Sławomir Kowalski, Tomasz Kądziołka

© Copyright by Wydawnictwo Poligraf, 2014

© Copyright by Sławomir Kowalski, Tomasz Kądziołka, 2014

Wszelkie prawa zastrzeżone. Żaden fragment nie może być publikowany ani reprodukowany bez pisemnej zgody wydawcy.

Projekt okładki: Izabela Surdykowska-Jurek, Magdalena Muszyńska

Korekta: Klaudia Dróżdż, Dorota Sideropulu, Bogusława Otfinowska

Skład: Wojciech Ławski, Agnieszka Chojnacka

Konwersja do EPUB/MOBI: InkPad

Recenzent: prof. zw. dr hab. inż. Józef Wojnarowski, dr h.c.

Książka wydana
w Systemie Wydawniczym Fortunet™
www.fortunet.eu

ISBN: 978-83-63506-45-2

Wydawnictwo Poligraf

ul. Młyńska 38

55-093 Brzezia Łąka

tel./fax (71) 344-56-35

www.WydawnictwoPoligraf.pl

Spis treści

WSTĘP

1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

1.1. Pojęcie belki i rodzaje podpór

1.2. Obciążenia zewnętrzne belek

1.3. Siły wewnętrzne i ich wykresy

1.4. Kąty i linie ugięcia belek

1.5. Belki statycznie niewyznaczalne

2. BELKI JEDNOPRZEDZIAŁOWE

3. BELKI DWUPRZEDZIAŁOWE

4. BELKI WIELOPRZEDZIAŁOWE

5. BELKI Z PRZEGUBEM

6. PRZEMIESZCZENIA BELEK

7. BELKI STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

LITERATURA

Wstęp

Jednym z najważniejszych działów wytrzymałości materiałów jest zginanie konstrukcyjnych elementów jednowymiarowych, tak zwanych belek. Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych, takich jak na przykład określanie naprężeń czy obliczenia dynamiczne w belkach, jest konieczność wyznaczania sił wewnętrznych, a w szczególności maksymalnego momentu gnącego.

Zginanie belek jest o tyle ważne, że najczęściej występuje w życiu codziennym. Jako przykład można wymienić: mosty, kładki, elementy konstrukcyjne budynków, pojazdów i innych urządzeń i obiektów technicznych. Od prawidłowych obliczeń wytrzymałościowych na zginanie zależy bezpieczeństwo życia ludzkiego.

Na przestrzeni dziejów można zauważyć, że nawet najmniejszy błąd w obliczeniach prowadzi do tragedii. Znane są przypadki zawalenia się mostów pod przejeżdżającymi pojazdami, załamanie się dachów pod dużym naporem śniegu czy uszkodzenia innych konstrukcji. Jak podają dane statystyczne, ok. 25% załamań mostów wynika z błędów konstrukcyjnych, na które składają się m.in. źle obliczone siły wewnętrzne, które przyczyniają się do powstawania lokalnych deformacji, powodując następnie utratę stateczności obiektu.

Zbiór zadań ma na celu pokazanie metodyki wyznaczania sił wewnętrznych w belkach zginanych, a także sposób postępowania przy wyznaczaniu linii i kątów ugięcia belki.

Prezentowany zbiór zadań został tak opracowany, żeby Czytelnik mógł samodzielnie nauczyć się wyznaczania sił wewnętrznych i linii ugięcia. W prosty i przejrzysty sposób pokazano metodykę rozwiązywania zadań, a także szczegółowy sposób dotarcia do rozwiązania, nawet w takim przypadku, kiedy tok postępowania jest oczywisty dla Czytelnika.

Zbiór zadań rozpoczyna rozdział zawierający podstawowe definicje, wzory i informacje praktyczne, które pozwolą na rozwiązanie analizowanych zadań. Kolejne rozdziały zawierają tok postępowania przy prawidłowym rozwiązywaniu postawionego problemu.

Zbiór zadań dedykowany jest dla wszystkich Czytelników, którzy w programie nauki mają przedmiot „Wytrzymałość materiałów” i chcieliby poznać sposób wyznaczania sił wewnętrznych i linii ugięcia.

Podczas opracowywania książki autorzy korzystali z ogólnie dostępnej literatury, a duża różnorodność zamieszczonych zadań i ich rozwiązań powinna umożliwić Czytelnikowi samodzielne rozwiązanie każdego zadania dotyczącego wyznaczania sił wewnętrznych i linii ugięcia w belkach zginanych.

Autorzy mają nadzieję, że niniejsze opracowanie ułatwi Czytelnikowi zrozumienie sposobu postępowania przy rozwiązywaniu zadań ze zginania belek oraz zachęci do dalszego pogłębiania wiedzy na ten tak istotny temat.

1. Podstawowe wiadomości

1.1. Pojęcie belki i rodzaje podpór

Belką nazywamy poziomy lub ukośny element konstrukcyjny przenoszący obciążenia zewnętrzne na podpory. Belka ulega zginaniu pod wpływem działania na nią sił zewnętrznych czynnych lub biernych. Na fot. 1.1. pokazano przykładowe belki oraz ich modele matematyczne.

Fotografia 1.1. Przykładowe belki (a, c) oraz ich modele matematyczne (b, d) (fot. Klaudia Kowalska)

Belki mogą być zamocowane za pomocą podpory:

- przesuwnej (podpora przegubowo przesuwna), dającej reakcję tylko w jednym kierunku,

- obrotowej (podpora przegubowo nieprzesuwna, przegub), dającej reakcję w dwóch kierunkach,

- sztywnej (utwierdzonej), dającej reakcje w kierunkach poprzecznym i równoległym do osi belki oraz moment podporowy.

Podpora przesuwna występuje w przypadku, gdy ciało styka się z idealnie gładką powierzchnią, przy czym istnieje możliwość przesunięcia ciała po powierzchni styku. Podpora przesuwna umożliwia tylko przesunięcie ciała po powierzchni styku[1]. Na fotografii 1.2. przedstawiono przykład podpory przegubowej ruchomej oraz symbol graficzny tej podpory, którym będziemy posługiwali się w analizowanych zadaniach.

Fotografia 1.2. Podpora przegubowa ruchoma oraz jej symbol graficzny (fot. Klaudia Kowalska)

Podpora stała uniemożliwia przesunięcie ciała, również w kierunkach stycznych do powierzchni podpierającej. Na fot. 1.3. przedstawiono przykład podpory przegubowej nieprzesuwnej (stałej) oraz symbol graficzny tej podpory.

Fotografia 1.3. Podpora przegubowa stała oraz jej symbol graficzny (fot. Klaudia Kowalska)

Utwierdzenie jest rodzajem podpory sztywnej. Występuje wtedy, gdy jeden koniec belki jest swobodny (niepodparty), a drugi przymocowany. Na fot. 1.4. przedstawiono przykład utwierdzenia oraz jego symbol graficzny.

Fotografia 1.4. Utwierdzenie oraz jego symbol graficzny (fot. Klaudia Kowalska)

1.2. Obciążenia zewnętrzne belek

Obciążenia zewnętrzne działające na belkę można podzielić na dwie grupy:

- obciążenia czynne,

- obciążenia bierne.

Obciążenia czynne są to wszystkie siły zewnętrzne działające na belkę powodujące jej ugięcie. Do obciążenia czynnego należą:

- siły skupione (mierzone w [N]),

- para sił o momencie M (mierzonym w [Nm]),

- obciążenie ciągłe – równomiernie lub nierównomiernie rozłożone (mierzone w [N/m]).

Siła skupiona jest to siła przyłożona w jednym punkcie. Przykład takiej siły pokazano na fot. 1.5.

Fotografia 1.5. Przykład obciążenia belki siłą skupioną i jej zapis graficzny (fot. Klaudia Kowalska)

Obciążenia bierne są to siły działające w podporach. W zależności od rodzaju podpór występować będzie różna liczba sił biernych. W podporze przesuwnej reakcje powstają w punkcie styku podpory z belką i mają kierunek prostopadły do powierzchni podpierającej (rys. 1.1a). W podporze stałej reakcje występują w punkcie związania belki z podporą. Podpora ta uniemożliwia przesunięcie belki, ale umożliwia jej obrót wokół punktu nieruchomego podpory, stąd występują reakcje o nieznanym kierunku i zwrocie. Dlatego reakcja w tej podporze rozkłada się na dwie składowe: w kierunku prostopadłym i w kierunku równoległym do powierzchni podpierającej (rys. 1.1b). Utwierdzenie dostarcza belce dwóch składowych reakcji oraz momentu utwierdzenia (rys. 1.1c).

Rysunek 1.1. Reakcje w podporze – a) przesuwnej, b) stałej, c) utwierdzeniu

Moment siły to iloczyn wektorowy promienia wodzącego l, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły (rys. 1.2a). Wartość momentu siły będziemy wyznaczać ze wzoru M=P∙l, gdzie: P – wartość siły, l – odległość działania siły od punktu O (rys. 1.2a i b).

Rysunek 1.2. a) sposób wyznaczania momentu siły, b) moment siły jako para sił

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone jest to obciążenie rozłożone na znacznej długości belki, a jego intensywność (wartość) na całej długości jest stała i wynosi q. Dla uproszczenia obliczeń obciążenie takie, w ustalaniu warunków równowagi, zastępujemy siłą wypadkową Q przyłożoną w jego środku ciężkości. Figurą geometryczną tworzącą obciążenie równomiernie rozłożone będzie prostokąt. W tym przypadku wartość siły wypadkowej obliczać będziemy ze wzoru na pole prostokąta, czyli Q = q∙l. Na fot. 1.6. przedstawiono przykład obciążenia ciągłego równomiernego oraz sposób wyznaczania siły wypadkowej.

Fotografia 1.6. Przykład obciążenia ciągłego równomiernego oraz sposób wyznaczania siły wypadkowej (fot. Klaudia Kowalska)

Przykładem obciążenia ciągłego nierównomiernie rozłożonego może być obciążenie trójkątne. W tym przypadku intensywność obciążenia rośnie liniowo od zera do wartości q.

Wartość siły wypadkowej obliczać będziemy ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego, czyli Q = ½ q∙l. Siła ta przyłożona będzie w jego środku ciężkości.

Na fotografii 1.7. przedstawiono przykład obciążenia ciągłego nierównomiernego w kształcie trójkąta oraz sposób wyznaczania siły wypadkowej.

Fotografia 1.7. Przykład obciążenia ciągłego nierównomiernego trójkątnego oraz sposób wyznaczania siły wypadkowej (fot. Klaudia Kowalska)

Innym przykładem obciążenia ciągłego nierównomiernie rozłożonego jest obciążenie trapezowe. W tym przypadku jeden koniec obciążenia ma wartość q_1, a drugi q_2. Wartość siły wypadkowej Q można obliczyć w trojaki sposób.

Po pierwsze, obliczając siłę wypadkową leżącą w środku ciężkości trapezu przy wykorzystaniu wzoru na pole trapezu. Taki sposób obliczania oraz przykład obciążenia trapezowego pokazano na fotografii 1.8.

Fotografia 1.8. Przykład obciążenia ciągłego nierównomiernego trapezowego oraz sposób wyznaczania siły wypadkowej (fot. Klaudia Kowalska)

Po drugie, obciążenie trapezowe można rozłożyć na obciążenie prostokątne i trójkątne, obliczając wówczas dwie siły wypadkowe: Q_1 – pochodzącą od obciążenia prostokątnego i Q_2 – pochodzącą od obciążenia trójkątnego (rys. 1.3a).

Po trzecie, obciążenie trapezowe można rozłożyć na dwa obciążenia trójkątne. W tym przypadku obliczamy dwie siły wypadkowe pochodzące od obciążeń trójkątnych (rys. 1.3b).

Rysunek 1.3. Metody rozkładania obciążenia trapezowego na prostsze obciążenia

Do innych obciążeń zmiennych można zaliczyć obciążenia paraboliczne (półkuliste) lub obciążenia nieregularnie zmienne o średniej wartości q. Tego typu przypadkami nie będziemy zajmowali się w tym zbiorze zadań.

[1] Janicki L., Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 1986.