowszych osiągnięciach z tej dziedziny. Przyczyny tego są różne i wszystkie całkowicie zrozumiałe: ludzie i tak niespecjalnie się tym interesują; w gazetach rzadko kiedy wspomina się o czymkolwiek, co ma związek z matematyką, a jeśli już do tego dochodzi, to doniesienia te są często niepoważne lub trywialne. Poza tym wydaje się, że nic w życiu zwyczajnego człowieka nie ma związku z tym, co robią matematycy w zaciszu swoich gabinetów. W szkole zbyt często matematykę przedstawia się jako zamkniętą księgę, w której każde pytanie ma swoją odpowiedź. Uczniowie dochodzą więc zazwyczaj do wniosku, że nowe odkrycia matematyczne są równie rzadkie jak białe kruki.

Z takiego punktu widzenia interesującą wiadomością nie było to, że udowodniono wielkie twierdzenie Fermata. Sensacja polegała na tym, że w końcu ktoś dokonał w matematyce jakiegoś nowego odkrycia. Ponieważ matematycy potrzebowali ponad trzystu lat, żeby znaleźć ten dowód, widzowie podświadomie przyjęli, że przełom ten był pierwszym ważnym odkryciem matematycznym od trzystu lat. Nie twierdzę, że świadomie w to wierzyli. Takie stwierdzenie jest trudne do obrony, gdy tylko zastanowimy się nad kilkoma oczywistymi kwestiami, takimi jak: „Dlaczego rząd wydaje pieniądze na uniwersyteckie wydziały matematyki?”. Jednak wiele osób przyjęło podświadomie takie właśnie założenie, nie zastanawiając się nad tym ani nie analizując jego zasadności. Dzięki temu osiągnięcie Wilesa wydało się jeszcze większe.

Jednym z celów tej książki jest pokazanie, że matematyka jest prężnie rozwijającą się dziedziną nauki, w której nieustannie dokonuje się nowych odkryć. Nie słyszy się zbyt wiele o tych dokonaniach, ponieważ większość z nich jest zbyt skomplikowana, by mogły je zrozumieć osoby niezajmujące się matematyką, a media jak diabeł święconej wody boją się wszystkiego, co wymagałoby od widzów większego wysiłku intelektualnego niż Taniec z gwiazdami. Poza tym rozmyślnie ukrywa się wszelkie zastosowania matematyki, żeby nikogo niepotrzebnie nie niepokoić: „Co takiego? Działanie mojego iPhone’a opiera się na wykorzystaniu zaawansowanej matematyki? No to jak się zaloguję na Facebooka, skoro nie zdałem egzaminu z matematyki?”.

Jak uczy nas historia, matematyka często rozwija się w wyniku odkryć dokonywanych w innych dziedzinach. Gdy Newton pracował nad zasadami dynamiki i prawem powszechnego ciążenia, które razem pozwoliły nam opisać ruch planet, wcale nie starał się do końca zrozumieć Układu Słonecznego. Przeciwnie, to matematycy musieli stawić czoło całej nowej kategorii pytań i zastanowić się, co w istocie wynika z tych nowych praw. Aby odpowiedzieć na to pytanie, Newton wymyślił rachunek różniczkowy i całkowy, ale jego nowa metoda ma swoje ograniczenia. Często prowadzi jedynie do uzyskania innego sformułowania postawionego pytania, a nie odpowiedzi. Przekształca problem w szczególny rodzaj wzoru, zwanego równaniem różniczkowym, którego rozwiązanie jest szukaną odpowiedzią. Zatem wciąż jeszcze trzeba rozwiązać to równanie. Niemniej rachunek różniczkowy i całkowy był doskonałym punktem wyjścia. Newton pokazał, że uzyskanie odpowiedzi jest możliwe, i przedstawił skuteczną metodę ich poszukiwania, która trzysta lat później wciąż dostarcza nam cennych informacji.

W miarę jak powiększała się sumaryczna wiedza matematyczna ludzkości, coraz większą rolę w rozwoju tej dziedziny zaczęło odgrywać drugie źródło inspiracji: wewnętrzne potrzeby samej matematyki. Jeśli na przykład wiemy, jak rozwiązuje się równania algebraiczne pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego stopnia, to nie trzeba zbyt dużej wyobraźni, żeby zapytać o równania stopnia piątego. (Stopień równania jest w zasadzie miarą jego złożoności, ale nie trzeba tego wcale wiedzieć, żeby zadać to oczywiste pytanie). Jeśli uzyskanie odpowiedzi na takie pytanie okazuje się trudne – a tak było w tym wypadku – to fakt ten sam w sobie pobudza matematyków do szukania rozwiązania z jeszcze większym zaangażowaniem, bez względu na to, czy znajdzie ono jakieś praktyczne zastosowanie.

Nie chcę przez to powiedzieć, że zastosowania praktyczne nie mają znaczenia. Jeżeli jednak jakieś określone zagadnienie matematyczne pojawia się bezustannie w rozważaniach związanych z fizyką fal – fal morskich, drgań, dźwięku, światła – to bez wątpienia warto taki obszar zbadać choćby tylko po to, by lepiej go poznać. Nie musimy z góry wiedzieć, w jaki sposób dana nowa idea zostanie wykorzystana: fale występują w tak wielu ważnych dziedzinach nauki, że z pewnością każde istotne odkrycie z nimi związane do czegoś się w końcu przyda. W tym konkretnym przypadku odkrycia przydały się w technice radiowej, telewizyjnej i radarowej6. Jeśli natomiast ktoś wymyśli jakiś nowy sposób rozumienia przepływu ciepła i wpadnie na genialny pomysł, któremu będzie niestety brakowało odpowiedniego wsparcia matematycznego, to najsensowniej będzie uporać się z tym problemem, analizując go jako część matematyki. Ktoś, kogo nie interesuje ani trochę, jak przepływa ciepło, zawsze może przyjąć, że uzyskane wyniki znajdą zapewne jakieś inne zastosowanie. Transformacja Fouriera, która narodziła się w wyniku takich właśnie badań, jest obecnie najbardziej chyba użyteczną ideą matematyczną, jaką kiedykolwiek wymyślono. Leży u podstaw współczesnej telekomunikacji, dzięki niej działają aparaty cyfrowe, umożliwia oczyszczenie z szumów starych filmów i nagrań, a FBI wykorzystuje jej współczesne rozszerzenie do przechowywania odcisków palców7.

Taka wzajemna wymiana idei między zewnętrznymi zastosowaniami matematyki a jej wewnętrzną strukturą trwa od kilku tysiącleci i oba te aspekty splotły się ze sobą tak ściśle, że ich rozdzielenie jest już w zasadzie niemożliwe. Bez większych trudności możemy jednak rozróżnić nasze nastawienie do matematyki, co prowadzi do szerokiego jej podziału na dwa rodzaje: teoretyczna i stosowana. Taki podział ma rację bytu jako prosty sposób na umiejscowienie idei matematycznych w krajobrazie pojęciowym, ale nie jest zbyt dokładnym opisem samej matematyki. W najlepszym wypadku pozwala na odróżnienie dwóch krańców szerokiego, ciągłego zakresu matematycznych podejść. W najgorszym – prowadzi do nieporozumień odnośnie do tego, które gałęzie matematyki są użyteczne i skąd pochodzą dane idee. Podobnie jak to się dzieje we wszystkich dziedzinach nauki, również matematyka czerpie swoją moc z połączenia abstrakcyjnego rozumowania z ideami płynącymi ze świata zewnętrznego – i oba te aspekty wzajemnie się inspirują. Rozdzielenie obydwu wątków nie tylko jest niemożliwe – działanie takie jest bezcelowe.

Większość naprawdę ważnych problemów matematycznych, owe wielkie wyzwania, którym poświęcona jest ta książka, powstała w ramach samej matematyki, w wyniku swego rodzaju intelektualnego zapatrzenia we własny pępek. Przyczyna tego jest prosta: są to problemy matematyczne. Matematykę często postrzega się jako zbiorowisko odrębnych działów, z których każdy ma własne specjalistyczne techniki: algebra, geometria, trygonometria, analiza, kombinatoryka, probabilistyka. Tak się jej też naucza i są po temu dobre powody: umiejscowienie każdego oddzielnego zagadnienia w jednym, dobrze określonym obszarze pozwala uczniom uporządkować materiał w głowie. Jest to sensowne pierwsze przybliżenie struktury matematyki, szczególnie uzasadnione dla działów od dawna już zbadanych. Jednak na obszarach toczących się obecnie badań naukowych taki wyraźny podział ulega często rozmyciu. I nie chodzi tu tylko o to, że granice między głównymi obszarami matematyki zamazują się – one po prostu nie istnieją.

Każdy matematyk prowadzący badania ma pełną świadomość tego, że w każdej chwili, nagle i niespodziewanie, problem, nad którym pracuje, może wymagać zastosowania idei z jakiegoś innego, pozornie niezwiązanego z nim działu. Nowe badania w istocie prowadzą często do połączenia różnych gałęzi matematyki. Na przykład moje skupiają się wokół zagadnienia powstawania wzorów w układach dynamicznych, czyli takich, które zmieniają się z upływem czasu zgodnie z określonymi zasadami. Typowym przykładem jest sposób poruszania się zwierząt. Kłusujący koń powtarza bez końca taki sam ciąg ruchów, co prowadzi do powstania wyraźnego wzorca: kopyta opadają na ziemię przeciwległymi parami, to znaczy – najpierw od ziemi odbijają się nogi lewa przednia i prawa tylna, a potem pozostałe dwie. Czy jest to zagadnienie związane z wzorami? W takim razie oznaczałoby to, że metody jego analizy powinny się wywodzić z teorii grup, czyli algebry symetrii. A może jest to zagadnienie związane z dynamiką? Wówczas należałoby zastosować równania różniczkowe w stylu newtonowskim.

Prawda jest taka, że z definicji tego typu problem jest powiązany z obydwiema dziedzinami. Nie chodzi tu o ich część wspólną, czyli zakres materiału wspólny dla obu dziedzin, bo to jest w zasadzie zbiór pusty. Mówimy tu raczej o nowym „obszarze” łączącym obie tradycyjnie rozdzielne dziedziny. Przypomina on most przerzucony przez rzekę graniczną między dwoma państwami – most taki łączy obydwa kraje, choć nie należy do żadnego z nich. W naszym przykładzie jednak most ten nie jest wąskim pasem drogi – jego rozmiar jest porównywalny z rozmiarem każdego z sąsiadujących państw. Jeszcze ważniejsze jest to, że wykorzystywane w tym wypadku metody nie ograniczają się do technik stosowanych na obydwu obszarach. W istocie każda dziedzina matematyki, której się kiedykolwiek uczyłem, odgrywa w moich badaniach jakąś rolę. Na studiach na uniwersytecie w Cambridge poznałem teorię Galois, która mówi o tym, jak należy rozwiązywać równania algebraiczne piątego stopnia (a właściwie o tym, dlaczego nie można ich rozwiązać). Na zajęciach poświęconych teorii grafów poznałem sieci, czyli punkty połączone liniami. Nigdy nie uczyłem się układów dynamicznych, ponieważ moja praca doktorska była poświęcona algebrze, ale w ciągu tych wszystkich lat poznałem podstawy tej dziedziny, od stanów stacjonarnych do chaosu. Teoria Galois, teoria grafów, układy dynamiczne – trzy oddzielne obszary. Tak przynajmniej sądziłem do 2011 roku, gdy zapragnąłem zrozumieć, jak można wykryć zachowanie chaotyczne w sieci układów dynamicznych, i okazało się, że kluczowy krok wymagał zastosowania teorii Galois, którą poznałem 45 lat wcześniej na studiach.

Matematyka nie przypomina zatem politycznej mapy świata, na której każdy kraj ma jednoznacznie wytyczoną, wyraźną granicę i jest zaznaczony innym kolorem – różowym, zielonym lub jasnoniebieskim – dzięki czemu szybko można go odróżnić od państw sąsiednich. Bardziej przypomina pejzaż, na którym trudno tak naprawdę stwierdzić, gdzie kończy się dolina, a zaczyna wzgórze, gdzie las przechodzi w zagajnik, a ten z kolei w chaszcze i trawiastą łąkę. W takim pejzażu jeziora rozlewają swe wody na każdym rodzaju terenu, a rzeki łączą okryte śniegiem wierzchołki gór z dalekimi, rozległymi morzami. Jednak takiego wiecznie zmieniającego się matematycznego krajobrazu nie tworzą skały, woda i rośliny, ale idee, a łączącym go spoiwem nie jest geografia, lecz logika. Jest to krajobraz dynamiczny, który zmienia się za każdym razem, gdy ktoś odkrywa jakieś nowe idee lub metody. Ważne pojęcia o szerokich zastosowaniach górują niczym wysokie szczyty, a często używane metody przypominają szerokie rzeki niosące podróżnych przez żyzne równiny. Im dokładniej przyjrzymy się temu pejzażowi, tym łatwiej będziemy mogli dostrzec w nim niezdobyte szczyty lub nieprzebyte obszary tworzące niepotrzebne przeszkody. Z czasem niektóre z tych szczytów i przeszkód zyskują sławę. To są właśnie nasze wielkie wyzwania.

Co sprawia, że problem matematyczny staje się wielki? Problem taki musi się cechować głębią intelektualną w połączeniu z prostotą i elegancją. I jeszcze jedno: musi być trudny. Każdy może wejść na pagórek – zdobycie Mount Everestu to zupełnie co innego. Wielki problem można zwykle wyrazić w prostej formie, choć użyte wyrażenia mogą być różne: elementarne lub niezwykle zaawansowane. Zapis wielkiego twierdzenia Fermata lub twierdzenia o czterech barwach jest z miejsca zrozumiały dla każdego, kto uczył się w szkole matematyki. Natomiast hipotezy Hodge’a lub hipotezy luki masowej nie można nawet sformułować bez odwoływania się do skomplikowanych pojęć z najnowszych obszarów badań – nie przypadkiem hipoteza luki masowej pojawiła się na gruncie kwantowej teorii pola. Jednak dla osób obeznanych z tymi dziedzinami sformułowanie wymienionych zagadnień jest proste i naturalne. Nie wymaga zapisania wielu stron drobnym maczkiem. Gdzieś pośrodku plasują się problemy wymagające znajomości matematyki z zakresu szkoły średniej i wyższej – jeśli ktoś pragnie je zrozumieć dokładnie. Każdy natomiast może pojąć na bardziej ogólnym poziomie najważniejsze aspekty danego problemu – skąd się wziął, dlaczego jest ważny, co uzyskamy dzięki jego rozwiązaniu – i właśnie takie wyjaśnienia będę się starał przedstawić w tej książce. Przyznaję, że hipoteza Hodge’a okazuje się pod tym względem twardym orzechem do zgryzienia, ponieważ jest bardzo skomplikowana i abstrakcyjna. Znalazła się jednak na liście siedmiu matematycznych problemów milenijnych ogłoszonej przez Instytut Claya i za jej udowodnienie wyznaczono nagrodę w wysokości miliona dolarów, nie możemy więc jej tu pominąć.

Wielkie problemy pobudzają nas do twórczego działania – pomagają odkrywać nowe obszary matematyki. W 1900 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu David Hilbert wygłosił wykład, na którym przedstawił listę 23 najważniejszych problemów matematycznych. Nie umieścił na niej wielkiego twierdzenia Fermata, ale wspomniał o nim na początku wykładu. Gdy jakiś wybitny matematyk wymienia najważniejsze jego zdaniem problemy, pozostali uczeni słuchają go z uwagą. Wymienione zagadnienia nie znalazłyby się na tej liście, gdyby nie były ważne i trudne. To zupełnie naturalne, że takie problemy stają się wyzwaniem rzuconym społeczności uczonych i wszyscy próbują je rozwiązać. Od czasu kongresu w Paryżu rozwiązanie któregoś z problemów Hilberta było doskonałym sposobem na zdobycie matematycznych ostróg. Część z tych problemów jest zbyt skomplikowana, by można je było omówić w tej książce, część ma charakter otwartego programu badawczego, a nie konkretnego zagadnienia do rozwiązania, jednak kilka z nich pojawi się w dalszej części naszej opowieści. Wszystkie zaś zasługują na wymienienie, dlatego w przypisach zamieściłem ich krótkie podsumowanie8.

Właśnie to sprawia, że dany problem matematyczny jest wielki. Natomiast fakt, że dane zagadnienie staje się problemem, rzadko kiedy oznacza, iż nie wiadomo, jak powinno wyglądać rozwiązanie. Praktycznie w wypadku wszystkich wielkich problemów matematycy mają (lub mieli, jeśli chodzi o problemy już rozwiązane) bardzo dobre wyobrażenie na temat tego, jaka powinna być odpowiedź. Co więcej, samo sformułowanie problemu często zawiera już oczekiwane rozwiązanie. Każda hipoteza tak właśnie wygląda – jest przypuszczalnym twierdzeniem wynikającym z różnorodnych dowodów. Większość dogłębnie zbadanych hipotez okazuje się ostatecznie prawdziwa, ale nie wszystkie. Zdarza się, że uczeni używają innych określeń, mając na myśli hipotezę – na przykład dla twierdzenia Fermata słowo „twierdzenie” jest (a mówiąc dokładnie, było) nadużyciem – twierdzenie wymaga dowodu, a akurat jego brakowało, dopóki nie pojawił się Wiles.

To właśnie konieczność przedstawienia dowodu powoduje, że wielkie problemy zasługują na miano problemów. Każdy średnio wykształcony matematyk może przeprowadzić parę obliczeń, dostrzec pojawiającą się prawidłowość i zawrzeć jej sedno w jakimś mniej lub bardziej nieporadnym stwierdzeniu. Matematycy wymagają silniejszych dowodów – żądają pełnego, nienagannego pod względem logiki dowodu. Albo też, jeśli odpowiedź jest przecząca – dowodu obalającego dane stwierdzenie. Trudno w istocie w pełni docenić nieodparty urok wielkich problemów bez zrozumienia kluczowej roli, jaką odgrywa dowód we wszelkich działaniach matematyków. Każdy może przeanalizować garść faktów i wysunąć hipotezę. Cała trudność polega na udowodnieniu, że jest ona poprawna. Albo błędna.

Znaczenie pojęcia dowodu matematycznego ulegało w przeszłości zmianom, które najczęściej polegały na coraz silniejszym zaostrzaniu wymagań logicznych. Uczeni odbyli wiele filozoficznych dyskusji na temat natury dowodu i dzięki nim udało się zwrócić uwagę na kilka istotnych kwestii. W efekcie zaproponowano i zaczęto stosować w praktyce dokładną logiczną definicję „dowodu”. W szkole uczą nas, że dowód zaczyna się od przedstawienia jawnych założeń, które nazywamy aksjomatami. Można powiedzieć, że definiują one reguły gry. Równie dobrze moglibyśmy przyjąć inne aksjomaty, ale wtedy mówilibyśmy o innej grze. Podejście takie wprowadził starożytny grecki matematyk Euklides i mimo upływu lat wciąż pozostaje ono ważne. Gdy już ustalimy, jakie są aksjomaty, możemy przeprowadzić dowód danego twierdzenia, który polega na przedstawieniu kolejnych kroków będących logicznym wnioskiem płynącym albo z aksjomatów, albo z poprzednich kroków, albo z jednego i drugiego. Można powiedzieć, że matematyk penetruje logiczny labirynt, w którym rolę rozwidleń odgrywają kolejne stwierdzenia, a przejścia to poprawnie wysnute wnioski. Dowód jest w takim wypadku ścieżką prowadzącą przez labirynt, która zaczyna się od aksjomatów. Proces taki dowodzi prawdziwości stwierdzenia, przy którym kończy się ścieżka.

Takie proste pojęcie dowodu nie oddaje jednak całej złożoności zagadnienia. Nie jest nawet najważniejszą częścią całego procesu dowodzenia. To tak, jakby powiedzieć, że symfonia jest ciągiem dźwięków zestawionych zgodnie z regułami harmonii. Takie stwierdzenie całkowicie pomija czynnik twórczy. Nie mówi nic na temat tego, jak należy szukać dowodów ani nawet jak sprawdzić poprawność dowodu, który przeprowadził ktoś inny. Nie wspomina ani słowem, które miejsca w labiryncie są ważne. Nie dowiemy się też, jakie ścieżki są eleganckie, a jakie brzydkie; które są ważne, a które – bez znaczenia. Jest to formalny, mechaniczny opis procesu, który ma wiele różnych aspektów, a w szczególności – wymiar ludzki. To ludzie odkrywają dowody i badania matematyczne nie sprowadzają się jedynie do wykonywania kolejnych kroków wynikających z logiki.

Gdyby potraktować tę formalną definicję dosłownie, uzyskalibyśmy praktycznie nieczytelne dowody, ponieważ większość czasu musielibyśmy poświęcić na stawianie każdej kropki nad każdym logicznym „i”, podczas gdy wynik końcowy od dawna byłby już wiadomy. Dlatego matematycy idą drogą na skróty i pomijają wszystko, co jest oczywiste lub stanowi część rutynowych działań. Zawsze jednak zaznaczają, że w danym miejscu następuje przeskok w wywodzie, używając standardowych stwierdzeń, takich jak „łatwo można stwierdzić, że…” lub „z prostych obliczeń wynika, że”. Jedyne, czego nie robią, przynajmniej nie świadomie, to nie omijają chyłkiem logicznych trudności ani nie próbują udawać, że ich w danym miejscu nie ma. Ba, doświadczeni matematycy wkładają nawet wiele wysiłku w dokładne pokazanie właśnie tych fragmentów argumentacji, które nie są do końca pewne z logicznego punktu widzenia, i poświęcają większość czasu na wyjaśnienie, co należałoby zrobić, żeby je odpowiednio wzmocnić. W efekcie dowód jest matematyczną opowieścią z własnym przebiegiem wydarzeń. Ma początek, środek i koniec. Często pojawiają się wątki poboczne, wyrastające z głównej myśli, i każdy z nich znajduje swoje rozwiązanie. Brytyjski matematyk Christopher Zeeman zauważył kiedyś, że twierdzenie jest intelektualnym miejscem wytchnienia. Możemy się na chwilę zatrzymać, złapać oddech i poczuć, że dokądś dotarliśmy. Wątek poboczny służy wyjaśnieniu jakiegoś szczegółu głównego toku narracji. Dowody przypominają opowieści również pod innymi względami: często występuje w nich jeden lub kilkoro głównych bohaterów – są to oczywiście idee, nie osoby – i łączące ich skomplikowane związki prowadzą do ostatecznego rozwiązania.

Jak wynika ze szkolnej definicji, dowód rozpoczyna się od jawnego wymienienia założeń, a następnie następuje wyprowadzenie logicznych konsekwencji przedstawione w spójny i uporządkowany sposób, prowadzące do tego, co chcemy udowodnić. Jednak dowód nie jest tylko listą wyciąganych wniosków, a logika nie jest jedynym stosowanym tu kryterium. Dowód jest opowieścią przygotowaną dla ludzi, którzy większość czasu poświęcają na naukę czytania tak zapisanych historii i znajdowania w nich pomyłek lub niespójności. Ich głównym celem jest udowodnienie, że autor się myli. Osoby te są obdarzone osobliwym darem dostrzegania wszelkich słabości i z całą bezwzględnością będą uderzały w każdy słaby punkt tak długo, aż cała konstrukcja runie, wzbudzając tumany kurzu. Gdy matematyk dochodzi do wniosku, że udało mu się rozwiązać jakieś istotne zagadnienie – nieważne, czy będzie to wielki problem, czy też coś ciekawego, ale wzbudzającego mniejszy podziw – to w pierwszym odruchu nie krzyczy „Hura!” i nie sięga po butelkę szampana, ale próbuje obalić to, co przed chwilą osiągnął.

Być może brzmi to zniechęcająco, ale dowód jest jedynym wiarygodnym narzędziem matematyków, pozwalającym upewnić się, że to, co mówią, jest prawdziwe. Przewidując taką reakcję kolegów, badacze wkładają wiele wysiłku w próby obalenia własnych pomysłów i dowodów. W ten sposób mogą sobie oszczędzić wstydu. Gdy dana opowieść wychodzi obronną ręką z tego rodzaju krytycznej oceny, uczeni bezzwłocznie uznają, że jest ona poprawna, i wtedy jej autor otrzymuje należne mu słowa uznania, szacunek i nagrodę. A przynajmniej tak to się zazwyczaj odbywa, choć osoby zaangażowane w ten proces mogą czasami odnieść inne wrażenie. Gdy ktoś jest w samym środku akcji, jego ocena przebiegu wydarzeń może odbiegać od tego, co zauważa obserwator patrzący z zewnątrz.

Reszta w pełnej wersji

2 Simon Singh, Tajemnica Fermata, przeł. Paweł Strzelecki, Prószyński i S-ka, Warszawa 1999.

3 Gauss w liście do Heinricha Olbersa z 21 marca 1816 roku.

4 Tytuł ten brzmiał: Krzywe modularne, formy eliptyczne i reprezentacje Galois.

5 Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem (Modularne krzywe eliptyczne a wielkie twierdzenie Fermata), „Annals of Mathematics” 1995, tom 141, s. 443–551.

6 Ian Stewart, 17 równań, które zmieniły świat, przeł. Julia Szajkowska, Prószyński i S-ka, Warszawa 2013, rozdział 11.

7 Ibid., rozdział 9.

8 Problemy Hilberta przedstawiłem w książce Gabinet zagadek matematycznych. Ich uaktualniona lista wygląda następująco:

1. Hipoteza continuum: Czy istnieje nieskończona liczba kardynalna plasująca się między mocą zbioru liczb całkowitych a mocą zbioru liczb rzeczywistych? Problem rozwiązany przez Paula Cohena w 1963 roku – odpowiedź zależy od wyboru aksjomatów teorii zbiorów.

2. Spójność logiczna arytmetyki: Należy udowodnić, że standardowe aksjomaty arytmetyki nigdy nie prowadzą do sprzeczności. Problem rozwiązał Kurt Gödel w 1931 roku – jest to niemożliwe w wypadku stosowanych zazwyczaj aksjomatów.

3. Równość objętości czworościanów: Jeśli mamy dane dwa czworościany o takiej samej objętości, to czy zawsze jest możliwe podzielenie jednego z nich na skończoną liczbę mniejszych wielościanów w taki sposób, by można je było złożyć w całość i otrzymać drugi czworościan? Problem rozwiązany w 1901 roku przez Maxa Dehna – okazuje się, że nie zawsze jest to możliwe.

4. Prosta jako najkrótsza droga między dwoma punktami: Należy sformułować aksjomaty geometrii w oparciu o powyższą definicję „prostej” i zbadać, do czego to prowadzi. Jest to zbyt szeroki problem, by można było przedstawić konkretne rozwiązanie, ale wykonano wiele prac poświęconych temu zagadnieniu.

5. Grupy Liego bez założenia różniczkowalności: Szczegółowy problem z zakresu teorii grup przekształceń. Dla jednej z interpretacji problem ten rozwiązał Andrew Gleason w latach pięćdziesiątych. Dla innej – rozwiązanie przedstawił Hidehiko Yamabe.

6. Aksjomaty fizyki: Należy opracować ścisły układ aksjomatów matematycznych obszarów fizyki, takich jak teoria prawdopodobieństwa i mechanika. Andriej Kołmogorow przedstawił aksjomaty teorii prawdopodobieństwa w 1933 roku.

7. Liczby niewymierne i przestępne: Należy udowodnić, że określone liczby są niewymierne lub przestępne. Problem rozwiązali Aleksander Gelfond i Theodor Schneider w 1934 roku.

8. Hipoteza Riemanna: Należy udowodnić, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe funkcji dzeta Riemanna leżą na prostej krytycznej. Zob. rozdz. 9.

9. Prawo wzajemności ciał liczbowych: Należy uogólnić klasyczne prawo wzajemności reszt kwadratowych na wyższe potęgi. Problem częściowo rozwiązany.

10. Ustalenie, kiedy równanie diofantyczne ma rozwiązania: Należy znaleźć algorytm, który pozwoli stwierdzić, kiedy równanie wielomianowe z wieloma zmiennymi ma rozwiązania w zbiorze liczb naturalnych. W 1970 roku Jurij Matijasewicz udowodnił, że jest to niemożliwe.

11. Formy kwadratowe ze współczynnikami będącymi liczbami algebraicznymi: Kwestia szczegółowa dotycząca rozwiązań równań diofantycznych o wielu zmiennych. Częściowo rozwiązany.

12. Twierdzenie Kroneckera o ciałach abelowych: Problem szczegółowy dotyczący uogólnienia twierdzenia Kroneckera. Wciąż nierozwiązany.

13. Rozwiązanie równań stopnia siódmego za pomocą funkcji specjalnych: Należy udowodnić, że w ogólnym przypadku nie da się rozwiązać równania stopnia siódmego za pomocą funkcji dwóch zmiennych. Dla jednej z interpretacji Andriej Kołmogorow i Władimir Arnold udowodnili twierdzenie przeciwne głoszące, że jest to możliwe.

14. Skończoność pewnej struktury funkcji: Należy rozszerzyć twierdzenie Hilberta o niezmiennikach algebraicznych na wszystkie grupy przekształceń. W 1959 roku Masayoshi Nagata udowodnił, że jest to niemożliwe.

15. Rachunek Schuberta: Hermann Schubert zaproponował nieścisłą metodę zliczania różnych konfiguracji geometrycznych, należy przedstawić ścisłą wersję tego rachunku. Jak dotąd nie znaleziono pełnego rozwiązania.

16. Topologia krzywych i powierzchni: Ile połączonych ze sobą elementów może mieć krzywa algebraiczna danego stopnia? Ile różnych cykli okresowych może mieć algebraiczne równanie różniczkowe danego stopnia? Przeprowadzono pewne badania tych zagadnień, ale nie są one zbyt zaawansowane.

17. Wyrażenie ściśle określonych form za pomocą kwadratów: Czy funkcja wymierna przyjmująca zawsze wartości nieujemne musi być sumą kwadratów? Problem rozwiązali Emil Artin, D.W. Dubois i Albrecht Pfister – jest to prawdą dla liczb rzeczywistych, natomiast dla pozostałych systemów liczbowych stwierdzenie takie jest nieprawdziwe.

18. Pokrycie przestrzeni wielościanami: Ogólny problem wypełnienia przestrzeni wielokątami przystającymi. Problem ten dotyczy również hipotezy Keplera, która została udowodniona (zob. rozdz. 5).

19. Analityczność rozwiązań rachunku wariacyjnego: Rachunek wariacyjny odpowiada na pytania typu: „Jaka jest najkrótsza krzywa o danych własnościach?”. Czy wystarczy zdefiniować taki problem za pomocą funkcji pozbawionych osobliwości, żeby rozwiązanie również ich nie miało? Udowodnił to w 1957 roku Ennio de Giorgi oraz, niezależnie od niego, John Nash.

20. Problemy wartości brzegowej: Należy opisać rozwiązania fizycznych równań różniczkowych we wnętrzu określonego obszaru przestrzeni, gdy dane są własności rozwiązań na brzegu tego obszaru. Problem został w zasadzie rozwiązany dzięki pracy wielu matematyków.

21. Istnienie równań różniczkowych o danych grupach monodromii: Specjalny rodzaj zespolonych równań różniczkowych można opisać za pomocą ich punktów osobliwych i grupy monodromii. Czy da się udowodnić, że może wystąpić dowolna kombinacja tych danych? Odpowiedź na tak postawione pytanie jest twierdząca lub przecząca, w zależności od przyjętej interpretacji.

22. Uniformizacja relacji analitycznych za pomocą funkcji automorficznych: Szczegółowy problem dotyczący uproszczenia równań. Rozwiązany przez Paula Koebego tuż po roku 1900.

23. Rozwój rachunku wariacyjnego: Hilbert apelował o przedstawienie nowych idei z dziedziny rachunku wariacyjnego. Zrobiono w tej dziedzinie już bardzo wiele, jest to jednak problem sformułowany zbyt ogólnie, żeby można go było uważać za rozwiązany.

2. Królestwo liczb pierwszych

Hipoteza Goldbacha

Dostępne w pełnej wersji

3. Zagadkowa liczba π

Kwadratura koła

Dostępne w pełnej wersji

4. Tajemnice kartografii

Twierdzenie o czterech barwach

Dostępne w pełnej wersji

5. Symetria doskonała

Hipoteza Keplera

Dostępne w pełnej wersji

6. Nowe rozwiązania starego problemu

Hipoteza Mordella

Dostępne w pełnej wersji

7. Zbyt wąskie marginesy

Wielkie twierdzenie Fermata

Dostępne w pełnej wersji

8. Chaos orbitalny

Problem trzech ciał

Dostępne w pełnej wersji

9. Jeszcze o liczbach pierwszych

Hipoteza Riemanna

Dostępne w pełnej wersji

10. Jaki kształt ma sfera?

Hipoteza Poincarégo

Dostępne w pełnej wersji

11. Nie wszystko może być proste

Problemy P i NP

Dostępne w pełnej wersji

12. Rozmyślania o cieczach

Równania Naviera–Stokesa

Dostępne w pełnej wersji

13. Kwantowa zagadka

Hipoteza luki masowej

Dostępne w pełnej wersji

14. Diofantyczne marzenia

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera

Dostępne w pełnej wersji

15. Cykle zespolone

Hipoteza Hodge’a

Dostępne w pełnej wersji

16. Co dalej?

Dostępne w pełnej wersji

17. Dwanaście na przyszłość

Dostępne w pełnej wersji

Słownik

Dostępne w pełnej wersji

Literatura uzupełniająca

Dostępne w pełnej wersji