Jerzy Mioduszewski

Cztery szkice z przeszłości matematyki

Oficyna Wydawnicza Impuls

Kraków 2013

Piotrowi – który napisałby to lepiej

Spis treści

Wstęp

Dedykacja

Nie kochamy tego wieku – o Leonardzie Eulerze

BAZYLEA

Akademia na wyspie

EULER

RADISZCZEW

WITKACY

AUTOR

RADISZCZEW

KRÓLEWIEC

MOSTY

O DOWODZIE

EULER O MATEMATYCE

EULER O GOLDBACHU

GOLDBACH

EULER O SOBIE

O EULERZE

EULER – ALGEBRA STIEFLA

AUTOR

EULER. MATHEMATICA SUBLIMIORIS

Akademie i salony

FRYDERYK II

WITKACY O SWOIM WIEKU

AKADEMIA

MAUPERTUIS

WITKACY

O VOLTAIRZE

WITKACY

AUTOR

Koniec wieku

CARYCA ELŻBIETA

KNIAŹ PEREJASŁAWSKI

O EULERZE W BERLINIE

SCHUHMACHER

KRÓL STANISŁAW

EULER W POLSCE

EULER O ROSJI

O PANOWANIU KATARZYNY

IMMANUEL KANT

WITKACY

AUTOR

ZAKOŃCZENIE

Bibliografia

Georg Cantor – O Dedekindzie, Kroneckerze i o samym sobie

OD AUTORA

ZBIORY

WCZEŚNIEJSZE NIŻ LICZBY

ROJENIA DZIECKA

MOSES MENDELSSOHN

FIZYCZNOŚĆ CONTINUUM

ZBIORY CZYSTE

SPOTKANIE (1872)

SKROMNY POCZĄTEK

NIEPRZELICZALNOŚĆ CONTINUUM

KRZYK BEOTÓW

KRONECKER

(1887) PŁASZCZYZNA I PROSTA

TWIERDZENIE, KTÓRE POWINNO BYĆ PRAWDZIWE

NIECHĘTNE PRZYJĘCIE

W CIENIU DEDEKINDA

STARZEJĄCY SIĘ MĘDRZEC

SZAROŚĆ ZBIORÓW

MANIFEST MATEMATYKI WYZWOLONEJ

DOBRE UPORZĄDKOWANIE

LICZBY PORZĄDKOWE

CONTINUUM

MITTAG-LEFFLER

ACTA MATHEMATICA

KORESPONDENCJA

LIST DO KRONECKERA

ODPOWIEDŹ KRONECKERA

(1885) ODPOWIEDŹ MITTAG-LEFFLERA

GOTTLOB FREGE

PUSZKIN

NOWE

POZA MATEMATYKĄ

CIĄGI O DWÓCH ELEMENTACH

BILANS 1895

VASSILIEFF

HERMITE

HILBERT

FELIX BERNSTEIN

CIEŃ SPRZED DWUDZIESTU LAT

POWIEDZMY COŚ ZA CANTORA

DODANE PO ZAKOŃCZENIU

Bibliografia

Matematycy i „fiłosofy”

WACŁAW SIERPIŃSKI

SIERPIŃSKI

BOLESŁAW MŁODZIEJOWSKI

SIERPIŃSKI

MŁODZIEJOWSKI

MŁODZIEJOWSKI (sam, o Łuzinie)

LUTY 1917

MŁODZIEJOWSKI

PAŹDZIERNIK 1917

SIERPIŃSKI

MOSKWA 1923

ROK 1928

PO LATACH

Dwie Warszawy

RUZIEWICZ

CASIMIR

RAJCHMAN

ROSJA

SEMINARIUM NA OCZKI

O SOBIE

ZŁY ZNAK

SAMUEL I INNI

PAN BEGAGON

RÓWNIEŻ W TEKSASIE

12 MAJA

WYCIECZKA

JULIAN

MOSKWA 1935

ZARANKIEWICZ

BORSUK

BRONISŁAW

WIDMO DARWINA KRĄŻY PO EUROPIE

ZŁOWRÓŻBNY ROK 1935

PAN WITOLD

KONFLIKTY

FRITZ ROTHBERGER

HABILITACJA

DEPRESJA

SŁUPECKI

FATALNE EMOCJE

SCHOLASTYKA

RZECZYWISTOŚĆ

BOLSZEWICY

PRAWOSŁAWIE

KONTINUUM KNASTERA

PO WIELKIEJ KONFERENCJI

SOWIETY

SIERPIŃSKI

FRANCUZI

SZKOŁA POLSKA

MORENA CZOŁOWA

TEORIA „WITZU”

RAPPAPORT

STECKEL

HENRYK

STEINHAUS

DYBUK

CR PARYSKIE

RADIO BRESLAU

SKŁÓCONA EUROPA

STOIŁOW

ESPACES SEPARABLES

RETRAKTY I RELACJA TAU

TOPOLOGIA

TRADYCJA PETERSBURSKA

MY I MATEMATYKA

BANACH

LWÓW

SIERPIŃSKI

ZA POŁUDNIOWĄ GRANICĄ

LIDER

MATEMATYKA SIERPIŃSKIEGO

FILOZOFIA MATEMATYKI

POLSKA LEKKOŚĆ MYŚLI

TOMSK

RZECZYWISTOŚĆ

TO PEWNIE BŁĄD

EMIGRACJA

KRAKÓW

NIKODYM

DRUGA STOLICA

TE DEUM

SUMMA TOPOLOGIAE

CIENIE ZAWODU

BEGAGON

26 SIERPNIA

Posłowie

WOJNA

Przypisy

Strona redakcyjna

Wstęp

Cztery szkice przedstawione w tej książce dotyczą matematyki, a dokładniej, pewnych wydarzeń matematycznych należących już do historii. Pojawiają się w nich fragmenty, które wychodzą poza matematykę. Czy te dygresje – nieraz dość obszerne – powodowane były jedynie pogonią za anegdotą, czy też mógłby w tym być jakiś większy sens? Autor nie odpowie na to pytanie, bo sam chciałby wiedzieć, w jaki sposób geniusz czasu i miejsca, objawiający się zazwyczaj jako sytuacja społeczna, a nawet jako zjawisko natury, mógłby mieć wpływ na prawdy matematyczne uznawane za wieczne. Nie wiemy, ale też i nie przyjmujemy pośpiesznie zbyt prostych rozwiązań, dlatego podpatrujemy. Czujemy się nieraz nieswojo w tej roli, odczuwając na sobie surowy wzrok Eulera, kiedy zaglądamy w myśli, które on miał tylko dla siebie. Niezasłużenie korzystamy z przewagi, jaką daje znajomość późniejszego biegu spraw, wglądając w nie zawsze doskonałe poczynania naszych poprzedników.

Sumując ułamki 1/2n dostajemy 1. Ale oczywiste jest jedynie to, że dostaje się nie więcej niż 1. Wątpliwości zasiane przez Zenona z Elei usunęli Eudoksos i Archimedes. Jeśli sumujemy wszystkie ułamki 1/n, przekraczamy, zwiększając n, wszelkie możliwe wielkości całkowite. Pokazał to w XIV wieku Mikołaj Oresme, biskup Lisieux. Jeśli sumujemy jedynie ułamki 1/n², dostajemy wielkość skończoną, co pokazał sposobem należącym już do calculusu Evangelista Torricelli. Jego metoda nie pozwalała jednak na podanie dokładnej sumy. Podał ją Leonard Euler, któremu poświęcony jest pierwszy z zamieszczonych tu szkiców. Suma ułamków 1/n² jest π²/6. Był to wielki wynik, ale Czytelnik zapyta, skąd to π? Niech wyjaśnieniem zostanie to, że liczba π jest polem koła o promieniu 1, a na połowę tego pola na stulecie przedtem wzór π/2 = 2/1 8/9 24/25 35/36 … podał John Wallis. W czasach Eulera uzyskiwaniu tego rodzaju wyników służyła mocno już rozwinięta teoria szeregów potęgowych opisujących wszystkie znane funkcje, w szczególności trygonometryczne. Nie wahając się wejść w trudne obliczenia przy mnożeniu szeregów, Euler dostał nie tylko wzór na sumę odwrotności kwadratów, ale i na sumę odwrotności czwartych potęg i dalszych parzystych. Nie umiał jednak nic powiedzieć o sumie ułamków 1/n³. Dopiero w XX wieku stało się wiadome, że nie jest to liczba wymierna.

Wspomniane niepowodzenie nie powaliło Eulera, podobnie jak nie powaliła go hipoteza Goldbacha, nazywana „zabójczą hipotezą”, której Euler nie rozstrzygnął, a której niedawno poświęcono powieść. Jako chłopca nazywano Eulera Sonnenknabe. Umiał się cieszyć także i w dojrzałym wieku z każdego uzyskanego wyniku, nie omijając rzeczy drobnych. Prostym zadaniem, jakim był problem mostów królewieckich, zapoczątkował topologię płaszczyzny, poddając pod wątpiącą rozwagę stwierdzenie, że przechodząc trzy mosty na rzece, jesteśmy dwa razy na każdym z jej brzegów. Ale umożliwiało ono rozstrzygnięcie zadania i przyjął je za pewnik. Euler znajdował czas i na pracę nad podnoszeniem na wieżę wielopudowego kołokoła, i czas na pytania z salonu Sanssouci o prawdziwość zasady najmniejszego działania. A może tak mu się układało życie i nie musiał tego wypowiadać jako swego credo. Wypowiada je współczesny nam Sir Michael Atiyah, który przestrzega młodego matematyka przed wyborem w matematyce drogi liniowej, przed niedostrzeganiem w matematyce rzeczy przygodnych. Ale może i rodzaj zadań ma znaczenie, bo według Platona arytmetyka ożywia umysł, a trzy mosty na rzece potrafią zatrzymać myśl na długo.

W następnych szkicach napotkamy matematyków innego usposobienia, chociaż wyłączmy od razu mędrca Richarda Dedekinda i twórcę polskiej szkoły matematycznej Wacława Sierpińskiego, na którego temat autor – w czwartym szkicu – pozwolił sobie na kilka żartów. A wyłączmy jeszcze (nie wymieniając wszystkich) Hugona Steinhausa, który matematykę widział we wszystkim wokół. To, co wokół nas ożywia matematykę. Bez dopływu bodźców z zewnątrz myśl się zatrzymuje, wydaje się, że mogłaby wtedy drążyć głębiej, ale tak nie bywa.

Główną postacią drugiego szkicu jest Georg Cantor, bardziej prorok niż twórca teorii mnogości, która ma wielu ojców od starożytności poprzez scholastyczne Średniowiecze, też zresztą bardzo różnorodne. Cantor nie znał, jak się zdaje, tego rodowodu, widząc początkowo w rozwijanej przez siebie teorii naturalne przedłużenie arytmetyki. Dopiero kiedy wszedł w pozaskończoność, zrozumiał, jak wielkie oczekiwania stawia przed nim i sama teoria, i pojawiający się jej entuzjaści. Problemem – chociaż nieco późniejszym – stał się młody wtedy David Hilbert, który odsunął Cantora od wpływu na dalszy rozwój teorii, wymuszając na Zermeli jej aksjomatyzację. Potrzeby aksjomatyzacji nie widział ani Felix Hausdorff, któremu zawdzięczamy lemat Zorna, ani Wacław Sierpiński, dla którego pewnik wyboru był jeszcze jednym spośród środków dowodowych. Cantor nie zapanował nad tym, w co wciągnęła go matematyka. Bo matematyka wciąga, kradnie czas –  to Vito Vilterra – i nie każdy potrafi – jak Henri Lebesgue – dokonać w niej w porę rzeczy ważnych, odciąć się od nich i nie wracać do nich nawet w rozmowach. Zagadką pozostaje Dedekind, który zbiory widział zawsze jako wcielone w zjawiska i sytuacje, co bardziej odpowiada autorowi tych szkiców i co w niektórych miejscach akcentuje. Szkic o Cantorze jest przepełniony matematyką, nie znaczy to, by w innych szkicach matematyka była nieważna. Tak nie jest, ale wiedząc, jak trudno wejść w jej szczegóły, zostawiamy ją w dalekim tle.

Matematyka moskiewska – bo do niej się ograniczamy, omawiając w następnym szkicu matematykę rosyjską – jest przedmiotem dużego zainteresowania historyków matematyki. Egzotyczna rosyjskość i czas porewolucyjny, w którym rozkwitła, prowadzi u autorów spoza słowiańskiego kręgu do zachwytów tam, gdzie my chcemy po prostu zatrzymać się na dłuższą chwilę. We wcześniejszym szkicu o Eulerze wspominamy problem dwóch stolic. Autor włożył tam w usta Witkacego zdanie przypisujące rosyjski bolszewizm już samej idei Petersburga. Jest jakaś specyficzność bolszewizmu moskiewskiego okresu rewolucji, który zaistniał również i w tej stolicy, gdzie cerkwi jest sorok sorokow, bo rewolucja była w końcu przeciwko czemuś. Floreński – wyznawca imiesławija – brał czynny udział w życiu sowieckim. Nie odmawiał udziału w życiu instytucjonalnym Nikołaj Łuzin. Jeśli coś należałoby wyróżnić w ideowym życiu moskiewskiej bohemy naukowej, to nie ten czy inny kierunek ideowy, lecz temperaturę, która zrównywała postawę antagonistów, Nikołaja Łuzina i Pawła Aleksandrowa. Napięcie myślowe przenosiło się na matematykę, która, nie odróżniając „słowianofilów” od „zapadników”, była wszakże czuła na intensywność napięć. Nieważne, że spór toczył się akurat o zbiory analityczne, mimo to te konflikty, tak dla nauki zwyczajne, umieszczone w czasach przemiany i przełomu, nabrały znaczeń przerastających prawdę matematyczną.

Tego daru od losu nie mieli matematycy bezbarwnych historycznie pierwszych dziesiątków lat XIX wieku, mimo że w matematyce był to właśnie czas przełomu dokonanego przez Augustine’a Louisa Cauchy’ego. Dlatego potężna matematyka martwego ideowo XXI wieku też może na tle historii nie zaistnieć.

Opisana w czwartym szkicu matematyka to historia sama w sobie. Dotyczy ona wyjątkowego okresu matematyki polskiej, jej dwudziestu lat między wojnami. Sprawiła kłopot autorowi, który – onieśmielony tematem – sięgnął po pomoc Tomasza Grabińskiego, swego pradziadecznego Wuja, jednego z tych Wujów, jakich można znaleźć w każdej rodzinie i o których krążą legendy. Oddalony czasem i profesją od warszawskiego dwudziestolecia, daleki od spraw tamtego czasu i matematyki jakichkolwiek lat i wokół niej sporów, Tomasz Grabiński odbierał jej historię jak szum strumienia, bez odniesień do jakichkolwiek znanych przypadków szczególnych. Wuj Tomasz – wcielony w postać emerytowanego profesora Uniwersytetu w Penzie – przekazał autorowi zarys tego szkicu pewnego dnia, gdzieś w latach dziewięćdziesiątych.  Uniwersytet w Penzie, położony na wysokim piaszczystym brzegu Rzeki, istnieje. Zaludniają go pasjonaci. Genialności się nie wymaga. Tamtejsi uczeni nie mają gabinetów. Kiedy się spotkają, nie poprzestają na powiedzeniu „dzień dobry”, lecz zatrzymują się i rozmawiają. Przedeptane ścieżki są śladem ich przemyśleń.

Widzimy w tym szkicu międzywojenną matematyczną Warszawę oczami Zenona Waraszkiewicza, który nie należał do jej postaci pierwszego szeregu, co nie przeszkadzało mu być uważnym obserwatorem. Jego monolog wewnętrzny nie mógł być przez nikogo spisany wiernie. Autor złożył go z faktów ściśle matematycznych, ale też i z zasłyszeń od osób, które Zenona Waraszkiewicza znały. Ich źródłem była przede wszystkim żywa matematycznie obecność prac Waraszkiewicza we wrocławskim seminarium Profesora Bronisława Knastera, ale też życzliwe o Waraszkiewiczu uwagi usłyszane od Profesora Karola Borsuka, rzeczowe omówienie przez Profesora Stanisława Hartmana jednej z prac nieco starszego od siebie kolegi i kilku o nim uwag, oraz emocjonalne przypomnienie Profesora Lecha Włodarskiego, który – jako asystent katedr matematycznych w latach tuż powojennych – współdziałał z ówczesnym docentem, a później profesorem Waraszkiewiczem w organizowaniu życia matematycznego w Łodzi. Profesorowi Krzysztofowi Tatarkiewiczowi zawdzięcza autor jedynie tylko jemu znane szczegóły matematycznej topografii międzywojennej Warszawy. Czasem plącze się chronologia. Ale i oficjalnie podane daty nie zawsze są pewne. We wspomnieniu wygłoszonym na posiedzeniu Oddziału Łódzkiego Towarzystwa Matematycznego w 1947 roku Profesor Stanisław Mazur mówił o Zenonie Waraszkiewiczu jako o zmarłym w 1946 roku. Kronika Towarzystwa odnotowuje sześć jego odczytów latem i jesienią 1945 roku, będących, jak się zdaje, jego dorobkiem lat wojennych, wynikiem mocowania się z fatalnym problemem. Na cmentarzu – jak się autor dowiedział od zaprzyjaźnionego Profesora Przemysława Skibińskiego – widoczna jest data 21 grudnia 1945.

***

Wydanie książki autor zawdzięcza Profesor Zofii Ratajczak, jej zachęcie, a w istocie wymuszeniu na autorze nadania obecnej formy gotowemu od kilkunastu lat tekstowi, i jej licznym wskazówkom. Do obecnego stanu – a nie chodziło tu bynajmniej jedynie o sprawy poprawności – doprowadziły tekst Zofia Smyk i Doktor Klaudia Dróżdż. Za współpracę w decydującej fazie wydawniczej autor dziękuje całemu zespołowi Oficyny Wydawniczej „Impuls”, a przede wszystkim Danucie Porębskiej, której przychylność i szybkie decyzje umożliwiły dotarcie do Czytelników w tak niedługim czasie. Za projekt okładki autor dziękuje Irenie Czusz, a za profesjonalnie wykonane rysunki –  Annie Bugaj-Janczarskiej.

© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Impuls”, Kraków 2013

Redakcja i korekta: Zofia Smyk, Klaudia Dróżdż

www.e-dytor.pl

Opracowanie typograficzne: Agata Gąsiorek

Projekt okładki: Irena Czusz

Rysunek na okładce:  Jerzy Mioduszewski

ISBN wersji drukowanej: 978-83-7850-280-7

ISBN wersji elektronicznej: 978-83-7850-455-9

Oficyna Wydawnicza „Impuls”

30-619 Kraków, ul. Turniejowa 59/5

tel./fax: (12) 422 41 80, 422 59 47, 506 624 220

www.impulsoficyna.com.pl

e-mail: impuls@impulsoficyna.com.pl

Niniejsze wydanie książki zostało przygotowane przez firmę OW Impuls.

Utwór poddano modernizacji pisowni i opracowaniu edytorskiemu, by uczynić jego tekst przyjaznym dla współczesnego czytelnika.